平底突擴(kuò)斷面水躍共軛水深分析計(jì)算

高遠(yuǎn) 張根廣 吳彰松 李林林 楊耀天

摘要：基于平底突擴(kuò)水躍形成機(jī)制，認(rèn)為突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深取決于突擴(kuò)斷面上游渠道的能量水頭及斷面突擴(kuò)比等。假定突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深等于突擴(kuò)斷面上游渠道能量水頭乘以修正系數(shù)，通過(guò)實(shí)測(cè)資料分析，建立了修正系數(shù)與上游渠道弗勞德數(shù)以及斷面突擴(kuò)比的關(guān)系式，并將突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深代入平底突擴(kuò)水躍共軛水深一般方程，得到了躍后水深計(jì)算公式。經(jīng)實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證，本文躍后水深計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)資料符合良好，誤差較小。

關(guān)鍵詞：突擴(kuò)水躍；突擴(kuò)斷面；回流區(qū)平均水深；共軛水深比

中圖分類(lèi)號(hào)：TV135.2+1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.08.030

水流由急流過(guò)渡到緩流水面會(huì)突然躍起形成水躍。在水躍區(qū)，水流強(qiáng)烈紊動(dòng)、混摻，水力要素急劇變化。突擴(kuò)水躍是水流從較窄斷面渠道進(jìn)人較寬斷面渠道時(shí)突然擴(kuò)散形成的一種復(fù)雜空間流態(tài)，是平原地區(qū)閘下出流的一種常見(jiàn)形式。NallamuthuR.等將突擴(kuò)水躍分為遠(yuǎn)驅(qū)水躍（又稱(chēng)R水躍）和穩(wěn)定水躍（又稱(chēng)S水躍）兩種。R水躍躍首位于突擴(kuò)口下游寬渠道中，躍首至突擴(kuò)口存在一段急流，流態(tài)不穩(wěn)定：S水躍躍首位于突擴(kuò)口，類(lèi)似于淹沒(méi)水躍，流態(tài)穩(wěn)定。S水躍在突擴(kuò)斷面后形成回流區(qū)，又稱(chēng)為空間水躍。陳朝等研究表明，回流旋渦區(qū)與主流之間形成強(qiáng)烈的紊動(dòng)剪切層，增加了能量的耗散：陳文鑫等研究表明，突擴(kuò)水躍較典型水躍消能效果明顯提高，可有效降低消力池邊墻水力學(xué)指標(biāo)。此外，作為一種新型消能工——跌擴(kuò)型底流消能工擬在一些大型水利工程中應(yīng)用。

1 躍前水深與躍后水深關(guān)系建立

工程上常采用一定淹沒(méi)度的水躍消能。共軛水深比是研究水躍的基礎(chǔ)，也是工程上進(jìn)行消力池設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。水躍躍前水深與躍后水深之間的關(guān)系通常由恒定總流動(dòng)量方程推求。在推導(dǎo)過(guò)程中假定：①明渠水躍長(zhǎng)度較短，明渠邊界對(duì)水流摩擦力可忽略不計(jì)；②躍前、躍后過(guò)水?dāng)嗝嫔蟿?dòng)水壓強(qiáng)符合漸變流規(guī)律，即壓強(qiáng)按靜水壓強(qiáng)計(jì)算；③躍前、躍后斷面上動(dòng)量校正系數(shù)相等，令β1β2=β（β1、β2為躍前、躍后動(dòng)量修正系數(shù)）。

依據(jù)上述假定，建立斷面1-1、2-2（見(jiàn)圖1，其中：P1為躍前斷面靜水壓力；P2為躍后斷面靜水壓力：P3為突擴(kuò)斷面邊墻水壓力）間水體動(dòng)量方程：式中：p為流體密度；Q為流體流量；v1為躍前斷面流速：v2為躍后斷面流速；g為重力加速度：b為躍前斷面寬度；B為躍后斷面寬度：h1為躍前斷面水深：h2為躍后斷面水深；h3為突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深。

顯然，求解式（1），在聯(lián)立水流連續(xù)方程Q=bh1v1=Bh2v2，基礎(chǔ)上，還需要知道回流區(qū)平均水深h3。為求解h3，許多學(xué)者采取了不同的假定。

汪濤等在上述3個(gè)假定的基礎(chǔ)上引入h3=h1，β1=β2=1.0，通過(guò)對(duì)式（1）進(jìn)行無(wú)因次數(shù)學(xué)變換，得到跌擴(kuò)共軛水深理論公式，并將其進(jìn)一步演變?yōu)橥粩U(kuò)型水躍共軛水深理論公式：式中：突擴(kuò)比ζ=B/b；共軛水深比η=h2/h1；躍前弗勞德數(shù)Fr1=v1/√gh1。

盧士強(qiáng)等通過(guò)試驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)為，近主流側(cè)（內(nèi)側(cè)）水深與h1值接近，遠(yuǎn)主流側(cè)（外側(cè)）水深則稍高一些，并假定h3=0.5（h1+h2），進(jìn)而得到

盧士強(qiáng)通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多元非線性擬合，得到工程設(shè)計(jì)參考經(jīng)驗(yàn)公式：

Hager w.H.通過(guò)假定h2/3=1/2（h21+h22），得到

2 回流區(qū)平均水深h3的確定

2.1 h3的影響因素及假定

Nallamuthu R.等通過(guò)對(duì)S水躍的研究得到，突擴(kuò)口淹沒(méi)水深與出口特征長(zhǎng)度的弗勞德數(shù)有關(guān)，且出口特性長(zhǎng)度最小值為上游水深的2倍。故可推定，突擴(kuò)口淹沒(méi)水深與上游弗勞德數(shù)有關(guān)。盧士強(qiáng)等在研究突擴(kuò)水躍共軛水深時(shí)指出，遠(yuǎn)主流側(cè)水深與Fr1等有關(guān)。程天金等在研究單邊突擴(kuò)淺水回流時(shí)得到，回流長(zhǎng)度隨進(jìn)口斷面弗勞德數(shù)Fr1增大而增大，同時(shí)具有隨水深h1增大而增大的趨勢(shì)。可見(jiàn)，回流長(zhǎng)度是衡量回流強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)，而回流強(qiáng)度直接影響邊墻時(shí)均動(dòng)水壓強(qiáng)及回流流速分布。因此，邊墻時(shí)均動(dòng)水壓強(qiáng)受斷面弗勞德數(shù)Fr1、上游水深影響。

綜上分析，突擴(kuò)口回流區(qū)強(qiáng)度、范圍、平均水深h3與上游渠道水流弗勞德數(shù)Fr1及斷面水深h1有關(guān)。弗勞德數(shù)的物理意義為過(guò)水?dāng)嗝鎲挝毁|(zhì)量液體平均動(dòng)能與平均勢(shì)能之比的二倍開(kāi)平方，具有能量比的概念，因此h3與上游斷面水流弗勞德數(shù)或單位質(zhì)量液體能量有關(guān)。而式（2）～式（5）中假定的回流區(qū)平均水深h3都沒(méi)有包含上游渠道水流弗勞德數(shù)Fr1或能量等參數(shù)，為此，作者假定突擴(kuò)口邊墻回流區(qū)平均水深h3等于上游過(guò)水?dāng)嗝鎲挝荒芰砍艘砸幌禂?shù)，即式中：K為待定系數(shù)。

2.2 修正系數(shù)K的確定

根據(jù)式（6）可得修正系數(shù)K表達(dá)式為

分析文獻(xiàn)[1]試驗(yàn)實(shí)測(cè)資料可知，在確定的h1、h3條件下，系數(shù)K與Fr1和ζ均呈復(fù)雜的冪函數(shù)關(guān)系，且K與（ζ-1）-0'2Fr21的擬合關(guān)系較好。根據(jù)文獻(xiàn)[1]試驗(yàn)實(shí)測(cè)資料對(duì)K值進(jìn)行擬合，見(jiàn)表1、圖2。

由表1及圖2可得

3 共軛水深比η與躍后斷面水深h2求解

將式（7）整理成迭代式：

將式（9）代人式（10）進(jìn)行迭代求解，即可求得η值。Nallamuthu R.等根據(jù)試驗(yàn)成果得出回流區(qū)水深約是躍前水深的4倍，因此建議式（10）的迭代初始值η1=4。躍后斷面水深為

4 公式驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中S水躍試驗(yàn)資料及文獻(xiàn)[9]中ζ=1.2、1.5、2.0、3.0四種T況試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取β1=β2=1.o；對(duì)式（2）～式（5）及本文公式（10）進(jìn)行對(duì)比分析。

（1）文獻(xiàn)[1]中s水躍試驗(yàn)資料公式驗(yàn)證。由式（2）～式（5）及本文公式（10）求得共軛水深比η，代人式（11）計(jì)算得出h2，對(duì)比不同方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度，見(jiàn)表2（躍前斷面寬度b、突擴(kuò)比ε、躍前弗勞德數(shù)Fr1、實(shí)測(cè)h1數(shù)據(jù)見(jiàn)表1：表中h2，計(jì)算值取2位小數(shù)：誤差為“-”表示計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值）。由表2可知，式（2）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為16.11%，最大誤差為40.89%，42測(cè)次計(jì)算值中有41次小于實(shí)測(cè)值；式（3）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為9.86%，最大誤差為32.48%，有32測(cè)次的計(jì)算躍后水深小于實(shí)測(cè)水深：式（4）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為40.08%，最大誤差為96.50%，所有計(jì)算結(jié)果均大于實(shí)測(cè)水深；式（5）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為7.63%，最大誤差為29.28%，28測(cè)次的計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值：本文公式（10）的計(jì)算結(jié)果的平均誤差為6.17%，最大誤差為22.39%，31測(cè)次的計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值?？梢?jiàn)，本文公式計(jì)算精確度優(yōu)于其他幾個(gè)公式的，說(shuō)明本文假定更合理。

（2）文獻(xiàn)[9]中ε=1.2、I.5、2.0、3.0四種工況公式驗(yàn)證。由表3（表中h2計(jì)算結(jié)果取2位小數(shù)）可知，式（2）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為6.75%，最大誤差為21.50%，40次計(jì)算有37次計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值：式（3）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為3.08%，最大誤差為10.99%，有13次計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值；式（4）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為49.53%，最大誤差為103.6%，所有的計(jì)算值均大于實(shí)測(cè)值；式（5）計(jì)算結(jié)果的平均誤差為5.78%，最大誤差為11.76%，有3次計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值：本文公式計(jì)算結(jié)果的平均誤差為5.48%，最大誤差為25.93%，有9次計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值。可知，本文公式計(jì)算結(jié)果的精確度僅次于公式（3）。

5 結(jié)論

通過(guò)分析研究平底突擴(kuò)式水躍的形成機(jī)制，認(rèn)為突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深取決于突擴(kuò)斷面上游渠道的能量水頭及斷面突擴(kuò)比等。假定突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深等于突擴(kuò)斷面上游渠道能量水頭乘以修正系數(shù)，通過(guò)進(jìn)一步分析，建立了修正系數(shù)與突擴(kuò)斷面上游渠道弗勞德數(shù)及斷面突擴(kuò)比的關(guān)系式，并將突擴(kuò)斷面回流區(qū)平均水深代人平底突擴(kuò)水躍共軛水深一般方程，得到了躍后水深的計(jì)算公式。實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證表明：本文躍后水深計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)資料符合良好，與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相比誤差較小，說(shuō)明本文假定合理。