非局部相似性去噪算法研究

袁 媛 朱 敏

(華東師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件工程學(xué)院計(jì)算中心 上海 200062)

0 引 言

在圖像傳輸、壓縮等過程中會(huì)產(chǎn)生圖像噪聲，圖像噪聲會(huì)干擾從圖像中準(zhǔn)確獲取信息。在當(dāng)今信息化時(shí)代，圖像已經(jīng)成為一種重要的信息載體，然而被噪聲污染過的圖像將影響人們提取信息的準(zhǔn)確性。圖像去噪也是諸如圖像特征提取等研究的基礎(chǔ)步驟，所以圖像去噪至今仍然是一個(gè)很重要的圖像處理問題。

圖像去噪的目的是要去除被噪聲污染過的圖像中的噪聲，并且把圖像中的原有信息盡可能多地保留下來(lái)。通常圖像去噪問題被當(dāng)成一個(gè)逆問題來(lái)處理，給定一張?jiān)肼晥D像，通過去噪算法去除圖像噪聲恢復(fù)未被噪聲污染過的圖像x。噪聲圖像可用表達(dá)式：y=x+v來(lái)表示。由于現(xiàn)實(shí)中的噪聲能夠近似表示為高斯噪聲，因此通常v表示均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯噪聲。本文的研究也考慮v為高斯噪聲的情況。

通過大量的研究，研究者們提出了許多圖像去噪算法。主要包括以下幾大類：圖像濾波算法[1]、全變分方法[2]、基于小波的方法[3]、稀疏表示方法[4]，以及基于非局部相似性的方法[5-10]等。

基于非局部相似性(一個(gè)圖像塊在不同的位置有相似塊的特性)的方法近年來(lái)受到研究者們的關(guān)注。這一方法原理最早在2005年被BuadesAntoni等[7]提出用于圖像去噪，并且取得了較好的效果。此后，有許多使用非局部相似性原理的基于圖像塊的去噪方法被提出來(lái)，如：三維塊匹配算法(BM3D)[8]、加權(quán)核范數(shù)矩陣逼近(WNNM)[6]等。除了BM3D、WNNM等利用已有噪聲圖像的自相似性來(lái)去噪之外，研究者們發(fā)現(xiàn)可以用無(wú)噪聲圖像來(lái)引導(dǎo)噪聲圖像去噪，如PGPD[9]和PCLR[10]。盡管無(wú)噪聲圖像和噪聲圖像不一樣，但自然界圖像塊的結(jié)構(gòu)具有相似性，故可以預(yù)先通過算法學(xué)習(xí)無(wú)噪聲圖像塊的結(jié)構(gòu)特性，再將算法學(xué)習(xí)到的結(jié)構(gòu)用于引導(dǎo)噪聲圖像去噪。例如，文獻(xiàn)[9-10]通過高斯混合模型來(lái)學(xué)習(xí)非局部相似塊組的結(jié)構(gòu)特性。

相比其他去噪算法，上述的非局部相似性算法能夠取得很好的效果，尤其是WNNM算法。然而，該算法主要是通過計(jì)算歐氏距離得到的圖像塊之間的相似度。這種方法雖然簡(jiǎn)單并且取得了不錯(cuò)的效果，但是在圖像有噪聲的情況下，噪聲會(huì)影響圖像塊之間相似性的計(jì)算，可能出現(xiàn)原本不相似的圖像塊之間計(jì)算出較高的相似性的情況，這將影響后續(xù)圖像去噪算法的去噪效果。近年來(lái)，研究者們致力于研究新非局部相似性算法來(lái)提高去噪效果，例如Grewenig等[11]通過將圖像塊旋轉(zhuǎn)特定的角度來(lái)得到更多的相似塊并以此來(lái)提升去噪效果。也有研究者用梯度值代替像素計(jì)算圖像塊之間相似性，但梯度值對(duì)噪聲敏感，所以對(duì)于后續(xù)處理也不是一個(gè)好的分組算法。

綜上所述，目前對(duì)于如何降低噪聲在求解圖像塊之間相似度的影響的研究較少。Romano等[12]提出了一種通過提高待去噪圖像信噪比的算法來(lái)提升去噪算法的去噪效果。受到這篇文章的啟發(fā)，本文提出了一個(gè)有效的算法提升WNNM算法的效果。并且在重構(gòu)圖像之前，本文采用了加權(quán)平均方法來(lái)計(jì)算每個(gè)像素的值，以此得到去噪后的圖像塊，再對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)。

1 WNNM算法

加權(quán)核范數(shù)最小化方法(WNNM)是由Zhang Lei等提出的。該方法利用無(wú)噪聲圖像塊組成的矩陣是低秩的原理來(lái)達(dá)到去噪效果。處理流程如圖1所示。

圖1 WNNM處理流程圖

首先加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)將圖像劃分成像素重疊的圖像塊，并求出每個(gè)圖像塊的非局部相似塊。求相似塊的方法有很多，如K均值方法、模糊聚類、張量方法等。加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)通過計(jì)算塊Pi與塊Pj之間的歐氏距離衡量?jī)蓚€(gè)塊之間的相似度DPiPj：

(1)

其次，計(jì)算出圖像塊Pi和窗口范圍wSize內(nèi)圖像塊Pj之間的歐氏距離，將距離從小到大排序，前k個(gè)相似塊組成矩陣。利用無(wú)噪聲圖像的相似塊矩陣是低秩矩陣這一特性來(lái)去噪。低秩矩陣最小化可以用來(lái)求矩陣的解，得到目標(biāo)函數(shù)：

(2)

然而，式(2)是非凸函數(shù)，求解過程是一個(gè)NP問題，需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行凸優(yōu)化再求解。Candes和Recht證明了NNM(標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)最小化)是rank(Xi)的凸優(yōu)化[11]，可以通過求解NNM問題得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，因此式(2)等價(jià)于：

(3)

式中：λ是一個(gè)正數(shù)，‖Xi‖*是核范數(shù)，噪聲圖像塊組Yi的奇異值分解為Yi=USV,對(duì)異值進(jìn)行軟閾值收縮，得到目標(biāo)函數(shù)的解：

Xi=USλ(∑)V

(4)

無(wú)噪聲圖像塊組合而成的矩陣是低秩矩陣，奇異值代表了矩陣變換的方向，前s個(gè)奇異值和占據(jù)了矩陣奇異值之和的99%，故前s個(gè)奇異值是矩陣變換的主要方向。而式(4)使用同一個(gè)λ值對(duì)奇異值進(jìn)行軟閾值收縮，這樣得到無(wú)噪聲圖像并沒有考慮奇異值的這個(gè)性質(zhì)，導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)過度平滑變得模糊。為了解決這個(gè)問題Zhang Lei等提出的加權(quán)核范數(shù)最小化方法(WNNM)使用不同的λ值對(duì)奇異值進(jìn)行軟閾值收縮得到低秩矩陣。因?yàn)閳D像信息能量主要聚集在數(shù)值大的奇異值上，要保留圖像信息，所以數(shù)值大的奇異值對(duì)應(yīng)更小的λ值，數(shù)值小的奇異值通常是噪聲，需要過濾掉，目標(biāo)函數(shù)如下:

(5)

(6)

(7)

代入式(5)求出解便可得到去噪后的圖像塊。

最后將圖像塊重構(gòu)得到結(jié)果，可以采用迭代使得去噪效果更佳，當(dāng)去噪后的圖像的PSNR值不再有提升的時(shí)候，停止迭代，按照實(shí)驗(yàn)結(jié)果迭代次數(shù)的取值一般為8～14。

2 改進(jìn)的WNNM方法

加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)已經(jīng)取得了不錯(cuò)的去噪效果，然而這個(gè)方法還存在一些缺陷。

1) 基于噪聲圖像求圖像塊之間的相似度，有錯(cuò)分的可能性。把原本不相似的塊分到一組會(huì)影響后續(xù)圖像去噪算法的效果。給定一張大小為N×N的圖像y,Pi和Pj是圖像塊，由上一節(jié)可知WNNM用式(1)度量?jī)蓚€(gè)圖像塊Pi和Pj的之間的相似度，在噪聲的情況下Pi=xi+vi,Pj=xj+vj。其中xi和xj是Pi和Pj的無(wú)噪聲圖像，vi和vj是噪聲，所以式(1)展開得到：

2×(xim-xjm)×(vim-vjm)

(8)

表1 無(wú)噪聲相似塊和有噪聲相似塊去噪信噪比

(a) C.man(b) Lenna

(c) House圖2 對(duì)比圖片

從表1中可以看出，由噪聲圖像塊計(jì)算得到相似性塊組去噪效果比利用無(wú)噪聲圖像得到相似塊組的情況差。

2) 將圖像塊重構(gòu)成無(wú)噪聲圖像塊時(shí)，只通過求像素的平均值求圖像塊每個(gè)像素的值，然而不同圖像塊在圖像塊重構(gòu)時(shí)所占權(quán)重應(yīng)該不一樣。

在利用自相似性對(duì)圖像塊進(jìn)行分組時(shí)，一個(gè)塊可能屬于多個(gè)不同相似塊組。因而對(duì)于每個(gè)噪聲圖像塊會(huì)得到多個(gè)不同的去噪結(jié)果。WNNM算法對(duì)塊中每個(gè)像素求平均值得到最終去噪后的圖像塊，而事實(shí)上每個(gè)相似塊矩陣去噪后的效果不一樣。理論上，相似塊之間的相似性越大，矩陣秩便越低，去噪效果更佳。如果對(duì)每個(gè)像素直接求平均來(lái)得到去噪圖像，則可能會(huì)將細(xì)節(jié)平滑，所以，去噪后的圖像塊應(yīng)是多個(gè)不同結(jié)果的加權(quán)平均值：

(9)

式中：mj=1-k/(l+1),l為奇異值個(gè)數(shù)，k為矩陣的秩，秩越大mj越小，秩越小則mj越大。當(dāng)k的值和l相等的時(shí)候mj=1/(l+1)。表2列出了WNNM算法對(duì)像素直接求平均和求加權(quán)平均的去噪效果對(duì)比。從表中可看出使用加權(quán)平均方法得到的去噪后圖像峰值信噪比更高，這意味著加權(quán)平均方法效果更好。通常我們會(huì)假定每一個(gè)圖像塊的噪聲是一樣的，但事實(shí)上每塊圖像塊的噪聲是不一樣大的，這將會(huì)影響分塊的準(zhǔn)確度，不同的相似塊分組得到的去噪效果不一樣。因此使用加權(quán)平均方法得到去噪后的圖像塊更加合理。

表2 平均和加權(quán)平均對(duì)比

為了解決上述問題，本文提出一種有效的方法。算法步驟描述如下：

步驟1將噪聲圖像y用WNNM算法進(jìn)行去噪預(yù)處理，得到圖像ypre，以此增強(qiáng)圖像的信噪比。

步驟2將噪聲圖像y和預(yù)處理過后的圖像ypre分別劃分成像素重疊的圖像塊，并用ypre得到的圖像塊求出每個(gè)圖像塊的非局部相似塊。

步驟3將ypre得到的非局部相似塊組視為噪聲圖像y相應(yīng)塊的非局部相似性塊組，用WNNM算法去噪。

步驟5將步驟4得到的圖像重復(fù)K次步驟2-步驟4,其中K按照經(jīng)驗(yàn)取值在8～14之間。

步驟6得到最終的去噪圖像。

綜上所述，本文提出的方法首先用WNNM將噪聲圖像作預(yù)處理。然后將預(yù)處理得到的圖像分割成圖像塊，求每一塊的相似塊組，將這個(gè)相似塊組視為噪聲圖像相似塊分組，再對(duì)噪聲圖像進(jìn)行去噪。提出這個(gè)方法的依據(jù)是：

1) 經(jīng)過WNNM算法預(yù)處理的噪聲圖像，噪聲變小了，信噪比有所提升，故因噪聲引起的誤差值部分減小。

2) 預(yù)處理過的圖片是無(wú)噪聲圖像的一個(gè)近似解，因?qū)嶒?yàn)?zāi)康氖腔謴?fù)無(wú)噪聲圖像，故實(shí)驗(yàn)時(shí)沒有干凈圖像能夠用于分塊，可將預(yù)處理過后的圖像視為近似干凈圖像。

其次，由表2可得出結(jié)論，圖像塊重構(gòu)時(shí)使用加權(quán)平均方法得到的去噪效果更好，故本文算法中圖像塊重構(gòu)時(shí)使用加權(quán)平均方法求每個(gè)像素的值。

最后，將算法迭代K次得到最終的去噪結(jié)果，K的取值為峰值信噪比不再有提升時(shí)的迭代次數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文利用MATLAB 2012Ra實(shí)驗(yàn)環(huán)境，將本文提出的算法運(yùn)用到lenna等10張圖片上，并和幾個(gè)去噪效果較好的算法進(jìn)行了比較研究。這些算法包括三維塊匹配算法(BM3D)[8]、加權(quán)核范數(shù)算法(WNNM)[6]、PGPD[9]、PCLR[10]。本文所有用于實(shí)驗(yàn)的圖像大小都是256×256像素，類似于其他算法的仿真實(shí)驗(yàn)，所有圖像的噪聲為方差為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的高斯噪聲，不同對(duì)應(yīng)的圖像塊大小如表3所示。

表3 不同σ對(duì)應(yīng)圖像塊大小

算法的去噪性能用峰值信噪比(PSNR)來(lái)衡量，PSNR值越大說(shuō)明算法去噪效果越好。表4為本文提出的算法和其他算法對(duì)于lenna等圖片在不同噪聲情況下進(jìn)行處理之后得到的峰值信噪比的平均值對(duì)比。從表4可以看出，本文提出的算法比現(xiàn)有的其他算法效果都要好，從而驗(yàn)證了本文提出的算法的有效性。

表4 不同算法去噪后PSNR均值對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

圖像去噪是圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)重要問題。本文提出了一個(gè)方法來(lái)提升加權(quán)核范數(shù)最小化算法(WNNM)的去噪效果。本文對(duì)于圖像去噪的貢獻(xiàn)在于，首先，降低了求初始圖像相似塊組的噪聲，從而降低了因噪聲在計(jì)算相似性時(shí)而產(chǎn)生的誤差。其次，在重構(gòu)無(wú)噪聲圖像塊時(shí)，不是直接對(duì)像素求平均值，而是考慮了圖像塊不同的結(jié)果具有不同的權(quán)重。最后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的算法能夠得到比WNNM更好的信噪比，圖像處理的結(jié)果更好。