基于元胞自動機(jī)的傳染病跨區(qū)域傳播模型研究

陳長坤，童蘊(yùn)賀

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 長沙 410075)

人類自有史以來就一直遭受著傳染病的威脅，隨著社會的發(fā)展和醫(yī)學(xué)的進(jìn)步，傳染病的研究和預(yù)測已經(jīng)逐漸成為社會共同關(guān)注的課題。傳染病流行是在人群中發(fā)生的一個復(fù)雜擴(kuò)散過程，對這一過程建立模型，有助于理解傳染病的流行機(jī)理與內(nèi)在規(guī)律[1]，以模型為基礎(chǔ)對傳染病流行進(jìn)行分析和預(yù)測，可以為干預(yù)措施的選擇提供理論依據(jù)[2]。

對傳染病流動過程建立模型是研究傳染病傳播的主要方法。傳統(tǒng)的倉室模型是根據(jù)人群的不同狀態(tài)，在一定的假設(shè)下將人群分為多個倉室，采用微分方程刻畫人群狀態(tài)的變化，其中最為經(jīng)典的是SIR模型和SIS模型，許多模型都是在這兩種經(jīng)典模型上進(jìn)行擴(kuò)展，比如考慮遠(yuǎn)程感染機(jī)制的SIRS模型[3]、考慮傳染病潛伏期的SEIR模型[4]及考慮母源免疫的MSIR模型[5]。有些模型在人口動力學(xué)方面進(jìn)行擴(kuò)展，比如會考慮到人口的出生率與死亡率、時間滯后[6]、人口的年齡結(jié)構(gòu)[7]等，這些模型被廣泛應(yīng)用在SARS[8]、HIV[9]等傳染病的研究中。區(qū)域內(nèi)的個體有自己的動力學(xué)特性，通過運(yùn)動與另一個區(qū)域發(fā)生聯(lián)系，這個過程稱為遷移。不同地區(qū)之間因人員移動導(dǎo)致傳染病傳播的現(xiàn)象非常普遍，研究人口遷移對傳染病流行的影響已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注[10]。WANG等[11]提出一種新的傳染病模型來研究傳染病在兩個區(qū)域間的蔓延過程，該模型考慮了個體的擴(kuò)散性和人口的異質(zhì)性，研究結(jié)果證明易感個體的擴(kuò)散率不影響疾病的持續(xù)和滅絕。SUN等[12]采用帶有出生率和死亡率的SI模型研究了感染率和人口遷移對于疾病傳播的影響，研究發(fā)現(xiàn)在單一區(qū)域內(nèi)感染率過高或過低會使疾病消失，人口遷移對疾病傳播有雙重影響。

筆者擬采用元胞自動機(jī)方法，針對傳染病跨區(qū)域傳播，考慮了區(qū)域內(nèi)傳染病傳播和區(qū)域間人口遷移過程，建立傳染病跨區(qū)域傳播模型，模擬傳染病傳播過程，分析動態(tài)區(qū)域位置與面積對傳染病跨區(qū)域傳播的影響規(guī)律，以探究人口遷移對傳染病跨區(qū)域傳播的影響機(jī)理，為傳染病跨區(qū)域傳播預(yù)防和應(yīng)急處置提供決策支持。

1 模型

1.1 區(qū)域內(nèi)傳染病動力學(xué)模型

圖1 元胞(i, j)的鄰域

筆者采用二維元胞自動機(jī)方法，假設(shè)種群所處的空間是一個長寬均為n、總元胞數(shù)目為N的元胞空間，每一個元胞代表一個種群個體，如圖1所示，元胞的鄰域采用半徑為1的Von Neumann鄰居，每一個元胞在下一時刻的狀態(tài)取決于自身及其鄰域中的元胞在當(dāng)前時刻的狀態(tài)，個體的狀態(tài)逐步影響到周圍鄰居，從而導(dǎo)致整個元胞空間的變化。

筆者采用的傳染病模型為SIR模型。SIR模型將人群劃分為易感者、感染者和免疫(移出)者。易感者(susceptible)指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；感染者(infective)指染上傳染病的人，可以傳播給易感者；免疫者(recovered)指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。在該模型中，人口總數(shù)為常數(shù)，即不考慮人口輸入和輸出，也不考慮人口的出生，傳染病傳播模式為接觸傳染，感染率與元胞鄰域內(nèi)的感染者數(shù)量有關(guān)系。對于任一個體，其鄰域內(nèi)的每一個感染者都有β的概率感染個體，則個體的感染率為1-(1-β)n，n為其鄰域內(nèi)感染者的數(shù)量[13]。傳染病傳播機(jī)理如圖2所示。

圖2 傳染病傳播機(jī)理

采用變量s(i,j,t,k)表示區(qū)域k、坐標(biāo)為(i,j)的元胞在t時刻的狀態(tài)。當(dāng)k=1時，表示A區(qū)域；k=2時，表示B區(qū)域。每個元胞有5種狀態(tài)：①感染者，感染者以一定的概率γ獲得免疫，成為免疫者；以一定的概率α死亡，成為死亡者；②易感者，在其鄰域內(nèi)如果存在感染者，那么其將會以概率1-(1-β)n成為感染者；n為其鄰域內(nèi)的感染者的數(shù)量；③免疫者，免疫者不會再受到該類傳染病的傳染；④空置狀態(tài)，此狀態(tài)下元胞未被個體占據(jù)，任意的個體在下一時刻可以移動到此位置。⑤死亡者，感染者因病死亡，成為死亡者，該元胞退出程序進(jìn)程，下一時刻此元胞刷新為空置狀態(tài)。

個體的移動性是傳染病得以傳播的必要條件，也是疾病跨區(qū)域傳播的基礎(chǔ)。移動的人口比例足夠大或者移動距離較遠(yuǎn)，會加速疾病的蔓延[14]。筆者采用生態(tài)學(xué)中人員運(yùn)動模型“不相關(guān)的隨機(jī)行走”(URW)來模擬人員的隨機(jī)移動。在URW中，人員以恒定的速度和連續(xù)的獨(dú)立步驟、以同樣的概率轉(zhuǎn)向每個方向[15]。模型中設(shè)置的移動規(guī)則為個體在單位時間步內(nèi)移動一步，移動距離為1，考慮到現(xiàn)實(shí)情況，增加“保持原位”狀態(tài)。移動方向由鄰域元胞的狀態(tài)決定：當(dāng)鄰域存在閑置狀態(tài)的元胞時，個體將以相同的概率向閑置狀態(tài)的元胞隨機(jī)移動；當(dāng)鄰域元胞全部為非閑置狀態(tài)時，該個體此時間步不移動。元胞狀態(tài)的改變(個體的受感染、免疫過程)發(fā)生在個體移動之前，個體的狀態(tài)全部確定后，人員開始移動，個體在各個區(qū)域內(nèi)的移動同步進(jìn)行。

1.2 區(qū)域間人口遷移模型

區(qū)域內(nèi)的個體有自己的動力學(xué)特性，通過運(yùn)動與另一個區(qū)域發(fā)生聯(lián)系，不同地區(qū)之間因人員移動而導(dǎo)致傳染病的蔓延。BROWNSTEIN等[16]采用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)評估航空旅行在區(qū)域間流感傳播中的作用，發(fā)現(xiàn)國際航空旅行對流感傳染時間和區(qū)域流感傳播率有重要影響。在傳染病的全球傳播進(jìn)程中，航空旅行是人口遷移的一個重要方式，直接影響到傳染病的蔓延；而在傳染病的區(qū)域傳播中，鐵路、公路等短距離交通運(yùn)輸是人口遷移的主要方式，也是傳染病蔓延的原因之一。筆者依據(jù)區(qū)域不同特性，將每個區(qū)域分為動態(tài)區(qū)域和靜態(tài)區(qū)域，動態(tài)區(qū)域表征個體可進(jìn)行跨區(qū)域移動的場所，如高鐵站或火車站等；靜態(tài)區(qū)域表征個體不可進(jìn)行跨區(qū)域移動的場所，且只在本區(qū)域內(nèi)自由運(yùn)動?？紤]到區(qū)域間短距離人口遷移特性，人口遷移遵循以下規(guī)則：①當(dāng)且僅當(dāng)個體在動態(tài)區(qū)域內(nèi)，人口遷移才有可能發(fā)生；②考慮到動態(tài)區(qū)域容量限制，人口遷移為雙向遷移，即在每一時間步區(qū)域A向區(qū)域B遷移一定數(shù)量的個體，區(qū)域B同時向區(qū)域A遷移同等數(shù)量的個體；③遷移人口的確定是個隨機(jī)過程，由程序的隨機(jī)數(shù)確定，不考慮人口的狀態(tài)(易感狀態(tài)、感染狀態(tài)和免疫狀態(tài))。當(dāng)易感者、感染者或者免疫者移動到另一區(qū)域時，其本身狀態(tài)并不發(fā)生改變。人口遷移模型示意圖如圖3所示。

圖3 人口遷移模型示意圖

對于A、B區(qū)域，每個區(qū)域內(nèi)易感者、感染者、免疫者和死亡者的微分方程分別為：

(1)

(2)

(3)

(4)

2 模擬及分析

筆者模擬傳染病在兩個區(qū)域間的傳播，設(shè)置區(qū)域A和區(qū)域B，每個區(qū)域尺寸為100×100，單位為元胞數(shù)，初始人口數(shù)為2 000人，每個區(qū)域均存在一個動態(tài)區(qū)域進(jìn)行兩區(qū)域間的人口遷移，單位時間步交換人數(shù)m為50人，初始感染者僅存在區(qū)域A的動態(tài)區(qū)域內(nèi)，數(shù)量為50人。設(shè)置感染率β為0.2，免疫率γ為0.01，死亡率α為0.01。通過改變兩區(qū)域的動態(tài)區(qū)域的位置和面積來研究人口遷移對傳染病跨區(qū)域傳播的影響。

2.1 隨機(jī)過程的影響

該模型涉及到多個隨機(jī)過程，包括個體的隨機(jī)移動、動態(tài)區(qū)域內(nèi)遷移人口的隨機(jī)確定及初始個體的隨機(jī)分布，為了減小隨機(jī)過程帶來的誤差，將模擬次數(shù)設(shè)置為100次，取其平均值。針對同一工況分別模擬1次和100次，觀察不同模擬次數(shù)下感染密度隨時間步的變化情況，模擬結(jié)果如圖4所示，可以看出，當(dāng)模擬次數(shù)為1時，兩次模擬結(jié)果的感染密度隨時間變化曲線差異較大；當(dāng)模擬次數(shù)為100時，兩次模擬結(jié)果的感染密度隨時間變化曲線幾乎無差異，說明當(dāng)模擬次數(shù)為100時，隨機(jī)過程對于試驗(yàn)結(jié)果的影響可忽略不計(jì)。其中，感染密度為感染者占總?cè)丝诘谋壤?/p>

圖4 不同模擬次數(shù)下感染密度隨時間變化圖

2.2 動態(tài)區(qū)域位置對傳染病傳播的影響

為了定量研究動態(tài)區(qū)域位置對傳染病傳播的影響，引入特征半徑概念，用來衡量動態(tài)區(qū)域位置與區(qū)域中心的偏離程度。定義特征半徑為該區(qū)域內(nèi)人口以最短路徑遷移至中心區(qū)域位置所需要的時間步的期望值，用R表示。已知區(qū)域尺寸為100×100，將其等分為25個區(qū)域塊，每一塊尺寸為20×20，則最偏遠(yuǎn)區(qū)域按最短路徑遷移至區(qū)域中心所需期望時間步為80，按此計(jì)算，各個區(qū)域塊總體特征半徑分布圖如圖5所示。

圖5 特征半徑分布圖

圖6 不同特征半徑下感染密度隨時間步變化圖

不同特征半徑下感染密度隨時間步變化圖如圖6所示，可以看出當(dāng)動態(tài)區(qū)域位置不同時，兩區(qū)域感染密度隨時間步變化的規(guī)律也不同。在不同的特征半徑下，感染密度隨著時間步變化都經(jīng)歷了一個先上升再下降最后為0的過程。當(dāng)特征半徑為0時，感染密度最大，最大值達(dá)到0.45。隨著特征半徑的不斷增加，感染密度有減小的趨勢。將蔓延速度定義為傳染病從爆發(fā)到最嚴(yán)重時感染密度的變化率，用來衡量傳染病的感染速度。將感染峰值定義為感染密度能夠達(dá)到的最大值，用來衡量傳染病的嚴(yán)重程度。蔓延速度和感染峰值與特征半徑的關(guān)系如圖7所示，可以看出隨著特征半徑的增加，蔓延速度減小，感染峰值先減小后增加。當(dāng)特征半徑為0時，蔓延速度最大，即當(dāng)動態(tài)區(qū)域位于中心位置時，傳染病最易蔓延。

圖7 蔓延速度和感染峰值與特征半徑關(guān)系圖

2.3 動態(tài)區(qū)域面積對傳染病傳播的影響

圖8 不同動態(tài)區(qū)域面積下感染密度隨時間步變化圖

作為聯(lián)結(jié)兩區(qū)域的唯一通道，動態(tài)區(qū)域的面積也影響著傳染病在兩個區(qū)域內(nèi)的傳播。為了研究動態(tài)區(qū)域面積對傳染病的影響，保持動態(tài)區(qū)域位置在區(qū)域中心位置，大小分別設(shè)置為20×20、30×30、40×40，用L表示動態(tài)區(qū)域尺寸大小。模擬結(jié)果如圖8所示，當(dāng)L=20時，感染密度在時間步為180時達(dá)到峰值(0.44)；當(dāng)L=40時，感染密度在時間步為140時就達(dá)到峰值(0.47)。隨著動態(tài)區(qū)域面積的增加，傳染病的感染速度和感染峰值也在增加。當(dāng)L分別為20和40時兩區(qū)域傳染病空間分布圖如圖9所示，當(dāng)L=20時，感染者初始分布更為集中，傳染病蔓延較慢；當(dāng)L=40時，傳染病蔓延較快，當(dāng)時間步為100時，已感染區(qū)域內(nèi)絕大部分個體。當(dāng)動態(tài)區(qū)域面積增加時，初始患病者的分布更為分散，傳染病隨著個體的移動和接觸傳播，較為分散的患病者會形成多個傳染中心，極大地加快了傳染病在兩區(qū)域內(nèi)的傳播進(jìn)程，導(dǎo)致傳染病的蔓延速度和感染峰值都增加。

3 結(jié)論

為了研究人口遷移對于傳染病傳播的影響，針對傳染病區(qū)域間傳播，筆者建立了具有移動性和人口遷移的傳染病跨區(qū)域傳播模型，研究了動態(tài)區(qū)域位置和面積對傳染病跨區(qū)域傳播影響，研究發(fā)現(xiàn)：①特征半徑是影響傳染病蔓延的關(guān)鍵因素，隨著特征半徑的減小，傳染病在兩區(qū)域內(nèi)的蔓延速度增加，在更短的時間內(nèi)達(dá)到感染峰值。而且存在一個臨界值，使傳染病感染峰值最小。特征半徑較大時，動態(tài)區(qū)域與中心偏離程度較大，傳染病在A區(qū)域的傳播以及通過動態(tài)區(qū)域蔓延至B區(qū)域的傳播，受到邊界的限制，使蔓延速度減小。②隨著動態(tài)區(qū)域面積的增加。傳染病的感染速度和感染峰值都增加。當(dāng)動態(tài)區(qū)域面積較大時，初始患病者的分布更為分散，較為分散的患病者會形成多個傳染中心，極大地加快了傳染病在兩個區(qū)域內(nèi)的傳播進(jìn)程。

圖9 當(dāng)L分別為20和40時兩區(qū)域傳染病空間分布圖