構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

用構(gòu)造法解題時，被構(gòu)造的對象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對應(yīng)、數(shù)學(xué)模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運(yùn)用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造。下面按構(gòu)造對象的不同將構(gòu)造方法分成六類分別予以舉例說明。

1.構(gòu)造輔助數(shù)與式

在求解某些數(shù)學(xué)問題時，利用矛盾的對立統(tǒng)一性，充分揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，探索構(gòu)造適宜的數(shù)或式，來架設(shè)解題的通道。

例1. a，b正數(shù)滿足 a3+b3=2，求證：a+b≤2.

分析：條件式中次數(shù)是3次，而結(jié)論式中是1次，所以需要降冪。

又結(jié)論式是不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時成立。于是考慮構(gòu)造均值不等式。

解 由均值不等式得：

（1） （2）

由（1）+（2）變形整理得：.

2.構(gòu)造函數(shù)

在求解某些數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過程中，應(yīng)有目的、有意識地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標(biāo)。

例2 證明：如果，那么.

證明 構(gòu)造函數(shù)

易證在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增

∵

即：

又∵是增函數(shù)即.

3.構(gòu)造方程

方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識密切相關(guān)。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應(yīng)用題，求動點(diǎn)的軌跡方程等即屬此法。

對于較復(fù)雜的問題，就需根據(jù)條件進(jìn)行框架的設(shè)計。為了運(yùn)用判別式證明不等式，就需構(gòu)思一個“一元二次方程” 框架。

例3. 已知，求證：

分析：設(shè)法構(gòu)造一個一元二次方程，使以其系數(shù)或常數(shù)項的面目出現(xiàn)，再由得到不等式.

設(shè)， 易證，再求得

則就是方程的兩個實根，由.

4.構(gòu)造數(shù)列

在處理與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)題目所提供的特征，通過替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個與欲解（證）問題有關(guān)的數(shù)列（數(shù)組），并對該數(shù)列（數(shù)組）的特征進(jìn)行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。

對于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決.

例4. 求證： .

分析：構(gòu)造數(shù)列模型 ，

則有

=，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.

又因，故 （其中n N+），即原不等式得證.

評注 欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式，可以構(gòu)造數(shù)列模型，只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且.另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡潔.

5.構(gòu)造幾何圖形（體）

如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

例5.求函數(shù)的值域

解析：

其幾何意義是平面內(nèi)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和。為求其值域只要求其最值即可，易知當(dāng)三點(diǎn)共線（P即在線段MN上）時，f（x）取得最小值，，無最大值，故得函數(shù)的值域為.

6.構(gòu)造函數(shù)模型，解決數(shù)學(xué)實際問題

在解答數(shù)學(xué)實際問題時，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，根據(jù)已知和未知之間的關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式（考慮自變量的取值范圍）。再利用有關(guān)數(shù)學(xué)知識，解決函數(shù)問題。這樣既可深入函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也有利于增強(qiáng)學(xué)生的思維能力和解題實踐能力。

例6 [9]某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。按要求安排A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計出來；

解；設(shè)需生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，那么需生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，由題意得：

解得：∵x是正整數(shù)

∴x=30或31或32

∴有三種生產(chǎn)方案：①生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品20件；②生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，生產(chǎn)A種產(chǎn)品19件；③生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品18件。

從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法，構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”。它可以構(gòu)造圖形、方程、函數(shù)甚至其它構(gòu)造，就會促使學(xué)生要熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識技能并多方設(shè)法加以綜合利用，這對學(xué)生的多元思維培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。

因此，在解題教學(xué)時，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想則能得到許多構(gòu)思巧妙，新穎獨(dú)特，簡捷有效的解題方法而且還能加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題的創(chuàng)新能力?！皹?gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用。運(yùn)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題可從中欣賞到數(shù)學(xué)之美，感受到解題之樂，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。

作者簡介：于兆海（1986—），男，漢族，山東臨朐人，菏澤學(xué)院學(xué)士，壽光市明珠小學(xué)，數(shù)學(xué)教師。