直方圖零點(diǎn)與圖像無(wú)損壓縮定量關(guān)系研究

關(guān)晨曦，周詮

（中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院空間微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710100）

由于直方圖能給出該圖像概貌性的描述，比如圖像的灰度范圍、每個(gè)灰度的頻度和灰度的分布、整幅圖像的平均明暗和對(duì)比度等，由此可得出進(jìn)一步處理的重要依據(jù)。對(duì)于一些直方圖具有豐富零點(diǎn)的、呈“稀疏”性的圖像。文獻(xiàn)[1]對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了探討，并提出了一種進(jìn)行圖像“直方圖收縮”的預(yù)處理技術(shù)。對(duì)“稀疏”直方圖進(jìn)行了“收縮”，再利用現(xiàn)有的無(wú)損壓縮技術(shù)（如JPEG-LS、JPEG2000等）對(duì)新圖像進(jìn)行壓縮，則能提高壓縮比。但是這種方法具有局限性，只有直方圖比較稀疏的圖像才適合。為此，文章作了一種定量關(guān)系研究，提出直方圖稀疏度的概念，探討說(shuō)明稀疏性在直方圖收縮以及無(wú)損壓縮中的有效性。

1 圖像的灰度直方圖

一幅灰度圖像由不同灰度值的像素組成，圖像中灰度的分布情況是該圖像的一個(gè)重要特征。圖像的灰度直方圖就描述了圖像中灰度分布情況，能夠很直觀的展示出圖像中各個(gè)灰度級(jí)所占的多少。圖像的直方圖是圖像的重要統(tǒng)計(jì)特征，可以認(rèn)為是圖像灰度分布密度函數(shù)的近似。通常圖像的灰度分布密度函數(shù)與像素所在的位置有關(guān)。設(shè)圖像在點(diǎn)(x,y)處的灰度分布密度函數(shù)為p(z;x,y)，那么圖像的灰度密度函數(shù)為：

式中，D是圖像的定義域，S是區(qū)域D的面積。一般來(lái)講，要精確得到圖像的灰度分布密度函數(shù)比較困難，所以實(shí)際中用圖像的直方圖來(lái)代替?；叶戎狈綀D是一個(gè)離散函數(shù)，它表示數(shù)字圖像每一灰度級(jí)與該灰度級(jí)出現(xiàn)頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)一幅數(shù)字圖像的像素總數(shù)為N，有L個(gè)灰度級(jí)，具有第k個(gè)灰度級(jí)的灰度rk的像素共有nk個(gè)，則第k個(gè)灰度級(jí)出現(xiàn)的概率為：

直方圖的性質(zhì)[2]：

1）直方圖反映了圖像中的灰度分布規(guī)律。它描述每個(gè)灰度級(jí)具有的像元個(gè)數(shù)，但不包含這些像元在圖像中的位置信息。

2）任何一幅特定的圖像都有唯一的直方圖與之對(duì)應(yīng)，但不同的圖像可以有相同的直方圖。

4）明亮圖像的直方圖傾向于灰度級(jí)高的一側(cè)；低對(duì)比度圖像的直方圖窄而集中于灰度級(jí)的中部，高對(duì)比度圖像的直方圖成分覆蓋的灰度級(jí)很寬而且像素的分布不太均勻。

5）直觀上來(lái)說(shuō)，若一幅圖像其像素占有全部可能的灰度級(jí)并且分布均勻，則這樣的圖像有高對(duì)比度和多變的灰度色調(diào)。

由于自然圖像其灰度通常分布在狹窄的區(qū)間，引起圖像細(xì)節(jié)不清晰。采用直方圖修整后可使圖像的灰度間距拉開或者灰度分布均勻，從而增大了反差，使圖像細(xì)節(jié)清晰，達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的[3]。直方圖的修整法通常有直方圖均衡化和直方圖規(guī)定化兩類[4]。直方圖均衡化方法是一種非線性映射方法[5]，被廣泛地應(yīng)用于圖像量化和圖像增強(qiáng)中。應(yīng)用各灰度級(jí)概率累積函數(shù)作為變換函數(shù)，將高動(dòng)態(tài)范圍圖像數(shù)據(jù)映射為一幅灰度分布均勻的8位顯示圖像[6-7]。

2 直方圖收縮算法

圖像直方圖由于其計(jì)算代價(jià)較小，且具有圖像平移、旋轉(zhuǎn)、縮放不變性等眾多優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域[8-9]，特別是灰度圖像的閾值分割[10]、基于顏色的圖像檢索以及圖像分類[11-13]。

文獻(xiàn)[1]提出了一種進(jìn)行圖像“直方圖收縮”的預(yù)處理技術(shù)，經(jīng)過(guò)處理之后的圖像非常有利于進(jìn)行無(wú)損壓縮，但是，這種算法具有局限性，只有直方圖比較稀疏的圖像才適合[14]，為此，文章提出了一種“直方圖稀疏度”的概念，并以大量圖像為例，說(shuō)明直方圖稀疏度在直方圖收縮以及無(wú)損壓縮中的有效性。

2.1 直方圖收縮算法

對(duì)于直方圖較稀疏的圖像I，

從上圖中可以看出，經(jīng)由自適應(yīng)卡爾曼處理后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的差值更小。經(jīng)典卡爾曼的濾波效果相比之下，要差了很多。

直方圖為:

假設(shè)其中hi=0，則直方圖變?yōu)?

即將原圖中對(duì)應(yīng)像素i+1,…,255替換為i,…,254。對(duì)于原圖中所有零點(diǎn)都作此處理，得到新的圖像I′，此時(shí)新圖像的直方圖由稀疏變成了收縮，再結(jié)合現(xiàn)有的無(wú)損壓縮技術(shù)（如JPEG-LS、JPEG2000等）對(duì)新圖像I′進(jìn)行無(wú)損壓縮，則比直接對(duì)原圖進(jìn)行無(wú)損壓縮的壓縮比要高。注意，在傳輸之前，建立一個(gè)有256項(xiàng)的一維數(shù)組，記錄原始圖像中所有非零像素點(diǎn)值，按0～255順序排列，計(jì)作映射表，將其作為一個(gè)單獨(dú)的文件保存，在傳輸過(guò)程中，將映射表作為圖像數(shù)據(jù)的一部分存在壓縮碼流中，由于接下來(lái)進(jìn)行無(wú)損壓縮，所以映射表可以完全恢復(fù)。

2.2 舉例說(shuō)明

以jet圖像為例，灰度范圍是0～255之間，每個(gè)灰度出現(xiàn)的次數(shù)為:

（7，0，31，0，64，0，123，0，0，180，0，256，0，359，0，0，385，0，342，0 ，…，3，0，0，0，0，0，0，1）

經(jīng)過(guò)直方圖收縮，將出現(xiàn)次數(shù)為0的灰度值個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，共152個(gè)，按上述公式將對(duì)應(yīng)像素進(jìn)行替換，直方圖變?yōu)?

（7，31，64，123，180，256，359，385，342，…，0，0，0，0，0，0，0，0，0）

圖1 舉例圖像

圖2 （a）圖對(duì)應(yīng)直方圖

如圖2所示，左邊是原始圖像對(duì)應(yīng)直方圖，右邊是直方圖經(jīng)過(guò)修改以后的圖像。

圖（a）經(jīng)過(guò)jpeg2000無(wú)損壓縮的壓縮比為1.92，直方圖修改后的對(duì)應(yīng)的圖像經(jīng)過(guò)jpeg2000無(wú)損壓縮的壓縮比為2.66。

對(duì)于圖（b）來(lái)說(shuō)，對(duì)應(yīng)直方圖為圖3，在肉眼看來(lái)并無(wú)區(qū)別，同樣，用jpeg2000無(wú)損壓縮的壓縮比為1.31，直方圖修改后的對(duì)應(yīng)的圖像經(jīng)過(guò)jpeg2000無(wú)損壓縮的壓縮比為1.31，直方圖收縮的方法并不適用。也就是說(shuō)，通過(guò)直方圖收縮的方法來(lái)提高無(wú)損壓縮比并不是對(duì)所有圖像的適合，那么適合的圖像都具有什么特征呢，為此，文章提出直方圖稀疏度的概念。

圖3 （b）圖對(duì)應(yīng)直方圖

3 直方圖稀疏度

對(duì)于圖像I，直方圖為

統(tǒng)計(jì)H中零點(diǎn)灰度值，假設(shè)有k個(gè)，則直方圖稀疏度為

其中0≤S＜1，當(dāng)直方圖稀疏度越大，說(shuō)明直方圖越容易收縮，經(jīng)過(guò)直方圖收縮處理后的圖像用無(wú)損壓縮方法得到的壓縮比比直接對(duì)原圖像進(jìn)行無(wú)損壓縮得到的壓縮比要大。壓縮比的大小，取決于圖像本身，為此，作以下實(shí)驗(yàn)。

4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)論

實(shí)驗(yàn)選取120幅512*512灰度圖像，網(wǎng)址是http://decsai.ugr.es/cvg/dbimagenes.90幅圖像用來(lái)測(cè)試直方圖稀疏度與無(wú)損壓縮的壓縮比之間的關(guān)系，30幅圖像用來(lái)驗(yàn)證直方圖稀疏度的有效性。實(shí)驗(yàn)選取jpeg2000的無(wú)損壓縮方法[15-16]和常用的無(wú)損壓縮技術(shù)ZIP和RAR，這里使用WinRAR壓縮工具進(jìn)行zip和rar格式的壓縮。

4.1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

1）首先使用jpeg2000、ZIP、RAR等無(wú)損壓縮技術(shù)對(duì)圖像分別進(jìn)行無(wú)損壓縮得到壓縮比r1；

2）根據(jù)公式（3）分別計(jì)算圖像的直方圖稀疏度s；

3）使用直方圖收縮的方法即2中的方法對(duì)圖像直方圖進(jìn)行修改得到新圖像，對(duì)新圖像使用jpeg2000、ZIP、RAR等無(wú)損壓縮方法得到壓縮比r2；

按照上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程對(duì)90幅圖像進(jìn)行同一處理，得出部分結(jié)果如下表，并畫出散點(diǎn)圖，表示出稀疏度和壓縮比1及壓縮比2之間的關(guān)系

表1 直方圖稀疏度與各種無(wú)損壓縮結(jié)果（保留三位小數(shù)）

圖4 jpeg2000壓縮結(jié)果

圖5 ZIP壓縮結(jié)果

圖6 RAR壓縮結(jié)果

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

根據(jù)表中結(jié)果以及散點(diǎn)圖可知，對(duì)于jpeg2000無(wú)損壓縮算法，只要圖像稀疏度大于0.4，通過(guò)直方圖收縮的方法來(lái)提高無(wú)損壓縮比是有效的，稀疏度越大，壓縮比提高的越大，對(duì)于ZIP壓縮技術(shù)，直方圖稀疏度的大小對(duì)于直方圖收縮的方法來(lái)提高無(wú)損壓縮比的效果不太明顯，對(duì)于RAR無(wú)損壓縮，壓縮比可以有效提高0～0.2以上。最后用剩余的30幅圖像來(lái)驗(yàn)證直方圖稀疏度的有效性，誤差不超過(guò)0。

5 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)證明直方圖收縮的預(yù)處理方法對(duì)提高無(wú)損壓縮的壓縮比有很好的作用，但并不是所有圖像都適合。為此，文章提出了一種直方圖稀疏度的概念，即，在圖像壓縮之前先統(tǒng)計(jì)直方圖稀疏度，如直方圖稀疏度在0.4以上，則可以先對(duì)圖像進(jìn)行直方圖收縮，再用無(wú)損壓縮的方法，壓縮比能提高多少取決于稀疏度的大小，直方圖稀疏度越大，即越接近1，則通過(guò)預(yù)處理后能提高的壓縮比也越大。