不確定性需求下快速路應(yīng)急疏散魯棒優(yōu)化模型*

何勝學(xué)

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院 上海 200093)

0 引 言

作為交通網(wǎng)絡(luò)“主動脈”的快速路在區(qū)域應(yīng)急疏散中發(fā)揮著重要交通疏運作用.盡管存在大量的快速路管理控制優(yōu)化研究，但是針對應(yīng)急疏散情況下快速路優(yōu)化管理的研究卻非常有限.以最常用的匝道釋放流量調(diào)節(jié)作為控制手段，本研究嘗試針對不確定疏散需求條件下的快速路疏散有效控制進(jìn)行研究.一般而言，疏散需求的不確定性表現(xiàn)為對于一個指定疏散起點，僅可知其在指定時段內(nèi)的疏散流量上下限和可行疏散期內(nèi)總的疏散需求，而沒有其他相關(guān)信息，例如，需求的隨機(jī)分布規(guī)律.疏散需求的不確定性不僅會給快速路的優(yōu)化控制建模帶來不便，也會造成無法對所建模型進(jìn)行有效求解的困難.

So等[1]提出了一種上游優(yōu)先的快速路疏散自適應(yīng)式控制策略，利用該策略不僅可以在最短時間完成疏散，而且不需要疏散需求的具體信息.但是該策略假設(shè)快速路主線車流的行駛速度為無限大，任何一個匝道的到達(dá)車流率均大于近鄰下游的主線分段臨界流率，而上述假設(shè)與現(xiàn)實明顯不符.本研究借鑒了文獻(xiàn)[2]中快速路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即不考慮下匝道分流且疏散僅有一個下游目的地.Zhang等[3]針對無起訖點對需求信息的快速路控制進(jìn)行了研究，給出了一個兩階段控制策略.盡管對需求信息沒有要求，但是該研究假設(shè)所有下匝道與下游出口具有穩(wěn)定的交通流率.細(xì)致分析可知上述兩研究給出的方法在本質(zhì)上是相同的.與上述兩個研究的假設(shè)相仿，本研究假定確切的動態(tài)交通需求是不可得的.何勝學(xué)[4]將文獻(xiàn)[1]給出的方法進(jìn)行了拓展，給出前向樹狀緊急疏散網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)式控制策略.

在確定性靜態(tài)交通流量條件下，Wattleworth[5]最早利用線性規(guī)劃技術(shù)建立了一個高峰期的快速路控制模型.基于元胞傳播模型(CTM)，Ziliaskopoulos[6]給出了一個以系統(tǒng)最優(yōu)為目標(biāo)且僅有一個終點的動態(tài)交通流分配模型.同樣基于CTM, Chiu等[7]研究了一般緊急疏散網(wǎng)絡(luò)的管理問題.文獻(xiàn)[2]通過對高階宏觀交通流模型的修正，給出了如何利用地面輔道緩沖疏散車流的快速路優(yōu)化控制方法.盡管上述方法可以對快速路交通流演變進(jìn)行較細(xì)致的刻畫，但是實際應(yīng)用時需要對大量的網(wǎng)絡(luò)元素進(jìn)行細(xì)分，并對各種路網(wǎng)參變量進(jìn)行標(biāo)定與輸入，因此，并不適用于不確定性需求條件下的快速路緊急疏散分析.特別是在給出控制方案的時間要求緊，且各種前期數(shù)據(jù)缺乏情況下，上述建模方法的劣勢更加突出.本研究將基于上述考慮，在合理的假設(shè)條件下，尋求更加簡單有效的建模方法.

為了處理不確定的動態(tài)疏散需求，本研究將利用仿射可調(diào)節(jié)的魯棒優(yōu)化方法.該方法是由Bental等[8]首先提出的，在網(wǎng)絡(luò)和交通運輸方面的應(yīng)用可參閱文獻(xiàn)[9-13].以CTM作為建模基礎(chǔ)，Bental等[14-15]利用該方法對動態(tài)交通分配和物流網(wǎng)絡(luò)中的不確定需求進(jìn)行了分析研究.上述已有研究為本研究提供了可借鑒的思路.

1 確定需求下的基礎(chǔ)疏散模型

1.1 主要參變量

圖1為條用于緊急疏散的快速路.假設(shè)危險源處于快速路的上游端口附近，而避難所處于快速路的下游端口附近，所有匝道均有車輛需要緊急疏散.為了區(qū)分各匝道疏散風(fēng)險的差異，在隨后的模型中將給出相應(yīng)的風(fēng)險權(quán)重.

帶箭頭的短斜線-上匝道；帶箭頭的水平線-快速路分段.圖1 緊急疏散中的一條快速路

1.2 基本假設(shè)條件

應(yīng)急疏散期間的交通管理與控制在許多方面有別于日常的交通管理與控制.①快速路疏散有一個可行的疏散時間期.從各上游匝道進(jìn)入快速路主線的疏散車流一般具有共同的開始時間；②快速路疏散交通流一般具有單向和共同目的地的特征；③為了使疏散車流通暢快捷的通過主線，在各個主線分段的車流始終不允許超過最大臨界交通流率；④來自各匝道的疏散需求一般是不確定的.假設(shè)僅可以估計出各匝道處的總疏散需求上限，以及各個分時段的需求大致變化范圍.

假設(shè)主線分段遵循圖2所示的交通流基本關(guān)系圖，則任何時段的主線分段流率將小于臨界流量qCr.如果當(dāng)前分段的流率為qAB，那么其可對應(yīng)的交通流狀態(tài)包括自由流狀態(tài)A和擁擠狀態(tài)B.在相同的時間段內(nèi)，兩個狀態(tài)下通過分段的車輛總數(shù)相同；但是當(dāng)處于擁擠狀態(tài)B時，所有通過的車輛將花費更長的時間并體驗令人不悅的交通擁擠.如果在疏散過程中始終保持主線的交通流率低于臨界流率，則交通狀態(tài)將維持在自由流狀態(tài).這樣既避免了對復(fù)雜多變的擁擠狀態(tài)進(jìn)行管理控制的必要，也保證了疏散車流運行的平順快捷.

圖2 三角形流量-密度-速度基本關(guān)系圖

1.3 快速路基礎(chǔ)疏散模型

1.3.1等價的目標(biāo)函數(shù)

基于主線車流維持自由流狀態(tài)的假設(shè)，易知在疏散車輛進(jìn)入快速路后，其到達(dá)下游目的地的時間確定.因此如果各匝道處總的實際疏散車輛數(shù)給定，則總的車輛行駛時間為定值.綜上，疏散優(yōu)化目標(biāo)應(yīng)考慮最小化所有疏散車輛在匝道處等待被加載進(jìn)入主線的時間.

圖3 具有動態(tài)需求的快速路假想累計 到達(dá)與釋放流量曲線

1.3.2基礎(chǔ)模型

基于已有的假設(shè)條件，建立相應(yīng)的快速路疏散基礎(chǔ)模型為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2 考慮不確定需求的魯棒優(yōu)化模型

2.1 不確定的動態(tài)疏散需求

(8)

用θ表示疏散需求的不確定性水平，則式(8)可等價表示為

(9)

在基礎(chǔ)疏散模型MP1中加入約束條件(8)或(9)，模型將變?yōu)橐粋€難以處理的半無限維數(shù)學(xué)規(guī)劃問題.如果沒有進(jìn)一步的處理，很難得到新模型的最優(yōu)解，有時甚至很難得到一個可行解.

2.2 魯棒優(yōu)化模型

(10)

MP2:minz

(11)

MP2仍然是一個難以處理的半無限維優(yōu)化問題.但是可以利用線性規(guī)劃的強(qiáng)對偶理論對MP2相關(guān)約束進(jìn)行處理，得到如下一個等價的可處理線性規(guī)劃模型：

MP3:minz

?τ∈T,s∈R

s∈R,k∈T,l∈L

s∈R,k∈T,l∈L

s∈R,k∈T,l∈L

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

?τ∈T,s∈R,r∈R

?τ∈T,s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

?τ∈T,s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

s∈R,k∈T,r∈R

(12)

上述模型MP3中，λ表示對偶變量集合，增加的相關(guān)數(shù)字上標(biāo)是為了簡化參變量表述.I(s)定義為一個0-1變量.當(dāng)條件s滿足時，I(s)=1；否則，I(s)=0.

證明.利用下面的關(guān)系式，可將所有受不確定數(shù)據(jù)影響的約束轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€等價的線性問題：

因此，存在滿足bλ≤ν,ATλ=α和λ≥0的對偶變量λ，定理得證.

盡管MP3的規(guī)模相比于MP2明顯增大，但是由于該模型仍然為線性模型，因此，可以利用已有的商業(yè)軟件高效求解.本文隨后的算例分析部分將采用數(shù)值優(yōu)化軟件Lingo13.0，該軟件具有非常好的線性規(guī)劃求解效率.例如在處理近30 000個變量和13 000個約束的算例時，得到最優(yōu)結(jié)果僅需數(shù)秒，因此本文不再對模型的求解算法加以展開分析.

3 算例分析

以一條與圖1具有相似拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)且包含5個上匝道的快速路為例，該快速路的基本數(shù)據(jù)見表1.

表1 快速路疏散系統(tǒng)的基本參量

為了簡化分析，設(shè)定所有匝道的疏散優(yōu)先權(quán)權(quán)重均為1，且所有匝道具有相同的多面體式疏散需求約束形式.令K=10，并假設(shè)所有疏散車輛與kT=5T時段前全部抵達(dá)相應(yīng)的匝道處.在以上假設(shè)條件下，模型MP3共包含29 482個變量和13 057個約束.

表2 不確定性水平與名義需求大小對的影響

在利用SSP求解帶有不確定性需求的MP1模型時，假設(shè)疏散需求服從指定的Beta分布.首先利用隨機(jī)生成的50個樣本計算SSP方法的指導(dǎo)性釋放疏散車流和最終優(yōu)化目標(biāo)值；隨后，分別利用MP3和SSP對1 000個需求樣本進(jìn)行疏散處理，并將疏散結(jié)果的目標(biāo)均值和最差的目標(biāo)函數(shù)值加以比較.表3為需求服從Beta(1,1)、名義需求為3.6以及cp=-5的比較結(jié)果；而表4為需求服從Beta(2,5)、名義需求為3.2以及cp=-20的比較結(jié)果.

表3 MP3與SSP的疏散效果比較

表4 MP3與SSP的疏散效果比較

由表3～4可知，SSP方法所得目標(biāo)函數(shù)值在不同的不確定性需求水平下均高于MP3的計算結(jié)果.這一現(xiàn)象合理反映了兩種方法的本質(zhì)特征.SSP的目標(biāo)函數(shù)值是對已知樣本計算的一種均值；而MP3給出的是最糟糕情景下可行疏散方法的結(jié)果.用兩種方法對1 000個隨機(jī)樣本進(jìn)行實際處理，表3～4中的數(shù)據(jù)顯示利用MP3的方法在樣本目標(biāo)均值方面優(yōu)于SSP.利用MP3的方法所得樣本目標(biāo)值波動范圍較小，即對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方差較小.在對1000個隨機(jī)樣本處理中的最糟糕情景下，MP3的表現(xiàn)則更加出色.利用MP3的方法不僅能保障解的可行性，而且提供了目標(biāo)函數(shù)值的下界；而SSP則不具有上述兩方面的優(yōu)勢.

4 結(jié) 束 語

快速路應(yīng)急疏散具有不同于日常交通的一些特征，因此有必要針對這些特征實施有效的疏散管理與控制.應(yīng)急疏散的一個突出特征就是疏散需求信息的不確定性.以上匝道作為快速路疏散的起點，疏散管理者往往只能估計不同時段到達(dá)各上匝道的疏散車流上下限和可行疏散期內(nèi)總的疏散車流，而沒有其他關(guān)于疏散需求的信息.據(jù)此建立的疏散優(yōu)化模型具有不可處理的半無限維特征.針對上述問題，在假設(shè)到達(dá)車流與匝道釋放車流之間存在仿射關(guān)系條件下，利用線性規(guī)劃的強(qiáng)對偶條件將半無限維模型轉(zhuǎn)化為等價的一般化模型，從而實現(xiàn)對不確定需求的有效處理.通過與隨機(jī)抽樣規(guī)劃方法的比較，說明本研究所給出的魯棒優(yōu)化方法的合理性與有效性.

盡管通過在模型中添加權(quán)重系數(shù)考慮了疏散優(yōu)先權(quán)，但是本文并沒有對此展開深入分析.疏散優(yōu)先權(quán)對疏散整體效果的影響和優(yōu)先權(quán)的合理分配可以作為一個拓展研究方向.本研究假設(shè)主線車流維持自由流狀態(tài)，但是可能的一些意外可能導(dǎo)致該假設(shè)失效，因此有必要針對如何處理該類現(xiàn)象加以研究.