深度透視2018年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科第16題*

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(虞陽中學,福建 福清 350307)

近年來高考試題的命制越來越新穎多變，但萬變不離其宗，大多數(shù)高考題都能在教材或往年高考真題中找到其“原形”.高考對三角最值的考查也不例外，通過背景包裝、更換數(shù)字、變條件、變結論等多種方式對教材的例題、習題以及高考真題進行重新加工，看似平常，實則有很多值得品位的東西.現(xiàn)以2018年全國卷Ⅰ理科試題第16題為例，從解法探究、尋根探源、同源變式等角度來欣賞它，從而輕松突破求三角最值問題的思維瓶頸.

例1已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x，則f(x)的最小值是______.

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第16題)

該題表述簡潔，考查的內(nèi)容豐富，主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關系式以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值或利用基本不等式的推論求最值等基礎知識，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).在近5年的全國卷中，求三角函數(shù)的最值在2017年卷Ⅱ理科第14題、2017年卷Ⅲ文科第6題、2014年卷Ⅱ文(理)科第14題都出現(xiàn)過，這些題多利用二倍角公式、兩角和差的正余弦公式以及輔助角公式對三角函數(shù)進行化簡，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性，即可求其最值.本題若不會利用導數(shù)法或基本不等式的推論，則即使會利用三角公式進行化簡，也求不出最值.這樣設制高考題規(guī)避了特殊技巧，凸顯了數(shù)學本質(zhì)，能有效地考查考生的創(chuàng)新意識.

1 解法探究

解法1因為

f(x)= 2sinx+sin 2x=2sinx(1+cosx)=

于是

點評本解法的關鍵：一是“化簡”，即利用二倍角的正弦公式與余弦公式，對三角函數(shù)的解析式進行化簡；二是“用推論”，即利用基本不等式的推論，求出三角函數(shù)的最值，此時需注意等號成立條件的檢驗.

解法2因為f(x)=2sinx+sin 2x=2sinx(1+cosx)，所以

f2(x)= 4sin2x(1+cosx)2=

4(1-cosx)(1+cosx)3≤

于是

解法3因為f(x)=2sinx+sin 2x=2sinx(1+cosx),所以

f2(x)= 4sin2x(1+cosx)2=

4(1-cosx)(1+cosx)3.

設y=f2(x),cosx=t，則

y=4(1-t)(1+t)3(其中-1≤t≤1)，

從而y′= 4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=

8(1+t)2(1-2t)，

即

進而

點評本解法的關鍵：一是“會化簡”，只需用二倍角公式與同角三角函數(shù)的基本關系式，把f2(x)化為同角同名的函數(shù)式；二是“會換元”，即通過三角換元，把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為四次函數(shù)，此時需注意利用余弦函數(shù)的有界性，求出新元的取值范圍；三是“用導數(shù)”，即對函數(shù)求導，利用導數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最值，從而得到f2(x)的最值，即可求出f(x)的最小值.

解法4因為f(x)=2sinx+sin 2x，所以

f′(x)=2cosx+2cos 2x=4cos2x+2cosx-2.

設y=f′(x),cosx=t，則

y= 4t2+2t-2(其中-1≤t≤1),

點評與前3種解法相比，本解法跳過對函數(shù)f(x)的三角化簡，直接對函數(shù)f(x)求導，再通過三角換元(注意新元的取值范圍)，判斷導函數(shù)的符號，直接求出f(x)的最小值，實屬干凈利落.

解法5因為f(x)=2sinx+sin 2x，所以

f(x+2π)= 2sin(x+2π)+sin 2(x+2π)=

2sinx+sin 2x=f(x)，

從而2π是函數(shù)f(x)的周期，于是欲求函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x的最小值，等價于求函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x(其中0≤0≤2π)的最小值.求導得

f′(x)= 2cosx+2cos 2x=

4cos2x+2cosx-2=

其中0≤x≤2π.令f′(x)=0，得

即

由于

f(π)=0，f(0)=0，f(2π)=0，

點評本解法的關鍵：一是“會轉(zhuǎn)化”，即利用周期函數(shù)的定義，判斷三角函數(shù)的周期性，把求函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[0,2π]上的最小值；二是“用導數(shù)”，即求方程f′(x)=0的根，求出根所對應的函數(shù)值與端點的函數(shù)值，比較大小得函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值.

2 尋根探源

本題來源于人教A版教材第147頁復習參考題A組第11題的第1)小題[1]：

例2已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求f(x)的最大值.

3 同源變式

思考1若把例1中的“函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x”變?yōu)椤癴(x)=2sinx+sin2x”，其他都不變，即可得到如下難度降低的好題：

變式1已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是______.

分析設t=sinx(其中-1≤t≤1)，則

y=t2+2t，

即

y=(t+1)2-1.

當-1≤t≤1時，函數(shù)y=t2-4t+5單調(diào)遞增，從而當t=-1時，函數(shù)y=t2+2t(其中-1≤t≤1)取得最小值ymin=-1，即f(x)的最小值是-1.

點評求形如y=acos2x+bcosx+c或y=asin2x+bsinx+c(其中a,b,c,d均為常數(shù)，且ab≠0)的函數(shù)最值，常用三角換元法，將所給的函數(shù)化成最值容易確定的另一個函數(shù).一般可設t=cosx(其中-1≤t≤1)或t=sinx(其中-1≤t≤1)，再利用配方法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出原函數(shù)的最值.但在換元時應注意等價性，即關注新元的取值范圍.

思考2若把例1中的“函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x”變?yōu)椤癴(x)=2sin2x+sin 2x”，其他都不變，即可得到如下難度降低的好題：

變式2已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin 2x，則f(x)的最小值是______.

分析因為f(x)=2sin2x+sin 2x，所以

f(x)= 1-cos 2x+sin 2x=

點評破解此類三角函數(shù)最值問題的關鍵：一是化簡三角函數(shù)的解析式，化簡的目標為“角化同”(如本題，優(yōu)先考慮“冪降一次角翻倍”，即先把“2sin2x”轉(zhuǎn)化為“1-cos 2x”，再利用輔助角公式，把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為形如f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式)；二是利用正弦函數(shù)的最值性，即可求出三角函數(shù)的最值.

變式3已知函數(shù)

則f(x)的最小值與最大值之和為______.

分析因為

M+m=(3-M′)+(3-m′)=6-(M′+m′)=6.

所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù).設g(x)的最大值和最小值分別為M′，m′,則M′+m′=0.設函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則

點評破解此類題的關鍵：一是巧妙變形，對所給函數(shù)的解析式進行適當變形；二是巧構函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式所具有的明顯特征，巧妙構造函數(shù)；三是活用性質(zhì)，即活用奇函數(shù)的性質(zhì)，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，即可輕松求出最值.

從以上3個角度可窺：對典型高考題從不同角度進行變式探究，是深化知識、提升能力的重要途徑.