基于前景理論的一種猶豫模糊多屬性群決策方法

孫朋, 張駿, 曾紅斌

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,陜西 西安 710072)

隨著人們生產(chǎn)生活中決策問(wèn)題的日益復(fù)雜化，傳統(tǒng)的多屬性決策方法在一些亟待解決的決策難題面前常常束手無(wú)力。為了模擬人在決策過(guò)程中的猶豫不決狀態(tài)，諸如區(qū)間模糊集、直覺(jué)模糊集及區(qū)間直覺(jué)模糊集等概念陸續(xù)被提出，并被廣泛用于實(shí)際決策中。Torra拓寬了模糊集的概念，提出了猶豫模糊集，并被很多學(xué)者引入到多屬性決策問(wèn)題中描述決策者的優(yōu)柔寡斷程度[1]。Xu等提出了一種解決權(quán)重信息不充分的猶豫模糊TOPSIS多屬性決策方法[2]。朱麗等針對(duì)屬性值為猶豫模糊數(shù)和區(qū)間猶豫模糊數(shù)，提出了一種猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)型決策方法[3]。劉云志等針對(duì)具有單一或組合指標(biāo)期望的多屬性決策，將原始決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為廣義優(yōu)序模糊約束滿意問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算總體滿意度對(duì)方案進(jìn)行排序[4]。劉小弟等通過(guò)構(gòu)建正負(fù)理想點(diǎn)，建立了一種針對(duì)猶豫模糊信息的向量投影測(cè)度方法，結(jié)合Jaynes最大熵原理，確定方案的排序結(jié)果[5]。Sun等通過(guò)結(jié)合模糊集理論和模糊層次分析法優(yōu)點(diǎn)，較好地解決了判斷矩陣中的不確定性[6]。Amali和Ramachandran基于主成分分析建立了決策矩陣，解決了多屬性群決策方法的復(fù)雜度問(wèn)題[7]。Lin提出了一種基于決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的多屬性決策方法，并建立了計(jì)算決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的方法[8]。

前景理論自1979年被諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Kahneman等提出以來(lái)，由于很好地解釋了人們?cè)诿媾R決策行為時(shí)的確定性效應(yīng)、孤立效應(yīng)和反射效應(yīng)，在決策領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。李鵬等通過(guò)分析舊記分函數(shù)的缺陷，建立了一種基于集對(duì)論的新記分函數(shù)，使用新記分函數(shù)將直覺(jué)模糊決策矩陣轉(zhuǎn)化為記分矩陣，進(jìn)而得到基于零參考點(diǎn)的前景決策矩陣，解決了隨機(jī)直覺(jué)模糊決策問(wèn)題[9]。王堅(jiān)強(qiáng)等為了解決區(qū)間灰數(shù)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題，將風(fēng)險(xiǎn)決策矩陣轉(zhuǎn)換為基于參考點(diǎn)為備選方案的前景決策矩陣，并利用實(shí)際算例驗(yàn)證了方法的有效性[10]。張娟等針對(duì)決策信息為區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)決策問(wèn)題，引入前景理論將決策矩陣轉(zhuǎn)換為基于參考點(diǎn)為正負(fù)靶心的前景決策矩陣，構(gòu)造決策樹(shù)確定方案的排序[11]。高建偉等通過(guò)新構(gòu)造的記分函數(shù)，將區(qū)間模糊數(shù)轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)，并構(gòu)建了基于零參考點(diǎn)的前景決策矩陣，計(jì)算方案的綜合前景值并依此排序[12]。

現(xiàn)有多屬性群決策方法主要比較方案集內(nèi)部的貼近程度，不能夠反映與理想解的相對(duì)接近程度。通過(guò)引入前景理論可以計(jì)算每個(gè)方案相對(duì)于理想方案的前景值，準(zhǔn)確表示出不同方案基于參考點(diǎn)為理想解的收益和損失情況。因此，本文研究建立了一種基于前景理論的猶豫模糊多屬性群決策方法。利用不同權(quán)重的專家對(duì)各個(gè)方案的所有屬性值給出評(píng)估，并用猶豫模糊集記錄。基于前景理論，使用正負(fù)理想解作為參照點(diǎn)，將猶豫模糊決策矩陣轉(zhuǎn)化為收益及損失決策矩陣，考慮到?jīng)Q策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，計(jì)算每個(gè)方案的收益損失比，并依此進(jìn)行排序。最后驗(yàn)證了此方法的有效性。

1 問(wèn)題描述和模型構(gòu)建

1.1 問(wèn)題描述

根據(jù)專家權(quán)重的加權(quán)處理方法,可得到方案Ak在屬性bn上的屬性值為hkn[13]。設(shè)決策者對(duì)某屬性偏好為φn(hkn),且φn(hkn)∈[0,1],則經(jīng)典的多屬性固權(quán)決策模型可以表示為:

(1)

式中，Uk表示決策者對(duì)第k個(gè)方案的綜合偏好。若對(duì)于所有的屬性值(1)式都成立,則稱屬性b1,b2,…,bN之間偏好絕對(duì)獨(dú)立或者屬性偏好獨(dú)立。

1.2 改進(jìn)型熵權(quán)法

信息熵描述了一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)序程度,某個(gè)指標(biāo)的信息熵越小,表征其變異程度越大,所蘊(yùn)含的信息量越多,則應(yīng)該賦予這個(gè)指標(biāo)更大的權(quán)重。在多屬性決策中,對(duì)猶豫模糊決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后,基于猶豫模糊熵的權(quán)重,指標(biāo)hkn的猶豫模糊熵Ekn定義為[14]:

(2)

式中,hσ(i)表示猶豫模糊元hkn中第i大的元素,lkn是猶豫模糊元hkn的元素個(gè)數(shù),不同屬性的權(quán)重定義為:

(3)

(4)

a∈(-∞,+∞),?k=1,2,…,M

(5)

在這里,φi(hki)(i=1,2,…,N;k=1,2,…,M)表示決策者的單屬性偏好函數(shù)。(4)式中關(guān)于a的取值并沒(méi)有明確的賦值方法,比較籠統(tǒng)的取值原則:“決策者對(duì)狀態(tài)值大的因素考慮越多,a的取值應(yīng)該趨于正無(wú)窮大;決策者對(duì)狀態(tài)值小的因素考慮越多,a的取值應(yīng)該趨于負(fù)無(wú)窮大”[16]。

為了獲得主成分對(duì)主觀修正系數(shù)影響,對(duì)(4)式泰勒展開(kāi),可得

(6)

使用主觀修正系數(shù)λj(h),對(duì)(3)式中權(quán)重進(jìn)行修正,可得

(7)

將(6)式代入(7)式,可得

i=1,2,…,N;?k=1,2,…,M

(8)

2 決策步驟

由于決策者固有的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及實(shí)際問(wèn)題中決策問(wèn)題的復(fù)雜化、模糊化程度加劇,決策者往往不能完全憑借自己的能力做出合理判斷,參考專家的意見(jiàn)就顯得尤為重要。經(jīng)典TOPSIS多屬性決策方法要求屬性值為已知的精確值,且決策者是完全理性的,這樣的假設(shè)難以勝任實(shí)際的復(fù)雜問(wèn)題。因此,本文建立了一種基于前景理論的猶豫模糊多屬性決策方法,通過(guò)專家集對(duì)方案的屬性值進(jìn)行匿名評(píng)估,在獲得所有的專家評(píng)估結(jié)果后,根據(jù)專家權(quán)重,加權(quán)處理得到每個(gè)方案在每個(gè)屬性上的屬性值;再通過(guò)熵權(quán)法確定屬性權(quán)重,加權(quán)處理得到猶豫模糊決策矩陣,計(jì)算每個(gè)方案與正負(fù)理想解[17]的距離及綜合前景值,確定所有方案的排序結(jié)果。具體步驟如下:

(9)

(10)

計(jì)算每個(gè)方案與正負(fù)理想解的猶豫模糊Hamming距離測(cè)度或者猶豫模糊歐式距離測(cè)度,其中正理想解為Ω+,表示屬性值的最大值。負(fù)理想解為Ω-,表示屬性值的最小值。

l為每個(gè)猶豫模糊數(shù)的元素個(gè)數(shù),擴(kuò)充后每個(gè)猶豫模糊數(shù)長(zhǎng)度是相等的。則方案Ak相對(duì)于正負(fù)理想解的猶豫模糊歐式距離可以表示為[18]:

(13)式和(14)式中Ω±(n)表示理想解Ω±中第n個(gè)元素的屬性值,d(Qkn,Ω±(n))表示猶豫模糊數(shù)Qkn與Ω±(n)的猶豫模糊歐式距離。

3) 計(jì)算方案Ak在屬性bn上的前景值,相對(duì)于正理想解來(lái)說(shuō),方案Ak是損失的;相對(duì)于負(fù)理想解來(lái)說(shuō),方案Ak是產(chǎn)生收益的。因此,根據(jù)Tversky給出的價(jià)值函數(shù)ν(Δx)[19],前景值分別為

式中，α,β和θ是已知參數(shù),α是風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù),表示決策者對(duì)收益的關(guān)心程度;β是損失厭惡系數(shù),表示決策者對(duì)損失的關(guān)心程度;θ表示決策者對(duì)收益和損失的敏感程度不同。通常參數(shù)的取值范圍為α>0,β<1,θ>1。

3 算例分析

表1 專家評(píng)估及歸一化猶豫模糊處理后的結(jié)果

方案A1在屬性b1上的屬性值專家評(píng)估結(jié)果為y1:{0.2,0.4},y2:{0.6}?？紤]專家權(quán)重{0.7,0.3},經(jīng)加權(quán)處理后的屬性值為{0.32,0.46},其中0.32=0.2×0.7+0.6×0.3[14],經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化和歸一化后的屬性值為{0.54,0.68,0.68},其他屬性值數(shù)據(jù)類似,進(jìn)而獲得猶豫模糊熵,如表2所示。

表2 猶豫模糊熵

使用熵權(quán)法確定的未修正屬性權(quán)重為:w=(0.2541,0.1512,0.4884,0.1063)。

決策者給定方案的單屬性偏好為φ(hkn)=(0.3,0.3,0.2,0.2),?k,n=1,2,3,4。當(dāng)a=10時(shí),修正因子為λ(h)=(1.648 7,1.648 7,0.606 5,0.606 5)。因此,修正權(quán)重為w*=(0.407 1,0.242 3,0.287 9,0.062 7),則可得加權(quán)猶豫模糊決策矩陣Q=JW,如表3所示。

表3 加權(quán)猶豫模糊決策處理的結(jié)果

由此可以得到正負(fù)理想解:

相對(duì)于正理想解,方案是損失的;相對(duì)于負(fù)理想解,方案是盈利的。當(dāng)α=β=0.88,θ=2.25時(shí),根據(jù)(15)式和(16)式,可得前景決策矩陣,如表4所示。

表4 前景決策值

進(jìn)而,可得每個(gè)方案的收益損失比,如表5所示。

表5 收益損失比

由收益比可知,收益比越大,方案越優(yōu),排序結(jié)果為A4>A5>A1>A2>A3,所以選擇購(gòu)買第4種生產(chǎn)線。

4 結(jié) 論

針對(duì)多屬性決策過(guò)程對(duì)方案的猶豫和不確定性,提出了一種基于前景理論的多屬性群決策方法。該方法引入專家集對(duì)方案的屬性值進(jìn)行匿名評(píng)估,并充分考慮決策者的屬性偏好,既反映了決策者的主觀意愿,又避免了決策者對(duì)方案評(píng)估時(shí)不穩(wěn)定心理狀態(tài)的影響。使用構(gòu)造的熵權(quán)計(jì)算確定屬性權(quán)重并進(jìn)行更新,通過(guò)引入前景理論,將方案與理想解的猶豫模糊歐式距離轉(zhuǎn)化為方案的前景值,充分考慮人們?cè)诿媾R風(fēng)險(xiǎn)和收益時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)偏好、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的敏感程度。用收益損失比代替貼合度,并依此對(duì)方案進(jìn)行排序。最后驗(yàn)證了該方法的科學(xué)性、可行性及有效性。