歐式空間正交基函數(shù)及其應(yīng)用

唐桂林 陳明武 郭清偉

（1 安徽郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230031）（2 合肥工業(yè)大學(xué)，安徽 合肥 230009）

1 引言

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是我們碰到的第一個(gè)抽象的概念，在線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有線性運(yùn)算，即加法運(yùn)算和數(shù)量乘法運(yùn)算，如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個(gè)模型，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)如長度、角度等在線性空間的理論中沒有得到反映，但向量的度量性質(zhì)在許多問題中有著特殊的地位。而在解析幾何中，向量的長度與夾角等性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積來表示，所以在本文中，我們根據(jù)內(nèi)積的定義構(gòu)造歐式空間的基函數(shù)，為后續(xù)研究歐式空間曲線、曲面打下夯實(shí)的基礎(chǔ)。

近年來歐式空間被眾多學(xué)者廣泛的研究，孫維君歐式空間中向量的叉積及其應(yīng)用[1]，楊秀娟歐式空間中反向最遠(yuǎn)鄰查詢方法的研究[2]，張錦來歐式空間上的變換是線性變換的充分條件[3]。勞毅慧歐式空間的一個(gè)推廣[4]。孫俠常見線性空間與歐式空間的基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法[5]等，文獻(xiàn)中[6-18]討論了Bernstein基函數(shù)的對(duì)偶基及其應(yīng)用，特別是在多項(xiàng)式曲線降階和升階方面的應(yīng)用；文獻(xiàn)[19]主要討論了一般多項(xiàng)式基函數(shù)的對(duì)偶基問題；文獻(xiàn)[20]給出了任意類型基函數(shù)的對(duì)偶基的構(gòu)造方法，該方法也需要解一個(gè)線性方程組才能得到對(duì)偶基，但與已有方法相比，其計(jì)算量由O（N3）變?yōu)镺（N）。

2 歐式空間的定義

定義1[21]：

設(shè)V是一個(gè)非空集合，ρ是一個(gè)數(shù)域，在集合V的元素之間定義了一種運(yùn)算，叫做加法；這就是說，給出了一個(gè)法則，對(duì)于V中任意兩個(gè)元數(shù)素α與β，在V中都有唯一的一個(gè)元素，γ與它們對(duì)應(yīng)，稱為α與β的和，記為γ=α+β。在數(shù)域ρ與集合V的元素之間還定義了一種運(yùn)算叫做數(shù)量乘法，這就是說，對(duì)子數(shù)域ρ中任一數(shù)k與v中任一元素α在V中都有唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為kα的數(shù)量乘積，記作σ=kα若加法和數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則那么V稱為數(shù)域ρ上的線性空間。

定義2[21]：

設(shè)v是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，對(duì)V中任意兩個(gè)向量α，定義一個(gè)二無實(shí)函數(shù)，記作〈α，β〉，若〈α，β〉滿足以下性質(zhì)：?α，β，γ∈v，k∈R

則稱〈α β〉為 α 和 β 的內(nèi)積

定義3[21]：

定義了上述內(nèi)積的實(shí)數(shù)域上的線性空間稱為歐式空間。

3 歐式空間的內(nèi)積

定理1[21]：

C[a，b]為閉區(qū)間[a，b]上的所有實(shí)數(shù)連續(xù)函數(shù)所作成的線性空間，f（x），g（x）是定義在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，對(duì) f（x），g（x）若滿足

則 C（a，b）對(duì)于（1）作成一個(gè)歐式空間。

4 構(gòu)造歐式空間的正交基函數(shù)

定理2[21]：

對(duì)于 n維歐式空間中任意一組基函數(shù) ε1，ε2，…εn都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 η1，η2，…ηn滿足：

定理3：

定理4：

設(shè) 1、cosx、sinx 、cos2x、sin2x、…cosnx、 sinnx....是定義在閉區(qū)間[0，2π]上的連續(xù)函數(shù)，其所作成的空間為歐式空間。其中1、cosx、sinx、cos2x、sin2x、…cosnx、sinnx…為該歐式空間的一組基函數(shù)。

證明：對(duì)于基函數(shù) 1，cosx，sinx，cos2x，…，cosnx，sinnx，…中任意兩個(gè)基函數(shù)都滿足以下性質(zhì)

即符合內(nèi)積定義

所以 1，cosx sinx，cos2x，sin2x，…cosmx.sinmx 構(gòu)成歐式空間一組基函數(shù)。

定理5：

歐式空間基函數(shù) 1、cosx、sinx、cos2x、sin2x、…cosnx、 sinnx…是一組線性無關(guān)正交基

證明：當(dāng)m≠n時(shí)，根據(jù)定理3中的結(jié)論，則有

即該組基函數(shù)是正交基函數(shù)；為了方便表示我們分別用η1，η2，…ηm…表示歐式空間基函數(shù)1，cosx、 sinx，…cosmx、sinmx…

下面我們證明正交向量組 1，cosx、sinx，…cosmx、sinmx、…線性無關(guān)：

設(shè)正交基函數(shù)存在線性關(guān)系

分別用基函數(shù) 1，cosx、sinx，…cosmx、sinmx、…與上述等式作內(nèi)積（定理 1）運(yùn)算，即得：

由于（sin mx，sin mx） ＝ π，所以 ki=0，i=1，2，3 ，…

即 1，cosx、 sinx，…cosmx、sinmx、…線性無關(guān)。定理證畢。

5 歐式空間基函數(shù)的對(duì)偶基及其升階算法

定理6：

設(shè) e0，e1，…，en是一組線性無關(guān)的基函數(shù)，其生成空間為 En，即其對(duì)偶基函數(shù)為｝可以表示成 e0，e1，…，en的線性組合。即

即

定理7：

Em對(duì)偶基函數(shù)為對(duì)偶基空間為

即

即有：

根據(jù)對(duì)偶基的定義則有

當(dāng) i=n+1；時(shí)

即

其中

6 舉列

（1）當(dāng) i＝ 0 時(shí)

即根據(jù)對(duì)偶理論

即

系數(shù)矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣，利用matlab編程可以得到

即

（2）當(dāng) i＝ 1時(shí)，同理可有

（3）當(dāng) i＝ 2時(shí)，同理可有

（4）當(dāng) i＝ 3時(shí)，同理可有

（5）當(dāng) i＝ 4時(shí)，同理可有

綜合上述：得到 e0=1，e1=cosx，e2=sinx，e3=cos2x，e4=sin2x的對(duì)偶基函數(shù)分別是

下面我們進(jìn)一步討論其升階算法：

根據(jù)定理7，我們現(xiàn)在利用歐式空間E4基函數(shù)的對(duì)偶基H4求解E5基函數(shù)的對(duì)偶基函數(shù)H5，其中，

若 j=0 時(shí)下面分別討論 i=0，1，2，3，4，5 時(shí)的情況

（1）當(dāng) i=0 時(shí)即

（2）當(dāng) i=1 時(shí)即

（3）當(dāng) i=2 時(shí)即

（4）當(dāng) i=3 時(shí)即

（5）當(dāng) i=4 時(shí)即

（6）當(dāng) i=5 時(shí)即

當(dāng)j=0時(shí)可以得到矩陣M如下：

故有：

即

同理可求：

7 結(jié)論

由于歐式空間的應(yīng)用越來越廣，國內(nèi)外許多學(xué)者都利用范數(shù)、內(nèi)積來研究歐式空間，本文根據(jù)泛函分析中內(nèi)積的定義、基函數(shù)的定義構(gòu)造歐式空間的基函數(shù)，并證明該基函數(shù)是歐式空間的正交基函數(shù)。對(duì)后續(xù)研究歐式空間曲線、曲面有著重要意義。