平行四邊形存在性問題的另一解法初探

周麗霞

摘 要：圖形的存在性在各地的中考題中都會有出現(xiàn)，構(gòu)造相似三角形或者全等三角形是常規(guī)解法。但是學(xué)生對動點的圖形存在性問題的解決還是有難點。本文選擇平行四邊形的存在性問題，依據(jù)對邊平行且相等的性質(zhì)，用平移的觀點來解決平行四邊形的存在問題。

關(guān)鍵詞：平行四邊形;平移;同向等距;異向等距

平行四邊形的存在性問題主要有兩類，一類是已知三個點，找第四個點;另一類是已知兩個點，在特殊的位置上找兩個點。無論是哪種類型，我們都可以用平移的觀點進(jìn)行求解。

一、已知三點找第四個點

例1：如圖，已知A（-1，2），B（1，-1），C（2，1），在同一直角坐標(biāo)系中找點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)。

作圖找出第四個點的位置——構(gòu)造平行線的交點。

對于□AD1BC，可以看作是將AC沿著CB方向平移得到的，構(gòu)建關(guān)系圖：

上圖說明，點C經(jīng)左移1個單位，下移2個單位后得到點B，則點A也是左移2個單位，下移2個單位后得到點D，因此D（-2，0）。

解法說明：利用點的平移和坐標(biāo)的變化，通過上述的關(guān)系圖，可以較快得出點的坐標(biāo)，需要注意的是對應(yīng)關(guān)系。

二、已知兩點在特殊位置找另外兩點

例2：如圖，已知A（1，3），B（4，-1），M是x軸上的點，在y軸上找一點N，使以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出點N的坐標(biāo)。

解答：AB作為邊長，可推得MN與AB平行且相等，將線段AB在坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行平移，使端點A和B分別落在兩坐標(biāo)軸上，再次分為兩種情況——A的對應(yīng)點是N;B的對應(yīng)點N。

若A的對應(yīng)點N，則點B的對應(yīng)點是M，建立關(guān)系圖：

關(guān)系圖解讀：將點A移到y(tǒng)軸上，需向左平移1個單位，將點B移到x軸上，需向上平移1個單位，即將線段AB先向左平移1個單位，再向上平移一個單位，故x=3，y=4，即M（3，0），N（0，4）。

B的對應(yīng)點N，則點A的對應(yīng)點M，建立關(guān)系圖：

關(guān)系圖解讀：將點A移到x軸上，需向下平移3個單位，將點B移到y(tǒng)軸上，需向左平移4個單位，即將線段AB先向下平移3個單位，再向左平移4個單位，故x=-3，y=-4，即M（-3，0），N（0，-4）。

總結(jié)：平移線段AB得到的平行四邊形，另外兩點的坐標(biāo)遵循“同向等距”的原則，即向相同的方向平移相同的距離。

三、本方法在中考題中的應(yīng)用

（浙江義烏）如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;

（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值;

（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo);如果不存在，請說明理由。

解答：（1）A（-1，0）B（3，0）;C（2，-3） （過程略）

（2）略

（3）為了解題的方便，可以去除一些與本題無關(guān)的線和點，如圖所示：

①若線段AC作為邊，且點A的對應(yīng)點是點F，建立關(guān)系圖：

易得F（-3，0）。

②若線段AC作為邊，且點A的對應(yīng)點是點G，建立關(guān)系圖：

易得y=3，解得G1（1-，3），G2（1+，3）。根據(jù)橫坐標(biāo)的變化可得F（4-，0）和F（4+，0）。

③若線段AC作為對角線，點A的對應(yīng)點是點F，點C的對應(yīng)點是點G，容易得到G（0，-3），建立關(guān)系圖：

易得F（1，0）。

綜上，可得F（-3，0）、、、F（1，0）。