高階非線性Schr?dinger方程的精確行波解

高正暉

（衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 衡陽 421002）

本文將研究一類高階非線性Schr?dinger方程：

其中 α，β1，β2，β3分別是方程的實系數(shù)，i2＝－1，u 是關(guān)于 x，t的復(fù)值函數(shù)，是u的復(fù)共軛.非線性Schr?dinger方程是數(shù)學(xué)物理中的一類重要的非線性演化方程，它在量子力學(xué)、非線性光學(xué)、電磁學(xué)、等離子體理論、固體物理學(xué)以及玻色-愛因斯坦凝聚等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.從傳統(tǒng)的觀點來看，求非線性偏微分方程的精確解是十分困難的，然而，近幾十年來，對某些非線性偏微分方程的精確求解獲得了許多有效的方法，如直接積分法，混合指數(shù)法，齊次平衡法，雙曲函數(shù)展開法及Baclund變換法等[1].Peng Yan-ze等[2]用修正的映射方法和推廣的映射方法，得到了方程（1）的一些精確行波解，但這些方法不能揭示其行波解如何依賴于方程中的參數(shù)變化，其行波解具有什么樣的動力學(xué)性質(zhì)也不清楚.近幾年來，郭柏靈，劉正榮[3]、李繼彬[4-8]、劉正榮[9]等運用動力系統(tǒng)的分支理論對一些非線性發(fā)展方程的精確行波解進行了研究，建立了求非線性發(fā)展方程精確行波解的新方法.本文將應(yīng)用動力系統(tǒng)的分支理論，對方程（1）的行波解的平面相圖做細致的分析，根據(jù)這些分析，給出方程（1）的精確行波解的參數(shù)表示.

1 方程（1）的行波變換

考慮方程（1）如下形式的行波解

其中φ（ξ）表示振幅，k為波數(shù)，ω為圓頻率，c為行波的波速.

將式（2）代入方程（1），則有

由方程（3）可得

對方程（4）積分一次并取積分常數(shù)為0，可得

比較方程（5）、（6），可得

由（7）解得

令φ′＝y(tǒng)，則可得以下平面自治系統(tǒng)

2 系統(tǒng)（9）的平面相圖

顯然，系統(tǒng)（9）是一個Hamilton系統(tǒng)，它有首次積分

因此，系統(tǒng)（9）的Hamilton函數(shù)為

對于系統(tǒng)（9），其平衡點滿足方程組

因此，當(dāng)AB＞0時，系統(tǒng)（9）有平衡點O（0，0）及平衡點，0）.記M（φi，yj）為系統(tǒng)（9）的線性系統(tǒng)在平衡點（φi，yj）的系數(shù)矩陣，其Jacobi行列式因此，該系統(tǒng)在平衡點O（0，0）的Jacobi行列式為在平衡點的Jacobi行列式為根據(jù)平面動力系統(tǒng)理論，對于平面可積系統(tǒng)（9）的平衡點，若J＞0，則它是中心；若J＜0，則它是鞍點；若J＝0并且在平衡點的Poicare指標(biāo)為0，則它是尖點，否則，該平衡點是高次平衡點.

記 h0＝H（0，0）＝0，

情形1：當(dāng)AB＜0時，系統(tǒng)（9）有唯一的平衡點O（0，0）.

1）當(dāng) β1A＞0 時，因此，平衡點 O（0，0）是鞍點.

2）當(dāng) β1A＜0 時，因此，平衡點 O（0，0）是中心.

圖1 β1A＞0的平面相圖

圖2 β1A＜0的平面相圖

情形2：當(dāng)AB＞0時，系統(tǒng)（9）有平衡點O（0，0）及平衡點

3）當(dāng) β1A＞0 時，因此，平衡點O（0，0）是鞍點，平衡點是中心.

4）當(dāng) β1A＜0 時，因此，平衡點是 O（0，0）中心，平衡點是鞍點.

圖3 β1A＞0的平面相圖

圖4 β1A＜0的平面相圖

3 方程（1）的精確行波解的參數(shù)表示

根據(jù)上述系統(tǒng)（9）的平面相圖，可得

情形 1：當(dāng) AB＜0時，系統(tǒng)（9）有唯一的平衡點 O（0，0）.

1）當(dāng) β1A＞0 時，因此，平衡點 O（0，0）是鞍點.

取 h＝h0＝0，由代入系統(tǒng)（9）的第一個方程得

此為第四種橢圓方程，因此有解

因此，方程（1）有精確行波解

2）當(dāng) β1A＜0 時，因此，平衡點 O（0，0）是中心.

取h∈（－∞，0），對應(yīng)于由H（φ，y）＝h所定義的曲線是系統(tǒng)（9）的周期軌，因此，系統(tǒng)（9）有周期解.由可得

此為第一種橢圓方程，因此有精確周期波解

因此，方程（1）有精確行波解

情形2：當(dāng)AB＞0時，系統(tǒng)（9）有平衡點O（0，0）及平衡點

3）當(dāng) β1A＞0 時，因此，平衡點O（0，0）是鞍點，平衡點是中心，且系統(tǒng)（9）有過鞍點的同宿軌Γ1，其內(nèi)部包含中心.

取 h＝h0＝0，由可得代入系統(tǒng)（9）的第一個方程得

此為第四種橢圓方程，因此有解

因此，方程（1）有精確行波解

4）當(dāng) β1A＜0 時，因此，平衡點O（0，0）是中心，平衡點是鞍點，且系統(tǒng)（9）有過鞍點的異宿軌Γ2.

取由可得代入系統(tǒng)（9）的第一個方程得

因此有解

所以，方程（1）有精確孤波解

4 結(jié)語

本文應(yīng)用平面動力系統(tǒng)分支理論的方法，對一類高階非線性Schr?dinger方程進行了研究，在參數(shù)平面上給出了該方程的精確行波解的分支相圖，從而揭示了其行波解與參數(shù)的依賴關(guān)系，并獲得了該方程的精確行波解的參數(shù)表示.