學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難與課程及教學(xué)對(duì)策

何小亞，李湖南，羅 靜

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學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難與課程及教學(xué)對(duì)策

何小亞1，李湖南1，羅 靜1，2

（1．華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631；2．韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

運(yùn)用質(zhì)性研究方法揭示了學(xué)生在數(shù)學(xué)概念、原理和證明的認(rèn)知過(guò)程中接受假設(shè)的認(rèn)知困難，并就數(shù)學(xué)教學(xué)和教材編寫提出了解決問題的對(duì)策．學(xué)生面臨的認(rèn)知困難主要表現(xiàn)在：難以接受抽象的定義和公理化的數(shù)學(xué)原理；難以接受數(shù)學(xué)定義、原理和證明中的假設(shè)條件；學(xué)生證明了一個(gè)命題與相信該命題是兩回事．克服接受假設(shè)的認(rèn)知困難的對(duì)策：一是分別按照概念形成的教學(xué)模式和由例子到原理的教學(xué)模式來(lái)教抽象的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)原理；二是按照數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理發(fā)展的歷史來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)；三是數(shù)學(xué)證明的理解與接受離不開實(shí)用性證明的幫助；四是教材的編寫要盡量降低學(xué)生接受假設(shè)的門檻，否則教師要為學(xué)生搭建理解的“腳手架”．文科生和理科生都可以學(xué)習(xí)曲線與方程、數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容．

接受假設(shè)；認(rèn)知困難；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；教學(xué)；課程；對(duì)策

1 引言

在國(guó)外，很多人對(duì)數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)是：“我憎恨數(shù)學(xué)！它簡(jiǎn)直無(wú)法理解，我也沒辦法教別人學(xué)數(shù)學(xué)！”“我數(shù)學(xué)很糟糕，數(shù)學(xué)一直是我最討厭的學(xué)科．”“我痛恨課堂上的數(shù)學(xué)……我從來(lái)沒有改變過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡感．”[1]在國(guó)內(nèi)，“大眾不喜歡數(shù)學(xué)”這一現(xiàn)象更是十分普遍[2]．要解決“大眾不喜歡數(shù)學(xué)”的問題，數(shù)學(xué)教育必須以理解為價(jià)值取向，追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成．文[3]指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力，是數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以由低到高分成數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)過(guò)程和方法、數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀這3個(gè)層次．

過(guò)程與方法目標(biāo)，尤其是情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)的缺失是導(dǎo)致“大眾不喜歡數(shù)學(xué)”這一現(xiàn)象最直接的原因．另外的原因，可能與學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、數(shù)學(xué)原理的獲得和數(shù)學(xué)證明的認(rèn)知過(guò)程中接受假設(shè)的認(rèn)知困難有關(guān)．

所謂接受假設(shè)，是一種在心里接受一個(gè)數(shù)學(xué)概念或原理的陳述，并予以使用，而不必關(guān)注其合理性的數(shù)學(xué)思維方式．學(xué)生往往因?yàn)椴唤邮苣骋粋€(gè)數(shù)學(xué)概念或原理中的前提條件（或稱假設(shè)條件）而導(dǎo)致不接受這個(gè)數(shù)學(xué)概念和原理．

文[4]指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指滿足學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．其包括：數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀．?dāng)?shù)學(xué)化包括形式化、圖式化、數(shù)學(xué)建模．”之所以沒把公理化列為數(shù)學(xué)化這一核心素養(yǎng)的內(nèi)容的原因，一是公理化的目標(biāo)是從少數(shù)不加定義的原始概念和不加證明的公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理規(guī)則把一門學(xué)科建立成為演繹系統(tǒng)，這主要是數(shù)學(xué)工作者的任務(wù)；二是考慮到了學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難．

那么，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在著哪些接受假設(shè)的認(rèn)知困難，如何幫助學(xué)生克服這些困難？為此，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的樣例，運(yùn)用質(zhì)性分析方法分別討論數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)證明中與接受假設(shè)有關(guān)的學(xué)習(xí)、教學(xué)、教材諸方面的問題，并就教學(xué)和課程處理提出相應(yīng)的對(duì)策．

2 研究結(jié)果

2.1 數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)

在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程中，學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難表現(xiàn)在：一是難以接受抽象的定義；二是難以接受定義中的假設(shè)條件．

2.1.1 難以接受抽象的定義

眾所周知，數(shù)學(xué)科學(xué)具有高度的概括性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性．有許多抽象的數(shù)學(xué)定義，在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過(guò)程后，最終以最精確、最概括的科學(xué)性定義方式呈現(xiàn)，這對(duì)學(xué)生的理解造成了困難．

例如，極限的精確定義是學(xué)生理解的一個(gè)難點(diǎn)，他們?cè)谛睦砩想y以接受定義這一假設(shè)．教材[5]遵照極限概念發(fā)展的歷史進(jìn)程引入這一概念，較好地解決了這一難點(diǎn)．即：先由樣例概括出極限的直觀定義，再用此定義解決一些極限問題，最后給出極限的符號(hào)形式．但可能是由于教師教學(xué)的問題，學(xué)生難以真正理解極限概念．這批學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后，大學(xué)教授對(duì)“煮夾生飯”式的講極限十分不滿．于是，2003年實(shí)施的高中數(shù)學(xué)新課程去掉了極限的定義，但在講導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，依然使用了極限這一符號(hào)．針對(duì)這一尷尬的處理，文[6]解決了“不學(xué)極限定義也可以學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)！”這一問題．

再如，由于學(xué)生難以接受抽象的“曲線與方程”概念和教師教學(xué)的困難，高中數(shù)學(xué)新課程將其內(nèi)容放到選修2-1中供理科生學(xué)習(xí)，而文科生則不學(xué)此內(nèi)容．盡管課程標(biāo)準(zhǔn)要求不講曲線與方程的概念，但難能可貴的是教材[7]在直線方程部分以探究思考方式，在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程部分以證明的方式保證了純粹性與完備性．但許多一線教師卻無(wú)法有效地解除學(xué)生的困惑：圓的方程已經(jīng)求出來(lái)了，為什么還要多此一舉地說(shuō)明：若點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，則該點(diǎn)在此圓上．這就是缺少“曲線與方程”這個(gè)證明依據(jù)的尷尬．

數(shù)學(xué)本來(lái)是最講道理的，不能因?yàn)榻處煕]有講好抽象的曲線與方程概念而妥協(xié)．為此建議新教材必須向師生清楚地回答以下3個(gè)問題．

問題1：為什么要求直線、圓等曲線的方程？

問題2：求曲線的方程實(shí)質(zhì)上就是求什么？

問題3：需要滿足什么條件，一條曲線和一個(gè)方程才能互為彼此？

問題1的處理思路：簡(jiǎn)單有趣的實(shí)際問題→水平數(shù)學(xué)化→幾何曲線問題→代數(shù)化→方程問題→方程求解→解釋答案→得到實(shí)際問題的答案．

問題2的處理思路：求曲線的方程實(shí)質(zhì)上就是求該曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式！為此需要建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，抓住該曲線上的點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)，將此幾何性質(zhì)代數(shù)化得出方程，證明這個(gè)方程就是所求的曲線方程．

問題3的處理思路：直線方程采用教材[7]的處理，在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前一節(jié)加入曲線與方程的內(nèi)容，通過(guò)直線、射線、線段這3類簡(jiǎn)單的曲線與其對(duì)應(yīng)的方程及其反例來(lái)回答：需要滿足什么條件，一條曲線和一個(gè)方程才能互為彼此？

如何解決學(xué)生難以理解科學(xué)數(shù)學(xué)定義這一問題，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿·尼·柯莫戈洛夫（1903—1987）指出：“數(shù)學(xué)不能從定義開始．去定義一些概念，我們就不可避免地要在這些定義中應(yīng)用一些其他的概念．當(dāng)我們不理解一些概念的含義時(shí)，我們就不能前進(jìn)一步，不能表述出任何一個(gè)定義．因此，任何一個(gè)數(shù)學(xué)理論的敘述要從一些不用定義的概念開始．用它們就已經(jīng)可能去表述深入一步的任意的概念．人們?nèi)绾位ハ嘟忉屪约簩?duì)基礎(chǔ)概念的理解呢？對(duì)于這一點(diǎn)沒有其他方法，只有在例子中借助于對(duì)確定事物典型性質(zhì)的詳細(xì)描述來(lái)闡明．這些描述可以在細(xì)節(jié)上不完全清楚并且可以不徹底．但是具有足夠清晰程度的概念的內(nèi)涵就可以逐漸從它們中顯示出來(lái)．”[8]

事實(shí)上，如何解決學(xué)生難以接受抽象的科學(xué)數(shù)學(xué)定義這一問題，張景中院士另辟蹊徑，提出了“改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)”的教育數(shù)學(xué)理念[9]．教育數(shù)學(xué)就是為了幫助學(xué)生理解科學(xué)數(shù)學(xué)而改造的數(shù)學(xué)．張景中院士在大學(xué)微積分教學(xué)和中學(xué)幾何教學(xué)實(shí)施了“重建微積分”“重建平面幾何”和“重建三角”的改革試驗(yàn)，取得了較好的成果[10-15]．

2.1.2 難以接受定義中的假設(shè)條件

學(xué)生對(duì)高中的古典概型和幾何概型概念的理解存在著普遍的認(rèn)知困難，主要原因是師生沒有真正理解隨機(jī)事件這一核心概念，這與教材的定義有關(guān)．

教材[16]不講隨機(jī)試驗(yàn)，只通過(guò)擲硬幣和擲骰子試驗(yàn)的結(jié)果，以揭示外延的方式定義了基本事件．而教材[17]定義為：“在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件（elementary event）．”滿足以下條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型（classical probability model）：①所有的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．這些定義沒有說(shuō)明清楚“一次試驗(yàn)”和“隨機(jī)試驗(yàn)”是什么？

對(duì)于幾何概型，學(xué)生難以接受教材中定義的假設(shè)：“如果事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的測(cè)度成比例．”

由于學(xué)生心理上無(wú)法接受這些定義及其假設(shè)，自然會(huì)產(chǎn)生理解上的困難，出現(xiàn)了負(fù)面的學(xué)習(xí)態(tài)度．

為此，文[18]提出了新的高中數(shù)學(xué)教材編寫及教學(xué)思路理論框架，以及重構(gòu)高中概率教材的方案．

A. 介紹確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、概率論的發(fā)展簡(jiǎn)史（可放入本章概覽）．

B. 引入隨機(jī)試驗(yàn)的概念，由此給出基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念．

C. 通過(guò)實(shí)例介紹隨機(jī)事件的包含、相等、并、交、對(duì)立、互斥等關(guān)系．

D. 先介紹概率的概念，再介紹通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率．

E. 先指出用頻率去估計(jì)概率的局限性，再介紹特殊的、理想化的古典概型可以克服用頻率去估計(jì)概率的局限性．

F. 討論概率的基本性質(zhì)．

G. 先指出古典概型的局限性，再講更特殊、更理想化的幾何概型，最后講隨機(jī)模擬試驗(yàn)．

并指出，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的．概率是反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，人們常常用它來(lái)研究刻畫隨機(jī)現(xiàn)象．隨機(jī)事件由隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)確定．導(dǎo)致學(xué)生和教師錯(cuò)誤理解概率問題的根本原因是：現(xiàn)有的許多教材將隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件混為一談，不講隨機(jī)試驗(yàn)就來(lái)講隨機(jī)事件，用隨機(jī)現(xiàn)象來(lái)定義隨機(jī)事件，完全沒有理解好、處理好真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的關(guān)系．

2.2 數(shù)學(xué)原理的獲得

在數(shù)學(xué)原理的獲得過(guò)程中，學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難表現(xiàn)在：一是喜歡刨根問底的學(xué)生對(duì)公理化的數(shù)學(xué)原理的困惑；二是難以接受數(shù)學(xué)原理中的假設(shè)條件．

2.2.1 喜歡刨根問底的學(xué)生對(duì)公理化的數(shù)學(xué)原理的困惑

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多諸如有理數(shù)乘法的符號(hào)法則、祖暅原理、線面平行的判定定理等數(shù)學(xué)原理，由于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的缺乏和證明本身的抽象性，教材采取了公理化的處理方式．這對(duì)于能接受假設(shè)的學(xué)生而言，不存在認(rèn)知上的困難，但對(duì)于喜歡刨根問底的學(xué)生而言，則會(huì)產(chǎn)生許多困惑．

例如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，如果學(xué)生心理上不接受“負(fù)負(fù)得正”這一公理化的數(shù)學(xué)原理，而教師又不解決學(xué)生接受假設(shè)這一認(rèn)知困難，那么學(xué)生就會(huì)形成消極的情感態(tài)度價(jià)值觀．

2001年獲得中國(guó)國(guó)家科技最高獎(jiǎng)的“雜交稻之父”袁隆平院士在接受CCTV記者采訪時(shí)說(shuō)過(guò)：“我最喜歡外語(yǔ)、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樵趯W(xué)正負(fù)數(shù)的時(shí)候，我搞不清為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問老師，老師說(shuō)你記得就是；學(xué)幾何時(shí)，對(duì)一個(gè)定理有疑義，去問，還是一樣回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會(huì)，對(duì)數(shù)學(xué)興趣不大，成績(jī)不好．”[19]

為了解決像袁隆平院士這樣喜歡刨根問底的學(xué)生接受“負(fù)負(fù)得正”這一假設(shè)的認(rèn)知困難，易倩善、羅靜和陳綺云提供了兩種不同的教法[19]．

解除學(xué)生對(duì)公理化的數(shù)學(xué)原理的困惑是教材編者和數(shù)學(xué)教師的責(zé)任．作為教材編者，對(duì)公理化的數(shù)學(xué)原理要盡量為讀者提供有說(shuō)服力的“理由”，而作為教師，則必須隨時(shí)準(zhǔn)備好面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑，以解除其心中的疑慮．

2.2.2 難以接受數(shù)學(xué)原理中的假設(shè)條件

數(shù)學(xué)歸納法是一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)原理，由于中學(xué)教材中沒有皮亞諾公理或最小數(shù)原理作前提，這就使其教學(xué)缺乏認(rèn)知基礎(chǔ)，變成無(wú)“法”可依．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的工具性理解（Instrumental Understanding）問題不大，但其關(guān)系性理解（Relational Understanding）卻十分困難，成了一個(gè)世界性的教學(xué)難題．中外研究[20-22]表明，學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法最大的困難是：不理解“假設(shè)結(jié)論成立，然后再去證明結(jié)論成立”，也就是說(shuō)，“()不是作為被證的事實(shí)，而是作為假設(shè)；對(duì)蘊(yùn)涵關(guān)系→的不理解”．

為克服這一困難，教學(xué)的定位應(yīng)該是：既要教操作步驟，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重點(diǎn)放在對(duì)蘊(yùn)涵關(guān)系→的理解上．蘊(yùn)涵關(guān)系（Implication Relation）實(shí)質(zhì)上是公理，沒辦法講清楚，唯一可行的方式是將抽象具體化，即找一個(gè)有蘊(yùn)含關(guān)系的具體模型，以幫助學(xué)生突破理解的困難．

具體作法是通過(guò)“擺好的”多米諾骨牌來(lái)搭建理解的“腳手架”．所謂“擺好的”多米諾骨牌就是這些骨牌之間有這樣的關(guān)系R：“假設(shè)第塊倒下，那么第+1塊一定倒下．”為此需要做兩件事：

（1）通過(guò)一些沒擺好的骨牌作為反例來(lái)強(qiáng)化什么叫做擺好；

（2）通過(guò)“擺好的”多米諾骨牌，說(shuō)明這一關(guān)系R與第塊倒沒倒下沒有關(guān)系．

最終，由此模型類比理解：遞推關(guān)系就好比是多米諾骨牌間存在的關(guān)系R：“假設(shè)第塊倒下，那么第+1塊一定倒下．”“假設(shè)時(shí)結(jié)論成立”相當(dāng)于“假設(shè)第塊倒下”．因?yàn)楣桥崎g的關(guān)系R是與第塊倒沒倒下沒有關(guān)系的，所以遞推關(guān)系是與“假設(shè)結(jié)論成不成立”沒有關(guān)系的[23]．

2.3 數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)

在數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難表現(xiàn)在：一是學(xué)生證明了一個(gè)命題與相信該命題是兩回事；二是不接受數(shù)學(xué)證明中的假設(shè)條件．

2.3.1 學(xué)生證明了一個(gè)數(shù)學(xué)命題與相信該命題是兩回事

Bell（1978）將證明分為實(shí)用性證明與理性證明．實(shí)用性證明以個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、權(quán)威的認(rèn)可、觀察到的實(shí)例、舉不出反例、結(jié)論的有效性作為依據(jù)，它依賴于事實(shí)．而理性證明則以邏輯推理論證為依據(jù)，它是思想實(shí)驗(yàn)，不依賴事實(shí)．?dāng)?shù)學(xué)證明就是一種理性證明，它可用一個(gè)反例來(lái)反駁[24]．

數(shù)學(xué)家不認(rèn)可實(shí)用性證明，只接受數(shù)學(xué)證明．對(duì)于不少學(xué)生而言，盡管他們已經(jīng)形式地、邏輯地證明了一個(gè)數(shù)學(xué)命題，但并不完全相信該命題．

例如，許多高中生用數(shù)學(xué)歸納法證明了一個(gè)恒等式后，仍然將=3, 4, 5代入恒等式驗(yàn)算后才解除了心中的懷疑．

Fischbein和Kedem（1982）在一份問卷中給出命題“是四邊形，、、、依次為各邊的中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形”的證明后，問學(xué)生是否承認(rèn)結(jié)論在所有情況下成立，并提出以下問題：“某人對(duì)此有懷疑，他認(rèn)為我們還需要至少檢驗(yàn)100個(gè)這樣的圖形，才能確信四邊形是平行四邊形．你的看法是什么？請(qǐng)你做出解釋．”在相當(dāng)于高一至高三學(xué)生答卷中，認(rèn)為完全不必再做檢驗(yàn)者不超過(guò)10%，而約有三分之一的被試既承認(rèn)證明是普遍有效的，但又不反對(duì)另外再做檢驗(yàn)[24]．這一調(diào)查結(jié)果說(shuō)明：證明不保證相信．

數(shù)學(xué)證明的理解與接受需要實(shí)用性證明的幫助，這是以理解為價(jià)值取向的數(shù)學(xué)教育的需要．Bourbaki學(xué)派認(rèn)為，每個(gè)數(shù)學(xué)工作者都知道，單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，卻沒有試圖洞察獲取這一連串推導(dǎo)的背后意念，并不算理解了那個(gè)數(shù)學(xué)證明[25]．

2.3.2 不接受數(shù)學(xué)證明中的假設(shè)條件

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是從一些定義、公理、公設(shè)出發(fā)，按照邏輯推理規(guī)則得出的一套演繹系統(tǒng)．要證明命題P1成立，需要命題P2成立，…，需要命題P成立，如此追溯下去，數(shù)學(xué)證明的可靠性最終回到定義、公理、公設(shè)的可靠性，但遺憾的是定義、公理、公設(shè)的可靠性無(wú)法再繼續(xù)證明．

追根溯源，代數(shù)系統(tǒng)的產(chǎn)生源自于數(shù)1，1生2，2生3，3生萬(wàn)物（算術(shù)、字母表述數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)、函數(shù)空間、算子，……）；幾何系統(tǒng)最基本的元素是點(diǎn)，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．而1是單點(diǎn)集合的標(biāo)志，點(diǎn)是能標(biāo)明位置但卻沒有大小范圍的東西．它倆在真實(shí)世界里是不存在的，于是由它倆演繹出來(lái)的代數(shù)和幾何是不存在的．也就是說(shuō)，從真實(shí)世界的角度看，數(shù)學(xué)是不存在的，是虛的，看不見，摸不著．

數(shù)學(xué)沒有聲音，無(wú)法讓人感覺到旋律和節(jié)奏；數(shù)學(xué)沒有色彩，無(wú)法讓人欣賞到絢麗和斑斕；數(shù)學(xué)沒有肌肉和神經(jīng)，無(wú)法讓人感受到傷痛和肌膚之親；數(shù)學(xué)沒有自然科學(xué)的試驗(yàn)，無(wú)法讓人看到神奇的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化；數(shù)學(xué)語(yǔ)言沒有母語(yǔ)所表示的鮮活生靈，無(wú)法讓人重構(gòu)人間的悲歡離合．?dāng)?shù)學(xué)世界是人類心智的構(gòu)造，是思維存在，是無(wú)法證實(shí)的．因此，接受數(shù)學(xué)證明鏈條上的命題P和定義、公理、公設(shè)的可靠性，成了學(xué)生認(rèn)知的困難．

例如，教材[7]利用祖暅原理來(lái)推導(dǎo)柱體的體積等于底面積乘以高時(shí)，需要接受3個(gè)假設(shè)：一是祖暅原理；二是對(duì)于任意一個(gè)底面積為的柱體，可以作出一個(gè)面積是的矩形；三是長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘以高．只要學(xué)生對(duì)某一假設(shè)不接受，就無(wú)法順利進(jìn)行后續(xù)的推理．

祖暅原理的發(fā)現(xiàn)源自于公元6世紀(jì)數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅的直覺，因?yàn)槠鋰?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明需要以微積分理論為基礎(chǔ)．在中學(xué)只能借助實(shí)物模型，利用特殊到一般的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生接受這一假設(shè)．

利用小學(xué)建立起的長(zhǎng)方體的體積公式經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生接受假設(shè)三沒有問題，但教師要準(zhǔn)備好回答“為什么長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘以高？”如果沒有深刻理解度量的本質(zhì)，很多教師是回答不清楚這一問題的．

數(shù)學(xué)證明是經(jīng)得起數(shù)學(xué)家拷問的演繹推理證明．?dāng)?shù)學(xué)證明的價(jià)值不僅僅是獲得數(shù)學(xué)形式演繹推理的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)，其更大的教育價(jià)值表現(xiàn)在：（1）理解、深化數(shù)學(xué)概念；（2）鞏固、掌握數(shù)學(xué)原理；（3）獲得數(shù)學(xué)證明的思維方式：由因?qū)Ч?，?zhí)果索因，上下緊逼，前后夾攻，思路貫通——找到了題設(shè)和結(jié)論的邏輯聯(lián)系；（4）訓(xùn)練提高數(shù)學(xué)推理能力，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)新能力；（5）學(xué)會(huì)邏輯地表達(dá)交流；（6）理解命題，相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信．

學(xué)生在數(shù)學(xué)證明學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程中，接受假設(shè)的認(rèn)知困難會(huì)對(duì)上述6條教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生消極作用．

3 問題的討論

3.1 “重建三角”中的假設(shè)問題

盡管“重建三角”是一項(xiàng)極具創(chuàng)新的改革，也取得了很好的效果[15]，但要學(xué)生很好地接受這一新體系，還需要解決學(xué)生接受假設(shè)這一難點(diǎn)．

可以考慮這樣的處理方案．

（1）若、都是有理數(shù)，只要度量單位足夠小，可以恰好量出、都是正整數(shù)；

（2）若、中有無(wú)理數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)的Cantor構(gòu)造，無(wú)理數(shù)是一個(gè)有理數(shù)基本序列的極限，無(wú)限地運(yùn)用（1）的方法，就可以把無(wú)理數(shù)“量出”整數(shù)．

顯然，解釋（2）是難以被人接受的，教師可以告訴中學(xué)生，等你讀了大學(xué)就能理解（2）的解釋．可笑的是，所使用的數(shù)學(xué)分析教材是不講實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論的，很多大學(xué)生也搞不清楚“為什么長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬？”

3.2 弧度制中的接受假設(shè)問題

解決引入弧度制的必要性與合理性問題，一條思路是按照弧度制發(fā)展的歷史設(shè)計(jì)教學(xué)[26]；另一種方法是借用汽車?yán)锍瘫砟Ｐ蛠?lái)說(shuō)明弧度制的必要性與合理性．

4 結(jié)論與展望

4.1 研究結(jié)論

研究結(jié)果表明，在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)證明的認(rèn)知過(guò)程中，學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難主要表現(xiàn)在：一是難以接受抽象的定義和公理化的數(shù)學(xué)原理；二是難以接受數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)證明中的假設(shè)條件；三是學(xué)生證明了一個(gè)命題與相信該命題是兩回事．克服學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難的對(duì)策，一是盡量按照概念形成的教學(xué)模式和由例子到原理的教學(xué)模式[27]來(lái)教抽象的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)原理；二是按照數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理發(fā)展的歷史來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)[28-31]；三是數(shù)學(xué)證明的理解與接受離不開實(shí)用性證明的幫助；四是教材的編寫要盡量降低學(xué)生接受假設(shè)的門檻，否則教師要為學(xué)生搭建理解的“腳手架”，以利于學(xué)生克服接受假設(shè)的認(rèn)知困難；五是加強(qiáng)運(yùn)用教育數(shù)學(xué)的理念來(lái)重構(gòu)部分中學(xué)數(shù)學(xué)的改革實(shí)驗(yàn)．

接受假設(shè)，甚至是不理解地接受假設(shè)，是數(shù)學(xué)認(rèn)知的助推器．無(wú)法接受假設(shè)會(huì)造成學(xué)生的思維受阻，數(shù)學(xué)認(rèn)知無(wú)法繼續(xù)．無(wú)法接受假設(shè)的經(jīng)驗(yàn)增多，會(huì)導(dǎo)致“數(shù)學(xué)就是規(guī)定”“數(shù)學(xué)就是符號(hào)游戲”“數(shù)學(xué)索然無(wú)味”這些不良的數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀．沒有理解，就有了“傷害”．追求理解、追求數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成自然就成了數(shù)學(xué)教育的必由之路，這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)要靠數(shù)學(xué)課堂三維目標(biāo)的設(shè)計(jì)[32]、實(shí)施、反思來(lái)完成．

不理解地接受假設(shè)，盡管不影響認(rèn)知的繼續(xù)，但卻影響了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成．例如，中國(guó)學(xué)生從小學(xué)開始一直到大學(xué)，對(duì)分?jǐn)?shù)除法十分熟練，但卻無(wú)法解釋“為什么除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以其倒數(shù)？”也無(wú)法畫圖予以說(shuō)明為什么，更無(wú)法獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)原理．在舊的課程體系之下，中國(guó)學(xué)生的理解水平處于工具性理解層次，無(wú)法達(dá)到關(guān)系性理解層次．也就是說(shuō)，盡管學(xué)生習(xí)得了一些智慧技能，但無(wú)法理解其合理性和必要性，達(dá)不到數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求的層次．

4.2 幾點(diǎn)建議

（1）研究結(jié)果表明，不講曲線與方程的概念就來(lái)講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，出現(xiàn)了邏輯上的尷尬，這是喜歡質(zhì)疑的學(xué)生無(wú)法接受的．只要解決了曲線與方程的教學(xué)問題，文科生和理科生均可以學(xué)習(xí)曲線與方程的內(nèi)容．

（2）在中國(guó)，2003年的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)學(xué)選修2-2中，但這一模塊要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（24學(xué)時(shí)）、推理與證明（8學(xué)時(shí)）、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（4學(xué)時(shí)），而數(shù)學(xué)歸納法被放在“推理與證明”模塊中．由于課程標(biāo)準(zhǔn)只要求達(dá)到“了解”層次，加上高考主要以導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為重頭戲，許多省份很少考數(shù)學(xué)歸納法（廣東省除外），導(dǎo)致許多學(xué)校不講數(shù)學(xué)歸納法，造成進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的這些考生的基礎(chǔ)缺失．

研究結(jié)果表明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法最大的困難是由難以接受假設(shè)造成的．只要解決了數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)問題，文科生和理科生均可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，最有價(jià)值、最精彩的就是要學(xué)習(xí)一種思維方式，也就是說(shuō)，要先從個(gè)別樣例中的觀察、思考中去探索規(guī)律，再?gòu)囊话阈陨蟻?lái)進(jìn)行邏輯證明，實(shí)現(xiàn)由簡(jiǎn)到繁，由有限到無(wú)窮的突破．但中國(guó)的高中課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)要求僅僅列為“了解”層次，造成了舍本求末的現(xiàn)狀．建議在新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將其調(diào)整為“理解”層次．

（3）中學(xué)概率學(xué)與教中存在的問題與教材的處理密切相關(guān)，更深層次的原因是學(xué)生難以接受假設(shè)，解決這些問題的唯一途徑是需要重構(gòu)概率模型的課程體系．這與章建躍和程?？?017）的研究結(jié)果[33]是一致的．

4.3 研究展望

這項(xiàng)質(zhì)性研究只是結(jié)合一些案例指出了學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)原理獲得和數(shù)學(xué)證明的認(rèn)知過(guò)程中接受假設(shè)的認(rèn)知困難的類型，還缺少定量的實(shí)證研究．以下類型的問題值得研究者繼續(xù)研究：

小學(xué)、初中、高中和大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還存在著哪些接受假設(shè)的認(rèn)知困難？

接受假設(shè)對(duì)某一數(shù)學(xué)概念、原理、證明的學(xué)習(xí)有什么影響？（調(diào)查、實(shí)驗(yàn)研究）

接受假設(shè)對(duì)數(shù)學(xué)問題解決有什么樣的影響？

致謝：感謝天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院王光明教授為文章提供了建設(shè)性的意見．

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[33] 章建躍，程?？咧斜匦拚n程中概率的教材設(shè)計(jì)和教學(xué)思考——兼談“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落地”[J]．課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33．

Cognitive Difficulties of Students’ Accepting Assumption and the Strategies of Curriculum and Teaching

HE Xiao-ya1, LI Hu-nan1, LUO Jing1, 2

(1. School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Shaoguan University, Guangdong Shaoguan 512005, China)

Using qualitative methods to reveal the cognitive difficulties of students’ accepting assumption in the cognitive process of mathematical concepts, principles and proof, and put forward the countermeasures to solve the problems in the teaching of mathematics and the compiling of teaching materials. Students faced cognitive difficulties in: first, it was hard to accept abstract definition and axiomatic mathematical principles; second, it was hard to accept prerequisites in mathematical definition, principles and proof; third, there were differences between proving a statement and believing one. Solutions for the students’ cognitive difficulties in accepting assumption: first, teaching abstract mathematical definitions and principles in the way of the teaching model of concept formation and the teaching model from examples to principles respectively; second, designing teaching process in the way of the development of mathematical concepts and principles; third, combining with the practical proof; forth, the compilation of teaching materials should try to reduce the threshold for students to accept the assumption, otherwise, the teacher should build an understanding scaffold for the students. Liberal arts students and science students could learn the contents of curves and equations and mathematical induction.

accepting assumption; cognitive difficulties; mathematics learning; teaching; curriculum; countermeasures

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2018–04–03

廣東省高水平大學(xué)建設(shè)本科生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)項(xiàng)目（113-S80712）

何小亞（1964—），男，貴州荔波人，教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理研究．

G420

A

1004–9894（2018）04–0025–06

何小亞，李湖南，羅靜．學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難與課程及教學(xué)對(duì)策[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）：25-30．