基于交叉熵與風(fēng)險偏好的多屬性決策分析

梅孔椿,,,2,

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601; 2.安徽大學(xué) 計算智能與信號處理教育部重點實驗室,合肥 230039; 3.安徽廣播電視大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院,合肥 230022)

0 概述

自模糊集理論[1]被提出以來,目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、航空航天、統(tǒng)計決策等各個領(lǐng)域。隨著人們對模糊集理論研究的深入以及實際應(yīng)用的不斷變化,傳統(tǒng)的模糊集理論已經(jīng)不能滿足發(fā)展需要。因此,二型模糊集理論[2]被提出。二型模糊集理論相關(guān)研究[3-4]的展開,使其比一型模糊集理論有了更為廣泛的應(yīng)用與發(fā)展。例如:文獻[5]提出了一個新的表示定理,為分析區(qū)間二型模糊集(Interval Type-2 Fuzzy Sets,IT2FSs)提供了方便;文獻[6]提出了區(qū)間二型模糊集的3種排序值公式,將模糊集的優(yōu)劣關(guān)系以函數(shù)的形式表達出來;文獻[7]提出了模糊熵的概念。在對二型模糊集和區(qū)間二型模糊集的研究中,熵的提出是對二型模糊集不確定性程度的一種度量。例如:文獻[8]定義了對IT2FSs不確定性的測度,如質(zhì)心、基數(shù)、方差等;文獻[9-11]對模糊集的不確定性熵度量等做了深入研究,并提出以猶豫模糊熵的概念來度量模糊集的猶豫度;文獻[12-13]提出了區(qū)間二型模糊集的模糊因子、猶豫因子等模糊信息測度。此外,文獻[14]提出的T2FSs不確定測度以及文獻[15]提出的對直覺模糊熵的幾何構(gòu)造方法,都對二型模糊集的不確定性熵研究提供了重要參考。

在多屬性決策過程中,除了考慮決策的客觀因素外,更要考慮到?jīng)Q策者的主觀因素,即決策者的風(fēng)險偏好,決策者的風(fēng)險偏好往往會影響到最終的決策結(jié)果。本文首先設(shè)計一種新的排序值公式,同時定義風(fēng)險偏好因子并引入?yún)^(qū)間二型模糊交叉熵公式;然后基于交叉熵和風(fēng)險偏好因子分別在屬性權(quán)重完全未知和屬性權(quán)重部分已知的情況下,構(gòu)建最優(yōu)化線性模型,探討風(fēng)險偏好對屬性權(quán)重的影響;最后列舉一個實例驗證該模型的可行性與有效性。

1 知識準(zhǔn)備

定義1(二型模糊集) 假設(shè)A是論域X上一個二型模糊集,則A可表示為A={((x,u),μA(x,u)):?x∈X,u∈Jx∈[0,1]},其中,0≤μA(x,u)≤1,u為主隸屬度,μA(x,u)為次隸屬度。此外,A還可以表示為[16]:

(1)

定義2假設(shè)A是論域X上一個二型模糊集,如果對任意的x∈X和u∈Jx有Jx≡1,則A就為區(qū)間二型模糊集,表達形式如下[16]:

(2)

設(shè)A是論域X上一個二型模糊集,定義A=(AU,AL)為X上的區(qū)間二型模糊集,因此,有:

定義3對于任意的區(qū)間二型梯形模糊集A,A的運動軌跡由其主隸屬度函數(shù)完全確定,將此運動軌跡定義為A的不確定軌跡FOU(A),令A(yù)U(x)和AL(x)分別表示為A在x上的上下隸屬度函數(shù),則AU(x)和AL(x)表示如下:

(4)

(5)

對于X上的所有區(qū)間二型梯形模糊集來說,其補集用AC表示,一般表達形式定義如下:

AC= ((AC)U,(AC)L)=

2 區(qū)間二型模糊集的排序值公式

文獻[6]提出了區(qū)間二型模糊集的算術(shù)平均、幾何平均以及調(diào)和平均3種排序值公式,其中幾何平均和調(diào)和平均排序值公式存在以下弊端:當(dāng)二型模糊集中只要有元素為0,排序值就為0,這與實際情況是不符的。因此,本文在此基礎(chǔ)上提出一種新的排序值公式,以解決該問題。

定義5對于一個區(qū)間二型梯形模糊集A,其排序值公式定義如下:

根據(jù)定義6,A、B的偏好關(guān)系可以通過式(6)得到,這是因為排序值都是實數(shù),實數(shù)是可以對比大小的,所以對任意的2個區(qū)間二型梯型模糊集A、B,利用排序值公式可以得到其間的3種對應(yīng)關(guān)系,本文規(guī)定如下:

1)如果R(A)

2)如果R(A)>R(B),即表示A優(yōu)于B,用A?B表示。

3)如果R(A)=R(B),即表示A等同于B,用A?B表示。

定理1設(shè)A是區(qū)間二型梯型模糊集X上的一個模糊數(shù),對任意的A都有0≤R(A)≤2。證明如下:

因此,得到0≤R(A)≤(1+1)×1=2。

設(shè)X是一個論域,對于任意的A∈X,0≤R(A)≤2,且排序值越大越優(yōu),即當(dāng)A,B∈X時,如果R(A)>R(B),則記為R(A)?R(B),反之,即為R(A)R(B)(R(A)

3 區(qū)間二型模糊熵

在區(qū)間二型模糊環(huán)境中度量2個區(qū)間二型模糊集的模糊關(guān)系,在實際應(yīng)用中具有非常重要的作用。文獻[17]對區(qū)間二型模糊熵做了一些研究,對研究區(qū)間二型模糊的不確定性有一定的幫助。本文給出一種在區(qū)間二型模糊集中的交叉熵,以描述2個區(qū)間二型模糊集之間不確定信息的識別程度。交叉熵的不確定性度量包含3個部分:模糊性,猶豫性和區(qū)間性(分別用δ、σ、φ表示)。本文利用區(qū)間二型模糊集的模糊性、猶豫性和區(qū)間性度量2個模糊集之間不確定信息的識別程度。

對任意一個A∈X,式(7)表示模糊因子,式(8)表示猶豫因子。

IT2TFS的區(qū)間因子表示如下:

(9)

定義7設(shè)A,B∈X,則A對B的區(qū)間二型模糊交叉熵定義如下:

(10)

從式(10)中可以觀察到CE(A,B)是不對稱的,因此,給出如下對稱形式:

DE(A,B)=CE(A,B)+CE(B,A)

定理2設(shè)A∈X,DE(A,B)是區(qū)間二型模糊集A、B的對稱交叉熵,則DE(A,B)滿足以下3個性質(zhì):

性質(zhì)1DE(A,B)=DE(B,A)。

性質(zhì)2DE(A,B)=DE(AC,B)=DE(A,BC)=DE(AC,BC)。

性質(zhì)30≤DE(A,B)≤3ln2。

證明如下:

性質(zhì)1:很容易可以驗證,不再證明。

性質(zhì)2:因為前面已經(jīng)證得δA=δAC,σA=σAC以及φA=φAC,同理可得到δB=δBC,σB=σBC以及φB=φBC,可以得到DE(A,B)=DE(AC,B),DE(AC,B)=DE(A,BC)以及DE(A,BC)=DE(AC,BC),所以性質(zhì)2得證。

定義8設(shè)A∈X,C*是一個確定的模糊集,則區(qū)間二型模糊集A的熵定義如下:

(11)

相對于δ*、σ*和φ*,區(qū)間二型模糊集A的熵E=f(δ*,σ*,φ*)是實值函數(shù),因此,對任意A∈X,熵E(A)滿足以下4條公理化性質(zhì):

2)對任意的A∈X,0≤E(A)≤1。

3)E(A)=E(AC)。

4)f(δA,σA,φA)是一個連續(xù)的實值函數(shù),且隨著δA的增大而減小,隨著σA、φA的增大而增大。

證明如下:

第1條性質(zhì)證明:假設(shè)C*是一個明確集,那么A=C*或A=(C*)C,所以有DE(A,C*)=0?E(A)=0。反之,假設(shè)E(A)=0,即DE(A,C*)=0,因此,由定義8可知δA=δC*=1/2,σA=σC*=0,φA=φC*=0,即A=C*或A=(C*)C,即A是一個明確集。

第2條和第3條性質(zhì)由以上的定義定理便可證明。

由上述分析可知,f(x,y,z)隨著x的增大而減小,隨著y和z的增大而增大。同理可知f(δA,σA,φA)是一個連續(xù)的實值函數(shù),且隨著δA的增大而減小,隨著σA、φA的增大而增大。

4 風(fēng)險偏好函數(shù)

風(fēng)險偏好是決策者對風(fēng)險的一種偏好程度。風(fēng)險是可測量的,但不確定性是難以度量的。風(fēng)險偏好是一種不確定性,面對這種不確定性,決策者的態(tài)度和傾向是風(fēng)險偏好的具體體現(xiàn)。文獻[18]探究了風(fēng)險態(tài)度對決策的影響關(guān)系,這對本文研究金融風(fēng)險偏好有重要意義。本文在區(qū)間二型模糊環(huán)境中引入風(fēng)險偏好因子來探究決策者的不同風(fēng)險偏好態(tài)度對其在決策方面所造成的影響。因為不同決策者風(fēng)險的態(tài)度是存在差異的,一部分人可能喜歡大得大失的刺激,另一部分人則可能更愿意“求穩(wěn)”,根據(jù)決策者對風(fēng)險偏好的不同,可以將其分為風(fēng)險規(guī)避型、相對風(fēng)險規(guī)避型、風(fēng)險中性型、相對風(fēng)險偏好型、和風(fēng)險偏好型,所以根據(jù)決策者的風(fēng)險態(tài)度的不同設(shè)置風(fēng)險偏好函數(shù)。

定義9設(shè)θ(x)是一個風(fēng)險偏好函數(shù),則θ(x)可定義如下:

用θ(x)的不同取值反映決策者的風(fēng)險態(tài)度。假設(shè)決策者在不同屬性類型下的決策信息以區(qū)間二型模糊集的形式給出,區(qū)間二型模糊集的模糊熵即為它的不確定性風(fēng)險,因此,本文基于上述的觀點構(gòu)造投資者風(fēng)險偏好不確定度量如下:

(12)

該函數(shù)反映的是投資者在對風(fēng)險有風(fēng)險偏好態(tài)度的情況下的風(fēng)險偏好得分。

5 最優(yōu)線性規(guī)劃模型

由對于一個區(qū)間二型模糊集而言,其排序值越大越好,同時風(fēng)險偏好函數(shù)越小越好?；诖?本文構(gòu)建不同風(fēng)險偏好下的權(quán)重模型。

情況1當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時,構(gòu)造以下線性規(guī)劃模型:

為求解上述線性優(yōu)化模型,可以使用等權(quán)求和法將上述多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為以下單目標(biāo)優(yōu)化模型:

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)模型:

其中,λ為參數(shù)。求L(wj,λ)對wj和λ的一階偏導(dǎo)數(shù),并令它們等于0,即:

求解上述方程組可以得到最優(yōu)權(quán)重w=(w1,w2,…,wm)。

然后對其進行歸一化處理得到:

最后得到最優(yōu)屬性權(quán)重:

情況2當(dāng)屬性權(quán)重是部分已知時,構(gòu)造以下線性模型:

其中,Φ表示部分已知的屬性權(quán)重信息。

w∈Φ= {0.1≤w1≤0.2,0.1≤w1≤0.3,0.3≤

w1≤0.4,0.1≤w1≤0.3}

同理,可以將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化模型,計算權(quán)重。

6 決策步驟

基于排序值、風(fēng)險偏好函數(shù)和交叉熵的多屬性決策方法步驟如下:

步驟1根據(jù)屬性類型不同將原始矩陣A=(aij)n×m規(guī)范化為規(guī)范矩陣D=(dij)n×m,其中:

步驟2基于定義5計算規(guī)范化決策矩陣的排序值R=(rij)n×m。

步驟3基于定義8計算區(qū)間二型模糊交叉熵E=(eij)n×m。

步驟4根據(jù)風(fēng)險偏好的不同,得到線性規(guī)劃模型的不同最優(yōu)權(quán)重。

步驟5將規(guī)范化矩陣D=(dij)n×m轉(zhuǎn)化為得分矩陣S=(sij)n×m。

步驟6利用Score=SωT計算各方案的綜合得分,并按得分多少從大到小排序,最大者即為最優(yōu)方案。

7 實例分析

某風(fēng)險投資公司計劃從如下5個項目中選擇一個進行投資:移動通信(x1),新能源技術(shù)(x2),生物醫(yī)藥(x3),低碳減排技術(shù)(x4),智能交通(x5),公司聘請專家對這5個項目分別從效益率(a1)、技術(shù)成熟度(a2)、發(fā)展前景(a3)和潛在風(fēng)險(a4)等方面進行評估。

評估結(jié)果用語言進行標(biāo)度,分為“非常低(VL)”“低(L)”“比較低(ML)”“中等(M)”“比較高(MH)”“高(H)”“非常高(VH)”,每個語言標(biāo)度對應(yīng)一個(梯形)區(qū)間二型模糊集,如表1所示,專家的評估結(jié)果如表2所示。

表1 語言標(biāo)度及其對應(yīng)的區(qū)間二型模糊集

表2 專家評估結(jié)果

下面基于本文介紹的新的排序值公式,風(fēng)險偏好函數(shù)和交叉熵的多屬性決策方法處理該公司的項目投資問題。

步驟1由于屬性a1～a3屬于效益性屬性,而屬性a4屬于成本型屬性,因此對原始決策矩陣進行規(guī)范化得到規(guī)范化矩陣D=(dij)n×m。

步驟2計算規(guī)范化決策矩陣的排序值:

(22)

步驟3基于定義8計算區(qū)間二型模糊交熵:

(23)

步驟4根據(jù)風(fēng)險偏好的不同,得到對應(yīng)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)權(quán)重。

1)假定屬性權(quán)重完全未知時,引入2個參數(shù)統(tǒng)一量綱后的最優(yōu)線性規(guī)劃模型為:

2)假定屬性權(quán)重部分已知時,引入2個參數(shù)統(tǒng)一量綱后的最優(yōu)線性規(guī)劃模型為:

基于式(24),圖1和圖2顯示了在模型風(fēng)險偏好θ(x)變化的條件下屬性權(quán)重的變化情況。

圖1 屬性權(quán)重完全未知時不同風(fēng)險偏好下w1、w2的變化情況

圖2 屬性權(quán)重完全未知時不同風(fēng)險偏好下w3、w4的變化情況

當(dāng)屬性權(quán)重部分已知時,同樣對模型進行統(tǒng)一量綱處理,屬性權(quán)重在不同風(fēng)險偏好下的變化情況如圖3和圖4所示。

圖3 屬性權(quán)重部分已知時不同風(fēng)險偏好下w1、w2的變化情況

圖4 屬性權(quán)重部分已知時不同風(fēng)險偏好下w3、w4的變化情況

隨著風(fēng)險偏好值從0到1的變化,當(dāng)權(quán)重完全未知時(情況1),w1、w2、w4逐漸減小,w3逐漸增大;當(dāng)屬性權(quán)重部分已知時(情況2),w1逐漸減小,w2、w4逐漸增大。由此,可以說明風(fēng)險偏好對屬性權(quán)重有影響。

步驟5將規(guī)范化矩陣D=(dij)n×m轉(zhuǎn)化為得分矩陣S=(sij)n×m。

根據(jù)式(21)分別計算規(guī)范化矩陣D=(dij)n×m的上下隸屬度函數(shù)的得分矩陣SU和SL如下:

(26)

(27)

(28)

步驟6利用Score=SωT計算各方案的綜合得分(屬性權(quán)重完全未知時),并按得分多少從大到小排序,如表3所示,最大者即為最優(yōu)方案。

表3 屬性權(quán)重完全未知時不同風(fēng)險偏好下的方案排序

利用公式Score=SωT計算各方案的綜合得分(屬性權(quán)重部分已知時),并按得分多少從大到小排序,如表4所示,最大者即為最優(yōu)方案。

表4 屬性權(quán)重部分已知時不同風(fēng)險偏好下的方案排序

構(gòu)建模型后,通過偏好函數(shù)取值的不同得到對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重,并利用得分公式得到最終的得分值并排序。根據(jù)上述結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)整體排名結(jié)果不變,符合實際,這意味著該模型是穩(wěn)定可行的。同時,根據(jù)文中模型和得出的數(shù)據(jù)可以知道決策者風(fēng)險偏好的不同對屬性權(quán)重也有相應(yīng)的影響,且隨著風(fēng)險偏好的變化,屬性權(quán)重是有趨勢地變化的,這說明風(fēng)險偏好對屬性權(quán)重是有影響的。

8 方法比較

本文方法相對于文獻[6,12-13]等針對區(qū)間二型模糊集的多屬性決策方法有以下優(yōu)勢:

1)針對文獻[7]提出的區(qū)間二型模糊排序值公式存在當(dāng)二型模糊集中只要有元素為0排序值就為0的問題,本文改進并提出了一種新的區(qū)間二型模糊排序值公式。新的排序值公式相比文獻[6]重點突出了元素的大小對區(qū)間二型模糊排序值大小的影響,使得排序值公式更加穩(wěn)定可靠。

2)度量區(qū)間二型模糊集的模糊性、猶豫性和區(qū)間性,并利用區(qū)間二型模糊集的模糊性、猶豫性和區(qū)間性去度量模糊集之間不確定信息的識別程度作為區(qū)間二型模糊集的不確定熵,既考慮了區(qū)間二型模糊集自身的不確定性,同時又突出了模糊集之間的相互影響對決策的影響。

3)針對在實際的區(qū)間二型模糊多屬性決策中,人們往往只考慮了決策的客觀因素而忽略決策的主觀因素,即決策者的風(fēng)險偏好這一問題,本文提出了風(fēng)險偏好因子重點探究決策者風(fēng)險偏好的不同對屬性權(quán)重(屬性重要程度的定量分配,即決策者對各屬性的重視程度)的影響。根據(jù)投資體對風(fēng)險偏好的不同,將其分為風(fēng)險規(guī)避性、風(fēng)險中立型和風(fēng)險偏好型。同時將區(qū)間二型模糊的不確定交叉熵作為評價指標(biāo)的不確定性,利用交叉熵和風(fēng)險偏好因子設(shè)置風(fēng)險偏好函數(shù),并根據(jù)決策者的風(fēng)險態(tài)度的不同,得到對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重,然后以表格以及圖表的形式更加直觀地觀察到風(fēng)險態(tài)度對決策的影響,這一決策方法對于金融投資來說具有非常重要的實際意義。

9 結(jié)束語

在多屬性決策過程中,除了要考慮決策的客觀因素外,更要考慮到?jīng)Q策者的主觀因素,即決策者的風(fēng)險偏好。每位決策者在進行決策時都有自己的風(fēng)險偏好,且決策者的風(fēng)險偏好往往可能會影響到最終的決策結(jié)果。為此,本文提出了風(fēng)險偏好因子、新的排序值公式以及區(qū)間二型模糊交叉熵公式,基于此構(gòu)造排序值、風(fēng)險偏好因子和交叉熵最優(yōu)線性規(guī)劃模型。下一步將對區(qū)間二型梯形模糊的不確定熵和交叉熵在投資、供應(yīng)商選擇以及航運等問題中的應(yīng)用進行研究。