拓展“田忌賽馬”故事，感悟?qū)Σ哒撍枷?/h1>
2018-09-01 09:32方增慎
小學教學參考(數(shù)學) 2018年7期 關(guān)鍵詞：田忌賽馬
方增慎
[摘 要]學生只有分析、理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷?，因此教師一定要指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件。把“田忌賽馬”故事進行拓展，再增加兩次賽馬比賽，然后以問題為引領(lǐng)，指導學生分析比賽過程，讓學生更深刻地理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，更好地感悟?qū)Σ哒撍枷搿?/p>
[關(guān)鍵詞]田忌賽馬；對策論思想；最優(yōu)策略
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0027-02
“田忌賽馬”是人教版教材四年級上冊第八單元“數(shù)學廣角——優(yōu)化”的例3內(nèi)容。教材的編寫意圖是通過“田忌賽馬”故事，讓學生初步了解對策論的思想。為此，教材呈現(xiàn)了如下兩個表格。
表1反映的是故事中的第二次比賽，即田忌獲勝的那次比賽，其作用是讓學生回顧“田忌賽馬”的故事，明確田忌所用的獲勝策略；表2反映的是針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有多少種可采用的應對策略，其作用是讓學生從數(shù)學的角度去理解田忌共有多少種可采用的應對策略，并從中找到最優(yōu)策略，體會對策論思想的重要性。為了實現(xiàn)這一意圖，與教材配套的《教師教學用書》給出的教學建議有三點：一是引領(lǐng)學生從數(shù)學角度去分析歷史事件；二是引導學生運用數(shù)學方法尋找并分析最優(yōu)策略；三是指導學生分析實施最優(yōu)策略的基本條件（一是齊王先出馬，且田忌知曉他的出馬情況；二是全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應對，從而整體取勝）。
很多教師在教學“田忌賽馬”這一內(nèi)容時，先是創(chuàng)設(shè)情境導入新課，在探究階段大都分為兩個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)，教師先播放“田忌賽馬”故事的視頻，接著讓學生填寫教材上的表1（有的教師另加一個反映第一次比賽的表格），以回顧故事中的賽馬比賽。表格填好后，教師以問題為引領(lǐng)，引發(fā)學生思考：第一次比賽，田忌為什么輸了？第二次比賽，田忌為什么能贏？田忌為什么要用自己最弱的馬對付齊王最強的馬？從而讓學生感悟到田忌以弱勝強策略的產(chǎn)生過程。這一環(huán)節(jié)的教學符合“教學建議”的第一點。
第二個環(huán)節(jié)，教師以問題“田忌在第二次比賽中所用的策略是不是唯一能贏齊王的方法？”為引領(lǐng)，給出表2，讓學生通過有序排列、列舉填表、相互對照，得出針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有六種可采用的應對策略，其中只有一種策略”可以獲勝，是最優(yōu)策略。這一環(huán)節(jié)的教學符合“教學建議的第二點。
很多教師在第二個環(huán)節(jié)之后，就生硬地給出“田忌實施最優(yōu)策略，即取得以弱勝強的結(jié)局需要滿足兩個基本條件”的結(jié)論，從而結(jié)束新課探究，進入練習鞏固環(huán)節(jié)。甚至有的教師沒有總結(jié)田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，直接忽略了“教學建議”的第三點。筆者認為這樣的處理都是不妥的。學生只有分析、理解了田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷?，這是本節(jié)課教學至關(guān)重要的一點，是精髓所在。因此，教學中教師一定要指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件。那么，如何指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件呢？筆者認為，僅靠故事中的兩次比賽和教材上的兩個表格是不能有效地指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件的。因為故事中的兩次比賽以及教材上的兩個表格都是設(shè)定齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬和下等馬，這樣學生頭腦里容易形成思維定式，即“田忌獲勝的策略也就是最優(yōu)策略是齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬、下等馬，田忌依次出下等馬、上等馬、中等馬”，至于為什么齊王要先出馬，田忌為什么要依次出下等馬、上等馬和中等馬，學生并不知其所以然。如果齊王后出馬，田忌先出馬，很多學生就不知道田忌不可能獲勝了。如果齊王調(diào)換了出馬順序，比如齊王依次出下等馬、中等馬和上等馬，很多學生就不知道田忌如何應對才能獲勝了。究其原因是，學生不知道或者沒能領(lǐng)會“齊王先出馬”是實施最優(yōu)策略的一個基本條件，不知道或者沒能領(lǐng)會“田忌必須以最弱的馬對齊王最強的馬”這個實施最優(yōu)策略的關(guān)鍵一招。
“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，筆者認為，要讓學生分析、理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，僅靠以上兩個環(huán)節(jié)，僅靠故事中的兩次比賽是不夠的，還要有更鮮活的可供學生探究的素材。不妨把“田忌賽馬”的故事進行拓展，再增加兩次賽馬比賽，然后以問題為引領(lǐng)，指導學生分析比賽過程，讓學生進一步理解實施最優(yōu)策略的基本條件，不妨把此作為探究階段的第三個環(huán)節(jié)。
以下是新增的第三個環(huán)節(jié)的具體教學過程。
師（講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：話說第二次比賽結(jié)束之后，齊王回到王宮，心里一直在納悶：兩次比賽，寡人和田忌都是同樣的三匹馬，第一次比賽寡人大獲全勝，第二次比賽寡人為什么卻輸了呢？齊王百思不得其解，就問身邊的太監(jiān)和宮女。有一個聰明的太監(jiān)好像發(fā)現(xiàn)了其中的奧妙，就向齊王進言：“陛下，田忌第二次比賽之所以獲勝，是因為他調(diào)換了出馬順序，陛下明天再與他賽一次，到時也調(diào)換出馬順序，陛下肯定能贏?！?/p>
師（課件出示問題）：第三次比賽齊王調(diào)換了出馬順序，這樣田忌還能贏嗎？
（學生思考，教師指導學生分析田忌的應對策略）
生1：齊王的馬無論以怎樣的順序出場，只要田忌總是以上等馬對齊王的中等馬、以中等馬對齊王的下等馬、以下等馬對齊王的上等馬，就能以2∶1獲勝。
【設(shè)計意圖：幫助學生進一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第二個基本條件，即“全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應對，從而整體取勝”。】
師（接著講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：第三次比賽齊王又輸了，回到王宮他更加納悶了：寡人這次也調(diào)換了出馬順序，但田忌還是贏了，寡人真的沒辦法戰(zhàn)勝田忌嗎？他把平時鬼點子多的大臣都叫來了，問他們有什么辦法能戰(zhàn)勝田忌。大臣們冥思苦想，過了好長時間，終于有一個大臣恍然大悟，忙啟奏齊王：“陛下，第二次、第三次比賽您接連都輸了，是因為陛下先出馬，田忌后出馬。陛下明天再與他賽一次，讓田忌先出馬，陛下就一定能贏了。”
師（課件出示問題）：田忌先出馬，齊王一定能贏嗎？
（學生思考，教師指導學生分析齊王的應對策略）
生2：田忌先出馬，不管是怎樣的出馬順序，齊王最簡單的辦法就是每場出與田忌同一級別的馬應對，由于同一級別的馬，齊王的比田忌的跑得快，因此齊王能以3∶0大獲全勝。
【設(shè)計意圖：幫助學生進一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第一個基本條件，即“齊王先出馬”?！?/p>
像這樣，把“田忌賽馬”的故事進行拓展，指導學生分析增加的第三次、第四次賽馬比賽，學生才能真正理解田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件?？梢?，教師在使用教材的時候，不能囿于教材，要創(chuàng)造性地使用教材，學會根據(jù)教學需要對教材進行適當?shù)母木幒脱a充。
（責編 黃春香）
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方增慎
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[關(guān)鍵詞]田忌賽馬；對策論思想；最優(yōu)策略
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0027-02
“田忌賽馬”是人教版教材四年級上冊第八單元“數(shù)學廣角——優(yōu)化”的例3內(nèi)容。教材的編寫意圖是通過“田忌賽馬”故事，讓學生初步了解對策論的思想。為此，教材呈現(xiàn)了如下兩個表格。
表1反映的是故事中的第二次比賽，即田忌獲勝的那次比賽，其作用是讓學生回顧“田忌賽馬”的故事，明確田忌所用的獲勝策略；表2反映的是針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有多少種可采用的應對策略，其作用是讓學生從數(shù)學的角度去理解田忌共有多少種可采用的應對策略，并從中找到最優(yōu)策略，體會對策論思想的重要性。為了實現(xiàn)這一意圖，與教材配套的《教師教學用書》給出的教學建議有三點：一是引領(lǐng)學生從數(shù)學角度去分析歷史事件；二是引導學生運用數(shù)學方法尋找并分析最優(yōu)策略；三是指導學生分析實施最優(yōu)策略的基本條件（一是齊王先出馬，且田忌知曉他的出馬情況；二是全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應對，從而整體取勝）。
很多教師在教學“田忌賽馬”這一內(nèi)容時，先是創(chuàng)設(shè)情境導入新課，在探究階段大都分為兩個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)，教師先播放“田忌賽馬”故事的視頻，接著讓學生填寫教材上的表1（有的教師另加一個反映第一次比賽的表格），以回顧故事中的賽馬比賽。表格填好后，教師以問題為引領(lǐng)，引發(fā)學生思考：第一次比賽，田忌為什么輸了？第二次比賽，田忌為什么能贏？田忌為什么要用自己最弱的馬對付齊王最強的馬？從而讓學生感悟到田忌以弱勝強策略的產(chǎn)生過程。這一環(huán)節(jié)的教學符合“教學建議”的第一點。
第二個環(huán)節(jié)，教師以問題“田忌在第二次比賽中所用的策略是不是唯一能贏齊王的方法？”為引領(lǐng)，給出表2，讓學生通過有序排列、列舉填表、相互對照，得出針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有六種可采用的應對策略，其中只有一種策略”可以獲勝，是最優(yōu)策略。這一環(huán)節(jié)的教學符合“教學建議的第二點。
很多教師在第二個環(huán)節(jié)之后，就生硬地給出“田忌實施最優(yōu)策略，即取得以弱勝強的結(jié)局需要滿足兩個基本條件”的結(jié)論，從而結(jié)束新課探究，進入練習鞏固環(huán)節(jié)。甚至有的教師沒有總結(jié)田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，直接忽略了“教學建議”的第三點。筆者認為這樣的處理都是不妥的。學生只有分析、理解了田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷?，這是本節(jié)課教學至關(guān)重要的一點，是精髓所在。因此，教學中教師一定要指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件。那么，如何指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件呢？筆者認為，僅靠故事中的兩次比賽和教材上的兩個表格是不能有效地指導學生分析田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件的。因為故事中的兩次比賽以及教材上的兩個表格都是設(shè)定齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬和下等馬，這樣學生頭腦里容易形成思維定式，即“田忌獲勝的策略也就是最優(yōu)策略是齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬、下等馬，田忌依次出下等馬、上等馬、中等馬”，至于為什么齊王要先出馬，田忌為什么要依次出下等馬、上等馬和中等馬，學生并不知其所以然。如果齊王后出馬，田忌先出馬，很多學生就不知道田忌不可能獲勝了。如果齊王調(diào)換了出馬順序，比如齊王依次出下等馬、中等馬和上等馬，很多學生就不知道田忌如何應對才能獲勝了。究其原因是，學生不知道或者沒能領(lǐng)會“齊王先出馬”是實施最優(yōu)策略的一個基本條件，不知道或者沒能領(lǐng)會“田忌必須以最弱的馬對齊王最強的馬”這個實施最優(yōu)策略的關(guān)鍵一招。
“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，筆者認為，要讓學生分析、理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，僅靠以上兩個環(huán)節(jié)，僅靠故事中的兩次比賽是不夠的，還要有更鮮活的可供學生探究的素材。不妨把“田忌賽馬”的故事進行拓展，再增加兩次賽馬比賽，然后以問題為引領(lǐng)，指導學生分析比賽過程，讓學生進一步理解實施最優(yōu)策略的基本條件，不妨把此作為探究階段的第三個環(huán)節(jié)。
以下是新增的第三個環(huán)節(jié)的具體教學過程。
師（講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：話說第二次比賽結(jié)束之后，齊王回到王宮，心里一直在納悶：兩次比賽，寡人和田忌都是同樣的三匹馬，第一次比賽寡人大獲全勝，第二次比賽寡人為什么卻輸了呢？齊王百思不得其解，就問身邊的太監(jiān)和宮女。有一個聰明的太監(jiān)好像發(fā)現(xiàn)了其中的奧妙，就向齊王進言：“陛下，田忌第二次比賽之所以獲勝，是因為他調(diào)換了出馬順序，陛下明天再與他賽一次，到時也調(diào)換出馬順序，陛下肯定能贏?！?/p>
師（課件出示問題）：第三次比賽齊王調(diào)換了出馬順序，這樣田忌還能贏嗎？
（學生思考，教師指導學生分析田忌的應對策略）
生1：齊王的馬無論以怎樣的順序出場，只要田忌總是以上等馬對齊王的中等馬、以中等馬對齊王的下等馬、以下等馬對齊王的上等馬，就能以2∶1獲勝。
【設(shè)計意圖：幫助學生進一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第二個基本條件，即“全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應對，從而整體取勝”。】
師（接著講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：第三次比賽齊王又輸了，回到王宮他更加納悶了：寡人這次也調(diào)換了出馬順序，但田忌還是贏了，寡人真的沒辦法戰(zhàn)勝田忌嗎？他把平時鬼點子多的大臣都叫來了，問他們有什么辦法能戰(zhàn)勝田忌。大臣們冥思苦想，過了好長時間，終于有一個大臣恍然大悟，忙啟奏齊王：“陛下，第二次、第三次比賽您接連都輸了，是因為陛下先出馬，田忌后出馬。陛下明天再與他賽一次，讓田忌先出馬，陛下就一定能贏了。”
師（課件出示問題）：田忌先出馬，齊王一定能贏嗎？
（學生思考，教師指導學生分析齊王的應對策略）
生2：田忌先出馬，不管是怎樣的出馬順序，齊王最簡單的辦法就是每場出與田忌同一級別的馬應對，由于同一級別的馬，齊王的比田忌的跑得快，因此齊王能以3∶0大獲全勝。
【設(shè)計意圖：幫助學生進一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第一個基本條件，即“齊王先出馬”?！?/p>
像這樣，把“田忌賽馬”的故事進行拓展，指導學生分析增加的第三次、第四次賽馬比賽，學生才能真正理解田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件?？梢?，教師在使用教材的時候，不能囿于教材，要創(chuàng)造性地使用教材，學會根據(jù)教學需要對教材進行適當?shù)母木幒脱a充。
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