由DZIOK-SRIVASTAVA算子定義的一類Bazilevi函數(shù)的Fekete-szeg? 問題

楊穎穎 郭 棟

（滁州職業(yè)技術學院，安徽 滁州 239000）

1 引言

S表示H中的單葉函數(shù)族。

對于 U 內的解析函數(shù) f（z）和 g（z），如果存在一個在 U 內解析的 Schwarz函數(shù) ω（z）滿足 ω（0） =0且使得 f（z） =g（ ω（z）） （z∈U），那么就說函數(shù) f（z）從屬于 g（z），寫作 f（z）?g（z）.1933年FEKETE和SZEG?在文獻[1]中首先對單葉函數(shù)類S得出下列結果：

且對每個u等號都成立。

2007年，郭棟在文獻[2]中研究了函數(shù)類

的 Fekete-Szeg?不等式，顯然 B（1，α，0）是 Bazilevi?函數(shù)類，Bazilevi?函數(shù)類是單葉函數(shù)類 S 的子類。

令 φ（z）是 U 內具有正實部且滿足 φ（0）=1，φ′（0）＞0的解析函數(shù)，它把區(qū)域 U 映照到一個關于實軸對稱且關于1星型的像域上，它的泰勒展式具有下述形式

其中 Bn∈R，B1＞0.

由 Pochhammer定義的符號（μ）n：

定義函數(shù)lFm（a1，…，al；d1，…，dm；z）如下：

利用函數(shù)lFm（a1，…，al；d1，…，dm；z），DZIOK 等[3]定義了如下線性算子（被普遍稱為 Dziok-Srivastava算子）

為后面書寫方便，簡化記號，記

仿照函數(shù)類 B（λ，α，A，B，σ）的定義，利用算子lImf（z）定義了下列函數(shù)類。

定義1.1如果f∈H滿足下列條件

其中 α≥0，λ≥0 則稱函數(shù) f（z）∈lBm（λ，α，φ）。

近年來許多作者[3-5]研究了由算子定義的函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式，本文亦研究了函數(shù)類lBm（λ，α，φ）的 Fekete-Szeg?的不等式，所得結果推廣了已有的結論。

為得到結論，需要下面的引理：

引理 1.2[6]設在 U 內解析，且 Rep（z）＞0 則

引理1.3[7]如果p（z）=1+p1z+p2z2+p3z3+…是U內具有正實部的解析函數(shù)，則對任意的t∈C，有

2 主要結果

定理 2.1如果 f（z）由（1.1）式給出，并且 f（z）∈lBm（λ，α，φ），α + λ ＞ 0，則有

證明記

其中

因為 f（z）∈lBm（λ，α，φ），所以存在施瓦茲函數(shù) r（z）（r（0）=0），滿足

令

上式等價于

由（2.3）和（2.4）得

由（2.4）和（1.2）得

由（2.5）和（2.6）式，比較 z和 z2的系數(shù)，得

由（2.7）式，得

由（2.8）及（2.9）得

由（2.1）和（2.9）式及利用引理 1.2，得

由（2.1）和（2.10）及利用引理 1.3，得

由（2.1），（2.9），（2.10）及引理 1.2，得

在 Dziok-Srivastava 算子中令 l=2，m=1，a1=d1，a2=1，則lImf（z） ＝ f（z），由定理 2.1 得下列推論：

推論 2.2f（z）由（1.1）式給出，如果 f（z）∈B（λ，α，ρ），α + λ＞0，則有

定理 2.3如果 f（z）由（1.1）式給出，并且 f（z）∈lBm（λ，α，φ），α + λ＞0，則對任意的 τ∈C，有

且對所有的τ等號都是成立的。

證明由（2.9），（2.10），得

由（2.11）和引理 1.3，得

（2.1）式代入上式，得

當 f（z）取H中滿足下列方程的函數(shù)時等號成立：

和

定理得證。