確定混合料取樣樣本容量的模型與方法

劉聶玚子，周 雄，胡小金

（1.長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064；2.陜西路橋集團路面工程有限公司，陜西 西安 710054）

0 引 言

攪拌器的功能是按設(shè)計的生產(chǎn)配合比將粗集料、細集料、結(jié)合料與填料等拌合成均勻的混合料［1］。研究資料表明，混合料的拌合均勻性不僅依賴于攪拌器的結(jié)構(gòu)參數(shù)、運動參數(shù)，在很大程度上更取決于工藝參數(shù)［2］。劉洪海等研究了拌合過程中集料和礦粉等材料的投料順序與拌合時間對成品混合料的影響，通過建立攪拌模型分析了集料顆粒在攪拌器作用下的滾動規(guī)律，得出了拌合均勻性與顆粒滾動圈數(shù)之間的關(guān)系表達式［3］；并通過對攪拌器工作原理和材料的運動學(xué)分析，建立了拌合均勻性與連續(xù)式攪拌器的結(jié)構(gòu)參數(shù)、使用參數(shù)之間的關(guān)系模型，得出滿足生產(chǎn)質(zhì)量要求的攪拌器有效長寬比［4］。

為了能夠通過試驗準確地判斷不同工藝和方法對混合料拌合均勻性產(chǎn)生的效果，試驗過程中檢測數(shù)據(jù)的可靠性越來越受到重視，其中的一項重要內(nèi)容是基于統(tǒng)計分析技術(shù)的樣本容量確定［5－8］。樣本容量大小關(guān)系到檢測精度、試驗效率和試驗成本，需要依據(jù)試驗?zāi)康?、誤差要求、經(jīng)費情況及可操作性等因素綜合確定［9－10］。一般而言，樣本容量越大，對總體的代表性越強，抽樣誤差越小，可以獲得較高的精度和可靠度；反之，則難以保證代表性，導(dǎo)致抽樣誤差過大。而且，抽樣成本會隨著樣本容量增加線性遞增，抽樣誤差的減小速度卻以樣本數(shù)的平方根遞減［11］。因此，基于統(tǒng)計學(xué)原理確定檢測數(shù)據(jù)樣本容量大小應(yīng)考慮的主要因素如下［12－13］。

（1）精度要求。允許誤差大小與樣本容量成負相關(guān)，精度要求高、允許誤差小時，需要的樣本容量大。

（2）研究對象的變化程度。研究對象的變化程度用方差表示，在相同精度要求下，總體方差越大樣本容量也越大。

（3）置信度要求。置信度為統(tǒng)計學(xué)中的概率保證率，置信度要求越高，需要的樣本容量也越大，通常推薦置信度取95%。

（4）總體大小。研究對象的總體越大，取樣的樣本容量也應(yīng)越大，但兩者之間并非線性關(guān)系，具有一定的對數(shù)特征。

由以上分析可見，影響樣本容量的因素較多，本文旨在探討保證檢測精度的前提下如何提高效率、降低成本，并建立區(qū)間估計精度與樣本容量之間的關(guān)系模型，提出基于統(tǒng)計分析技術(shù)的樣本容量確定方法。

1 確定樣本容量的基本方法

1.1 基本概念

設(shè)總體為X，x1、x2、…、xn為一個由總體中隨機抽取的容量為n的樣本。建立統(tǒng)計量Z1、Z2（Z1≤Z2）和顯著性水平α；對于待估參數(shù)Z，若P（Z1＜Z＜Z2）＝1－α成立，則（Z1，Z2）為參數(shù)Z在1－α置信水平下的置信區(qū)間。Z1與Z2的區(qū)間長度稱為區(qū)間估計精度，可用2Δ表示，則Δ＝（Z1－Z2）／2。

1.2 建立區(qū)間估計表達式

依據(jù)區(qū)間估計理論，可以將區(qū)間估計分為總體方差已知和總體方差未知2種情況進行討論。對于總體方差已知的情況，在總體服從正態(tài)分布時，總體平均值的區(qū)間估計如下：由于總體服從正態(tài)分布X～N（μ，σ2），從總體中簡單隨機抽出的樣本（x1，x2，…，xn）也服從正態(tài)分布，令為μ的無偏估計，則統(tǒng)計量根據(jù)顯著性水平α，由標(biāo)準正態(tài)分布表查得雙側(cè)臨界值Zα／2，于是可得置信區(qū)間和區(qū)間估計精度，即

對于總體方差未知的情況，若總體服從正態(tài)分布，由總體中簡單隨機抽出的樣本也服從正態(tài)分布，用樣本方差s2估計總體方差σ2，此時統(tǒng)計量T＝根據(jù)顯著性水平α，由t分布表查得雙側(cè)臨界值t1－α／2（n－1），于是可得置信區(qū)間和區(qū)間估計精度，即

對于非正態(tài)總體的情況，若隨機取得的樣本較小，則樣本均值的抽樣分布特點也是非正態(tài)的，無法按上面的公式進行區(qū)間估計；若隨機取得的樣本較大，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布趨于正態(tài)分布，可以用上式進行區(qū)間估計。

2 樣本容量的確定方法

查標(biāo)準正態(tài)分布表，可得不同樣本容量下的Zα／2值，應(yīng)用MATLAB軟件可得到n與區(qū)間估計精度的關(guān)系曲線，如圖1所示。

由圖1中曲線的走勢可以看出：在n≤3時，曲線很陡，變化速度很快；在3＜n≤5時，曲線由陡逐漸變緩；當(dāng)5＜n≤10時，曲線變化速度變得平緩；當(dāng)n＞10時，曲線的變化已很小。由以上曲線的走勢可以得出結(jié)論：如果對測量取樣誤差未作具體規(guī)定，可采用簡單隨機取樣的方法得到3～5個試樣（不應(yīng)

由式（1）～（4）可知，無論正態(tài)分布總體的標(biāo)準差是已知還是未知，其區(qū)間估計精度都與樣本容量有關(guān)，增加樣本容量可以減小估計誤差，提高估計精度，其影響與容量數(shù)的平方根成反比。由式（2）可推得總體方差已知時一定置信水平下滿足區(qū)間估計精度的樣本容量表達式。少于3個，不宜大于5個），取其均值去估計總體平均值，該方法效率高且誤差小；當(dāng)對取樣規(guī)定了區(qū)間估計精度時，可根據(jù)式（5）計算滿足精度要求的樣本容量。在工程實際中，總體方差往往未知，因此在一定的置信度水平下，滿足區(qū)間估計精度的樣本容量表達式為

圖1 樣本容量與區(qū)間估計精度之間的關(guān)系

式（6）中的臨界值與n有關(guān)，隨著n增大，臨界值在減小。由t分布臨界值表可知，在置信度為95%時，當(dāng)n＞25，t的臨界值均為2；當(dāng)n＜25時，可根據(jù)s和Δ應(yīng)用“試差法”確定樣本容量。具體方法為：由式（6）計算得到樣本容量n值，并以此n值查t分布臨界值t1－α／2（n－1），將新臨界值代入式（6）中得到新n值，如此往復(fù)，直到式中兩邊的n值相差較小時確定n值，即最小樣本容量。也可用簡便的方法確定n值，由Z1－α／2代替公式中的t1－α／2（n－1）計算得到n，當(dāng)采用90%置信水平（Z0.95＝1.645）時，將計算得到的n加2；當(dāng)采用95%置信水平（Z0.975＝1.96）時，將計算得到的n加2或3，四舍五入后取整可得最小樣本容量。

3 確定最小樣本容量的試驗研究

水泥穩(wěn)定混合料生產(chǎn)過程中，采用EDTA滴定法檢測水泥劑量，并以滴定結(jié)果指導(dǎo)攪拌設(shè)備的調(diào)試和生產(chǎn)，判斷混合料的拌合均勻性。由于受到許多偶然因素的影響，這些參數(shù)都是隨機變量，取樣數(shù)量的多少關(guān)系到檢測精度、試驗效率和試驗成本。取樣越多，對總體的代表性越強，可以獲得較高的精度和可靠度，但試驗效率降低，試驗成本增加；反之，則代表性較差，導(dǎo)致誤差過大。抽樣檢驗時，為了滿足一定的誤差要求，需要確定樣本容量大小。目前工程部門多采用取2個試樣平行試驗的方法進行，但是這種方法并未充分考慮樣本分布特征。根據(jù)本文理論分析，較好的方法是依據(jù)數(shù)理統(tǒng)計原理，采用試驗的方法確定滿足試驗精度要求的取樣最小樣本數(shù)量［14］。

根據(jù)上述方法，在實體工程進行水穩(wěn)混合料的水泥EDTA滴定試驗，對試驗結(jié)果進行分析計算。

3.1 試驗用材料

粗細集料為吉奎石料廠生產(chǎn)的碎石，表觀密度為2.967g·cm－3，壓碎值為11%；水泥為英金河水泥廠生產(chǎn)的P·O32.5緩凝普通硅酸鹽水泥，初凝時間為245min，終凝時間為410min，安定性等各項指標(biāo)符合標(biāo)準要求。

3.2 繪制標(biāo)定曲線

在最佳含水量6%下，分別制備水泥劑量為2%、4%、6%的混合料，級配如圖2和表1所示，采用EDTA滴定法，確定EDTA消耗量，試驗結(jié)果見表2。

圖2 混合料級配

以水泥劑量為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的EDTA消耗量為縱坐標(biāo)，繪制標(biāo)定曲線，見圖3。

3.3 試驗結(jié)果及分析

水泥穩(wěn)定土攪拌設(shè)備的水泥劑量設(shè)定值為4.0%，為了獲得試驗分布標(biāo)準差，簡單隨機取樣15份進行滴定，結(jié)果如表3所示。由表3可得S＝0.14%，X－＝3.96%，若允許滴定誤差為0.20%，則在95%置信度下，最小樣本容量為式（5）計算結(jié)果加2，即n≈4；若允許滴定誤差為0.25%，則在95%置信度下，經(jīng)計算最小樣本容量取3；若滴定允許誤差未規(guī)定，則取樣數(shù)量不宜低于3個，求其均值作為試驗結(jié)果，則試驗誤差小、效率高、成本低。

表1 試驗所用級配及范圍要求

表2 水泥劑量與EDTA消耗量

圖3 標(biāo)定曲線

表3 水泥穩(wěn)定土攪拌設(shè)備生產(chǎn)混合料的水泥計量滴定結(jié)果

4 結(jié) 語

為了能夠準確判斷混合料的水泥劑量，試驗過程中需要基于統(tǒng)計分析技術(shù)確定樣本容量。在保證試驗精度的前提下，提高試驗效率，降低試驗成本。通過對總體方差已知、總體方差未知2種情況下總體正態(tài)分布和總體非正態(tài)分布的研究，建立了區(qū)間估計精度與樣本容量之間的關(guān)系模型，并提出確定樣本容量的方法。

采用簡單隨機抽樣進行參數(shù)檢測時，無論總體標(biāo)準差已知還是未知，區(qū)間估計精度都與樣本容量的平方根成反比?？梢愿鶕?jù)顯著性水平和估計精度要求確定樣本容量，避免樣本過多導(dǎo)致成本增加或樣本過少降低估計精度；顯著性水平和估計精度要求越高，樣本容量越大；對于未規(guī)定估計精度要求的試驗，樣本容量宜取3～5個，不應(yīng)少于3個，取平均值作為試驗結(jié)果可提高試驗精度、減小試驗誤差、降低試驗成本。

本文基于區(qū)間估計精度與樣本容量之間的關(guān)系模型，主要進行了水泥穩(wěn)定土攪拌設(shè)備的水泥劑量滴定試驗研究，對于其他類似試驗，由于試驗要求、試驗條件、試驗儀器及試驗方法等因素存在差異，其樣本容量有待進一步研究。