基于降采樣和fdesign+design的IIR濾波器的設(shè)計?

吳 冉阮 晨

（1.南陽理工學(xué)院計算機與信息工程學(xué)院 南陽 473004）（2.華中科技大學(xué) 武漢 430074）

1 引言

在信號處理過程中，有用的信號往往混有噪聲，根據(jù)有用信號和噪聲的特性差異，提取有用信號的過程稱為濾波［1～2］，實現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)叫濾波器，濾波器又有模擬和數(shù)字之分。由于數(shù)字化的普及，數(shù)字濾波器已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用［2～5］，家用電視機，電腦；醫(yī)用各種掃描設(shè)備、核磁共振儀；軍用雷達監(jiān)控設(shè)備，飛機，導(dǎo)航系統(tǒng)等都用到了數(shù)字濾波器。根據(jù)沖激響應(yīng)的不同將數(shù)字濾波器分為有限沖激響應(yīng)FIR（Finite Impulse Response）數(shù)字濾波器和無限沖激響應(yīng)IIR（Infinite Impulse Re?sponse）數(shù)字濾波器［6～7］。IIR數(shù)字濾波器又包括巴特沃斯數(shù)字濾波器，切比雪夫I型數(shù)字濾波器，切比雪夫II型數(shù)字濾波器，橢圓型數(shù)字濾波器［8］。有兩種方式可以實現(xiàn)數(shù)字濾波器，第一，用計算機軟件編程實現(xiàn)，第二，設(shè)計專用的數(shù)字處理硬件。計算機軟件編程就是要用Matlab提供的信號處理工具箱來實現(xiàn)數(shù)字濾波器［4，8］。Matlab工具箱提供了大量的函數(shù)，只要指標參數(shù)設(shè)計正確，然后調(diào)用函數(shù)就可以方便快速地設(shè)計數(shù)字濾波器。Matlab使復(fù)雜的程序設(shè)計簡化成函數(shù)的調(diào)用。有時調(diào)用了Matlab函數(shù)設(shè)計數(shù)字濾波器，得到了數(shù)字濾波器系數(shù)，然后對測量數(shù)據(jù)進行數(shù)字濾波，卻發(fā)現(xiàn)濾波器的輸出數(shù)據(jù)會溢出或者完全沒有數(shù)據(jù)輸出，畫出的圖是空的。這種現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是濾波器設(shè)計時參數(shù)給得不合理，例如過渡帶太窄［9～10］，求得的濾波器階數(shù)太高，濾波器不穩(wěn)定，造成數(shù)據(jù)出現(xiàn)inf或NAN。文中結(jié)合實例通過“降采樣”的方法，以及“fdesign+design”方法編程實現(xiàn)的IIR數(shù)字濾波器-巴特沃斯數(shù)字濾波器可以有效地解決上面的問題。

2 結(jié)合實例進行分析

信號從fjndata.mat文件讀入，它由數(shù)個正弦信號與隨機噪聲疊加而成，采樣頻率為250Hz。信號中有一個5Hz的正弦信號，要求設(shè)計一個巴特沃斯濾波器，通帶頻率為1.5Hz～10Hz，阻帶頻率為1Hz和12Hz，通帶波紋Ap=3，阻帶衰減As=15。IIR數(shù)字濾波器-巴特沃斯濾波器部分程序清單如下：

仿真以后得到巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻曲線如圖1所示。

圖1 巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻曲線

計算出的巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)是16階（等效的低通濾波器是8階，轉(zhuǎn)到帶通為16階），但從圖1可以看出，在頻率3Hz附近，幅頻曲線不連續(xù)，如果在Matlab的工作區(qū)查看幅值H的值，可以看到H的第6個值是Inf（無窮大），這樣的濾波器顯然不適合做進一步的濾波處理（如果濾波一定會發(fā)生數(shù)據(jù)溢出，甚至也會產(chǎn)生Inf或NAN）。上述實例中，采樣頻率為250Hz，通帶頻率為1.5Hz～10Hz，該通帶的中心頻率：

采樣頻率 fs與帶通濾波器的中心頻率 f0之比有將近65倍之高，這就是造成濾波器失調(diào)的原因，過渡帶太窄，導(dǎo)致求得的濾波器的階數(shù)太高。由于濾波器系統(tǒng)不穩(wěn)定造成數(shù)據(jù)出現(xiàn)inf或NAN的原因?qū)⒃诤竺娣治觥?/p>

3 降采樣方法設(shè)計巴特沃斯數(shù)字濾波器

通過降低信號的采樣頻率，再以降低的采樣頻率設(shè)計數(shù)字濾波器，降采樣后，新的采樣頻率為fs1，一般應(yīng)使 fs1/f0＜15較合適，本次仿真把采樣頻率降為1/5，為50Hz，部分程序清單如下：

程序運行中首先將信號降采樣到50Hz，巴特沃斯數(shù)字濾波器是在采樣頻率為50Hz的基礎(chǔ)上設(shè)計的，得到的巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 降采樣設(shè)計的巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻曲線

從圖2可以看出“降采樣”以后，巴特沃斯濾波器的幅頻曲線不連續(xù)情況得到了改善，響應(yīng)曲線很好。

濾波前的信號波形、降采樣后的信號波形與濾波后恢復(fù)原始采樣頻率后的輸出波形如圖3所示。

從圖3可以看出“降采樣”以后，巴特沃斯數(shù)字濾波器的濾波效果很好，所設(shè)計的巴特沃斯數(shù)字濾波器是合格的。

4 fdesign+design方法設(shè)計巴特沃斯濾波器

文中第2部分設(shè)計的IIR數(shù)字濾波器-巴特沃斯數(shù)字濾波器產(chǎn)生了溢出，經(jīng)降采樣頻率后才解決，現(xiàn)在用fdesign+design方法在相同的參數(shù)條件下設(shè)計相同的數(shù)字濾波器。程序清單如下：

程序先用fdesign函數(shù)給出濾波器的參數(shù)集合，運行調(diào)用designmethods（d）函數(shù)以后，從命令行窗口可以看到本程序的指標適合設(shè)計巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型和橢圓型數(shù)字濾波器，如圖4所示。

圖4 適合的數(shù)字濾波器

實例中設(shè)計的是巴特沃斯數(shù)字濾波器，所以為了保證相同條件，調(diào)用design函數(shù)，設(shè)計巴特沃斯數(shù)字濾波器，得到系數(shù)集合 hd，最后通過 fvtool［11～13］畫出巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅值響應(yīng)曲線，如圖5所示。

從圖5可以看出巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅值響應(yīng)曲線與圖2降采樣以后的幅值響應(yīng)曲線幾乎相同。用fdesign+design設(shè)計的巴特沃斯數(shù)字濾波器雖然也一樣得到16階的濾波器，但由于它把濾波器分解為8個二階濾波器的級聯(lián)，使它的幅值響應(yīng)不通過降采樣一樣可以得到滿意的結(jié)果。所以fdesign+design法也能用來設(shè)計“窄帶”的濾波器。

圖5 fdesign+design設(shè)計的巴特沃斯濾波器幅頻曲線

下面分析濾波器系統(tǒng)為什么會出現(xiàn)不穩(wěn)定性。用fdesign+design函數(shù)編程的第二部分，把巴特沃斯濾波器系數(shù)集合Hd通過tf函數(shù)，得到IIR型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分母A和分子B（這和實例中濾波器A、B的值一樣），A的極點反映了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用fdesign+design函數(shù)編程的第二部分計算了A的極點如下所示，第一列表示編號，第二列表示實部，第三列表示虛部，第4列表示模值。

一個穩(wěn)定的系統(tǒng)是要求所有的極點都在單位圓內(nèi)。但從以上結(jié)果可以看出，極點編號1～3和6～7這5個極點都在單位圓外（模值大于1），這說明了該濾波器的不穩(wěn)定性。因此在濾波過程中會出現(xiàn)NAN或Inf的數(shù)值。

5 fdesign+design方法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點

設(shè)計一個低通濾波器，通帶頻率為0.25，阻帶頻率為0.4，通帶波紋為Ap=0.25dB，阻帶衰減為As=40dB，要求同時設(shè)計4種IIR濾波器。程序清單如下：

運行調(diào)用designmethods（d）函數(shù)以后，從命令行窗口可以看到本程序的指標適合設(shè)計巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型和橢圓型數(shù)字濾波器，所以在調(diào)用design函數(shù)時用了‘a(chǎn)lliir’參數(shù)，即同時設(shè)計允許的4種濾波器。通過fvtool畫圖得到4種數(shù)字濾波器的幅值響應(yīng)曲線，如圖6所示。

圖6 4種數(shù)字濾波器的幅值響應(yīng)

從圖6中可以看出，用fdesign+design方法可以一次設(shè)計4個IIR濾波器，但經(jīng)典方法［11］要用多個語句才能設(shè)計4個IIR濾波器，這里用一個語句就可以。

6 結(jié)語

文中結(jié)合實例分析了濾波器的輸出數(shù)據(jù)溢出的原因，一是過渡帶太窄，濾波器階數(shù)太高，二是濾波器系統(tǒng)不穩(wěn)定，并對濾波器系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因進行了解釋，用“降采樣”和“fdesign+design”的Matlab編程方法設(shè)計的巴特沃斯數(shù)字濾波器，有效地解決了濾波器的輸出數(shù)據(jù)溢出的缺點。仿真表明“fde?sign+design”的方法不用通過“降采樣”也可以得到滿意的結(jié)果，而且用fdesign+design方法可以一次設(shè)計4個IIR濾波器，比經(jīng)典方法要簡單。廣大設(shè)計人員可以根據(jù)自身情況選擇快捷的方法實現(xiàn)I巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計。