數(shù)形結合思想在高中數(shù)學中的應用

董栗

【摘 要】 數(shù)形結合一種重要的數(shù)學思想。通過數(shù)形結合，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而便于找到簡捷的解題思路，使問題得到圓滿的解決。

【關鍵詞】 數(shù)形結合；高中數(shù)學；運用

一、數(shù)形結合的基本思想

高中數(shù)學研究的對象包含兩部分，一部分是數(shù)，一部分是形，我們把數(shù)和形的聯(lián)系稱為數(shù)形組合。數(shù)與形的結合是基于數(shù)學問題中條件與結論之間的內在聯(lián)系，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。有助于學生們去了解和把握數(shù)學問題的實質，并且運用數(shù)形結合思想，使一些難題、怪題變得簡單易懂，拓展解題思路。

二、數(shù)形結合的主要途徑

（1）以數(shù)助形，即用代數(shù)方法研究幾何問題。這種類型的問題一般是把圖形坐標化。例如平面解析等問題中“數(shù)”對圖形的研究。

（2）以形助數(shù)，即根據(jù)代數(shù)式的結構特征，構造出與之相對應的幾何圖形，用幾何方法來解決代數(shù)問題。

（3）數(shù)與形的結合，即用數(shù)字來研究形，用形來研究數(shù)字，相互結合，使問題變得直觀簡單。

三、數(shù)形結合思想解決的問題

1. 集合問題：通常指在求解集合的運算、集合之間的關系時，借助韋恩圖、數(shù)軸、平面直角坐標系等圖形，建立方程、不等式等求解。

2. 函數(shù)問題：利用數(shù)形結合求解函數(shù)問題，關鍵是對已知條件進行等價轉化，畫出準確的函數(shù)圖像，再利用函數(shù)的性質求解。

3. 方程和不等式：在處理方程根或零點的問題，把根或零點看做函數(shù)圖像交點的橫坐標；處理不等式問題時，從題目的條件與結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數(shù)，分析其幾何意義，從圖形思維解決問題。

4. 三角函數(shù)：在考查三角函數(shù)的所有性質或比較三角函數(shù)值的大小等問題中，通常借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理。

5. 線性規(guī)劃：即在已知可行域求目標函數(shù)的最值的問題。在圖形上尋找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結合思想。

6. 數(shù)列：數(shù)列是一個特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式可以看作是正整數(shù)n的函數(shù)。

7. 解析幾何：在解題中通過畫出解析幾何圖形，利用圖像的直觀性達到解決解析幾何問題的目的。

8. 立體幾何：借助立體幾何中的圖形，利用立體幾何的公理、定理、性質與公式等來解決立體幾何問題，這種辦法適用于利用幾何體的結構特征進行相關的證明與求解的問題。

9. 向量或復數(shù)：利用向量或復數(shù)的幾何意義，將二者相互聯(lián)系起來，使有關問題更加方便地加以解決。

四、數(shù)形結合的注意事項

（1）數(shù)形結合時要遵循等價性原則、圖形互補原則，這是數(shù)形結合的前提。

（2）數(shù)與形是相互制約，相互依賴的，在數(shù)形轉化過程中切不可無中生有。

（3）作圖時要盡量準確的畫出函數(shù)圖像，必要時還需要對圖形的直觀分析給出嚴密的推理。

（4）數(shù)與形的結合具有直觀形象的特點，但不能代替具體的操作和證明。

【參考文獻】

[1] 周愛華. 數(shù)形結合的幾種方式[J]. 考試周刊，2017（18）.

[2] 岑茜，高明. 數(shù)與形，結合與深入[J]. 數(shù)學學習與研究，2017（5）.