分類討論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

單蘭花

（蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學(xué)，江蘇蘇州 215021）

分類思想主要是將研究對(duì)象合理分類，并進(jìn)行相應(yīng)的分析討論，再歸納得出結(jié)果。分類討論是深入研究問題較常用的手段，需要人們?cè)趯?shí)踐中了解、掌握解答問題的思路和技巧。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，分類討論方法的運(yùn)用范圍相對(duì)廣泛，如有理數(shù)、不等式、絕對(duì)值、圓的位置關(guān)系、等腰三角形、圖形位置關(guān)系、含字母的方程等。本文主要對(duì)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

一、分類討論在坐標(biāo)與圖形中的應(yīng)用

分類討論思想在坐標(biāo)和圖形中的應(yīng)用較多，教學(xué)的重點(diǎn)通常集中于坐標(biāo)系中各種圖形的變化方式，并將坐標(biāo)與三角形、雙曲線、矩形以及拋物線等結(jié)合。同時(shí)，將分類討論的方法應(yīng)用于坐標(biāo)圖中，有助于題目靈活變換，并能有效培養(yǎng)學(xué)生的想象力。

例1：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，并且△MOA是等腰三角形，則滿足相應(yīng)條件的點(diǎn)M有多少個(gè)？

本例題主要考查等腰三角形的判定、圖形性質(zhì)、坐標(biāo)、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)知識(shí)。分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作圓，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)M，作出圖形。采用圖形分析，得出結(jié)論為6個(gè)。見圖1。

圖1

例2：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的A、C坐標(biāo)分別為（10，0）、（0，4），OA的中點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P在BC上可移動(dòng)，當(dāng)△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)該在哪個(gè)位置？

圖2

本例題主要考查坐標(biāo)與等腰三角形的性質(zhì)、圖形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，并且需要應(yīng)用到分類討論來對(duì)題目問題進(jìn)行解答。點(diǎn)P屬于不確定點(diǎn)，應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)分三種情況來討論，再采用勾股定理便可解出P點(diǎn)的坐標(biāo)?！鱋DP的腰長(zhǎng)為5，可有3種情況：當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)的左邊時(shí)，若PD=OD=5，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；若OP=OD=5，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）；當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，PD=OD=5，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，4）。

二、分類討論在等腰三角形中的應(yīng)用

涉及等腰三角形的問題經(jīng)常需要分類討論，并且中考出現(xiàn)的概率相對(duì)較高。該類型題目通常會(huì)出現(xiàn)三角形腰長(zhǎng)與其底邊長(zhǎng)的比較，或頂角與底角的比較等。相對(duì)復(fù)雜的等腰三角形問題，主要結(jié)合圓形或者坐標(biāo)等知識(shí)來綜合考查。而由于綜合題目具有一定的難度，學(xué)生需要掌握等腰三角形的性質(zhì)以及核心內(nèi)容。

例3：已知（a-1）2+∣b-2∣=0，a、b為等腰三角形的邊長(zhǎng)，此等腰三角形的周長(zhǎng)應(yīng)為多少？

本例題主要考查偶次方、絕對(duì)值以及三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于解題的思路。應(yīng)用分類討論來分析問題的結(jié)果，并且進(jìn)行相應(yīng)的說明，更有助于學(xué)生理解。首先根據(jù)平方、絕對(duì)值可計(jì)算出a、b，即a=1，b=2，再根據(jù)三角形三條邊之間的聯(lián)系，即兩邊之和大于第三條邊，兩邊之差小于第三條邊，即得出此等腰三角形的腰為2，底為1，周長(zhǎng)為5。

例4：已知等腰三角形的一個(gè)角為80°，求此等腰三角形的頂角度數(shù)。

本例題主要對(duì)等腰三角形的底角度數(shù)相等、三角形的基本性質(zhì)等進(jìn)行考查，運(yùn)用定理：三角形內(nèi)角和等于180°，即可解答問題。此等腰三角形的頂角可直接為80°。當(dāng)三角形的底角為80°時(shí)，其頂角應(yīng)為180°-80°×2=20°。由此可知，此等腰三角形的頂角可為80°，也可為20°。

三、分類討論在動(dòng)點(diǎn)型題目中的應(yīng)用

動(dòng)點(diǎn)型分類討論題是中考題中常出現(xiàn)的壓軸題，同時(shí)也是難度相對(duì)較大的題目。想要解決此類大題，學(xué)生需要了解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并熟悉、掌握、運(yùn)用坐標(biāo)、三角形、圓形以及運(yùn)動(dòng)理論等相關(guān)知識(shí)。同時(shí)，還需先尋找出問題的關(guān)鍵詞，掌握題目的變化量以及運(yùn)動(dòng)要素，以便更好地解決問題。

例5：射線QN和△ABC的兩條邊AB、BC相交于M、N，并且AC//QN，AM=MB=2cm，且QM=4cm。動(dòng)點(diǎn)P從Q點(diǎn)出發(fā)，沿著射線QN以1cm/s的速度向右邊移動(dòng)，t秒之后，以點(diǎn)P為圓心，以 3cm為半徑的圓形與△ABC相切，兩圖形的切點(diǎn)在其邊上，求出t可選擇的一切值。

應(yīng)該結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)來對(duì)題目進(jìn)行解答。題目中已知△ABC為等腰三角形，并且AM=MB=2cm，點(diǎn)P從Q點(diǎn)出發(fā)，沿著射線QN以1cm/s的速度向右邊移動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)3種切線情況。利用切線的性質(zhì)、直角三角形的勾股定理、等邊三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系進(jìn)行解題，即可得出t=2，t=3和t=7，t=8；隨后，對(duì)其進(jìn)行分類討論分析，便可得出答案為t=2或7≥t≥3或t=8。

本例題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及切線的性質(zhì)等知識(shí)。在解答題目的過程中，需要注意對(duì)題目進(jìn)行分類討論和分析，并對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和歸納，且在計(jì)算出結(jié)果之后，需要再一次對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，以保證答案的準(zhǔn)確性。

四、分類討論在圖形拼接中的應(yīng)用

在對(duì)幾何圖形進(jìn)行拼接的過程中，需要合理應(yīng)用分類討論方法，必須注意拼接的合理性，即需要從問題的角度以及已知的長(zhǎng)度方面來進(jìn)行配合，不能夠任意拼接；同時(shí)，需要仔細(xì)觀察拼接后得出的圖形，然后對(duì)拼接前的切線進(jìn)行合理的規(guī)劃。

例6：一張含一個(gè)30°角，并且最小邊長(zhǎng)為2的直角三角形紙，沿著圖片中的中位線剪開后，再將兩個(gè)小紙片拼接為一個(gè)平行四邊形，拼接得出的平行四邊形周長(zhǎng)為多少？

運(yùn)用三角函數(shù)可得出BC=4，AC=23，再通過中位線的性質(zhì)得出AD=CD=3，BF=CF=2，DF=1，隨后再進(jìn)行拼圖，可得出圖3顯示的結(jié)果，即一個(gè)可拼接成矩形，一個(gè)可拼接成平行四邊形，隨后即可計(jì)算出拼接圖形的周長(zhǎng)，其周長(zhǎng)為8或4+23。

圖3

本例題主要考查圖形的拼接，其解答的關(guān)鍵就是根據(jù)題目要求來畫出需要的圖形，然后再對(duì)題目進(jìn)行全面的考慮。對(duì)題目進(jìn)行分類討論的同時(shí)，合理采用數(shù)形結(jié)合的方法，有助于快速而正確地對(duì)題目進(jìn)行全面的總結(jié)和歸納，從而有利于快速得出正確的計(jì)算結(jié)果。

總之，分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中使用的頻率相對(duì)較高，在解答問題時(shí)，需要深入理解，掌握問題的本質(zhì)，并對(duì)解題的思想和方法進(jìn)行相應(yīng)的研究，從而才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，也才能對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分類研究。注意，在分析的過程中，需要做到不重復(fù)、不遺漏，對(duì)于問題要學(xué)會(huì)進(jìn)行合理、科學(xué)的分析，然后將計(jì)算得出的結(jié)果進(jìn)行分類總結(jié)，并對(duì)得出的答案進(jìn)行驗(yàn)證。