數(shù)形結(jié)合法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

朱麗娜

【摘要】數(shù)形結(jié)合既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。新課改對高等數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高要求，通過高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要傳授學(xué)生基礎(chǔ)知識，還要兼顧學(xué)生能力的培養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合作為一項思維轉(zhuǎn)換思想，能把復(fù)雜、抽象的問題簡單化、具體化，能將抽象問題更為直觀、簡單地呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生分析、解決問題，提高學(xué)習(xí)效率，同時還可以開拓我們的解題思路。由此，加強對數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的研究具有現(xiàn)實意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合法 高數(shù)教學(xué) 應(yīng)用研究

【中圖分類號】O13-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0053-02

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想主要是指數(shù)與形的結(jié)合，作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合主要分為兩種情況，一種是利用數(shù)的精確性闡明形的某些屬性，另一種是借助形的幾何直觀性表明數(shù)之間的關(guān)系。簡而言之，就是“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”。巧妙地運用數(shù)形結(jié)合思想，能夠引導(dǎo)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和敏銳性，使學(xué)生能夠在“形中見數(shù)”，又能夠“數(shù)中見形”，深化對知識本質(zhì)的理解，從而培養(yǎng)數(shù)感。另外，數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，將各個要素之間關(guān)系更為直觀、簡單地呈現(xiàn)出來，為學(xué)生提供解決問題的思路。不僅如此，將數(shù)形結(jié)合思想運用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，還能夠?qū)⒏髦R點聯(lián)系到一起，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系。

二、數(shù)形結(jié)合法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

首先，幫助學(xué)生更好地理解抽象的問題。通過研究高等數(shù)學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，幾何問題與微積分起源都對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)意義。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用數(shù)形結(jié)合的方法，能夠有效地把抽象問題通過形象直觀的圖形語言描述出來，從而使得學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)的概念及定理時，能夠在圖形的幫助下，尋找到相應(yīng)的證明思路。

其次，提升學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)形結(jié)合的核心理念就是把抽象的理論和圖形結(jié)合起來，將抽象概念形象化處理，通過這樣的方式提升學(xué)生的抽象思維能力，使學(xué)生能夠更好的描述中掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識，數(shù)形結(jié)合法學(xué)生可以把理論、概念性的知識實施簡化處理，從而能夠有效地提升學(xué)習(xí)效率。因此，在數(shù)形結(jié)合中，把”數(shù)”理念與”形”特點結(jié)合起來，通過兩者間的相互促進和配合，為學(xué)生理解以及掌握高等數(shù)學(xué)提供新思路，增強學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，啟發(fā)學(xué)生對問題的深入思考，也是提升學(xué)習(xí)興趣的一個重要途徑。

三、數(shù)形結(jié)合法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.深化概念本質(zhì)，夯實基礎(chǔ)知識

高等數(shù)學(xué)很多概念都是由抽象的數(shù)學(xué)語言構(gòu)成，進行形式化的描述，由于過于抽象，不利于其理解和消化數(shù)學(xué)概念。因此，利用數(shù)形結(jié)合思想從概念背景入手，利用直觀的幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，逐漸由具象圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮母拍?，幫助學(xué)生理解和接受概念。“數(shù)形結(jié)合”有助于對數(shù)學(xué)知識的記憶，教學(xué)中運用形象記憶的特點，使抽象的數(shù)學(xué)盡可能地形象化，對學(xué)生輸入的數(shù)學(xué)信息和映象就更加深刻，在學(xué)生的腦海中形成數(shù)學(xué)的模型，可以形象地幫助學(xué)生理解和記憶。例如：在進行“導(dǎo)數(shù)”概念教學(xué)過程中，可以從曲線的切線斜率著手，并借助變速直線運動的瞬間速度求法進行整理。通過這種方式不僅能夠讓學(xué)生了解知識發(fā)展過程，強化對概念的認識，還能培養(yǎng)學(xué)生概括思維，更好地解決生活中遇到的問題。

2.通過數(shù)形結(jié)合解釋數(shù)學(xué)思維

應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。在數(shù)學(xué)里存在著大量的直覺思維，這就是人們在求解數(shù)學(xué)問題時，運用已有的知識，從整體上對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設(shè)，并作出試探性的結(jié)論，它具有頓悟、飛躍的特征。用數(shù)形結(jié)合的方法解題，能最直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，只需稍加計算或推導(dǎo)，就能得到確切的答案。教學(xué)中要注意用數(shù)形結(jié)合的方法訓(xùn)練直覺思維，讓學(xué)生養(yǎng)成整體觀察、檢索信息、把握問題實質(zhì)的好習(xí)慣。數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法要求教師在實踐中能夠更好地把教學(xué)思維融合進來，因此，教師在教學(xué)實踐中需要把數(shù)形結(jié)合的方法用于解釋數(shù)學(xué)思維，同時也重視對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，在解決問題時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想表達出來。

3.強化定理理解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力

定理作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，學(xué)生理解難度大，但是利用數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒍ɡ硗ㄟ^直觀的幾何圖形呈現(xiàn)給學(xué)生，強化學(xué)生對定理的理解，提高學(xué)生對定理的運用能力。例如：在“微分中值定理”教學(xué)過程中，該定理包括內(nèi)容較多，如羅爾定理、拉格朗日中值定理等，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)定理的關(guān)鍵，由于定理相對集中，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想，呈現(xiàn)定理之間的關(guān)系，降低學(xué)生理解難度。從幾何角度來看，定理之間屬于切線平行于弦，而從解析角度來看，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，特定條件下，羅爾定理是另一種定理。由此可見，數(shù)形結(jié)合思想，能夠引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程中，強化學(xué)生對定理的理解，并讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的魅力。

4.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生思考

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法還可以引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行思考。最有效的方法就是引導(dǎo)學(xué)生自主的思考問題，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠發(fā)揮主觀能動性，通過數(shù)形結(jié)合方法有效地提升學(xué)生探索問題的能力，最終達到解決問題的目的。因此，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行思考，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考與樂于思考的良好習(xí)慣。例如有一個十分重要的極限公式，如果使用定義以及極限的運算法則來證明將十分復(fù)雜，此時可以換一個角度思考，運用夾逼準則（也稱為夾擠定理或者兩邊夾定理），它作為極限存在判定的準則之一，運用此定理來判定此函數(shù)極限問題，通過數(shù)形結(jié)合來證明此問題就較為簡單.在解答問題中，學(xué)生需要對這些問題進行多角度的思考，進而找到最為簡單的解答途徑。

5.豐富解題思路，提高解題效率

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離?！备叩葦?shù)學(xué)中部分數(shù)學(xué)問題，僅能夠通過數(shù)和形解決，但是，過于麻煩且困難，如果能夠發(fā)現(xiàn)問題各要素之間的聯(lián)系，并運用代數(shù)和幾何含義，豐富解決思路，最終快速解決問題。例題：設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f（x）的圖形如圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)y′=f′（x）圖形為（ ）。通過圖形能夠看出，x小于0時，呈現(xiàn)遞增趨勢，相對應(yīng)的圖形應(yīng)在x上方，反之，則呈現(xiàn)曲線，先增后降再增，使得f（x）也要隨之變化，由此，選擇最后一個答案。通過這種方式，不僅能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想滲透到學(xué)生思維中，還能夠?qū)⒅R有機結(jié)合。

四、數(shù)形結(jié)合在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實例

利用數(shù)形結(jié)合可以增加高等數(shù)學(xué)解題的求簡意識。數(shù)學(xué)知識來源于對實踐的感性認識，在對數(shù)學(xué)的認識過程中，也是這樣。通過數(shù)形結(jié)合可以提高對數(shù)學(xué)知識的認知能力，通過數(shù)形結(jié)合可以從直接體驗數(shù)學(xué)知識，加強對概念、定義、定理的理解，更好的掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和外延，提高對高等數(shù)學(xué)的自主學(xué)習(xí)能力。

1.利用數(shù)軸解決集合的相關(guān)問題

當兩個集合的解是不等式時，要求其并集或者交集，可以用過數(shù)軸表示來把不等式的解集表示出來。

例1：已知集合A={X|-2 （1）若AB，求a的范圍

（2）若BA，求a的范圍

解：

（1）用數(shù)軸來表示集合A，根據(jù)題意得，集合B覆蓋集合A，如圖（1），則a≥2，且2a≥6，

得出a≥3。

（2）若集合A覆蓋集合B，如圖（2）所示，則-a≥-2，且6≥2a，且2a>-a，得出0 -a -2 6 2a -2 -a 2a 6

（1）（2）

通過上述例題充分利用了數(shù)軸，把抽象的數(shù)學(xué)問題反映到圖形上，清晰的表達各集合之間的關(guān)系，從而得解答集合運算、求解參數(shù)值等一系列的問題。

2.運用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，是一種常用的方法，函數(shù)圖像的集合特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。運用這種數(shù)形結(jié)合的思想有助于理解題意，探求解題思路，檢驗解題結(jié)果。

例1：已知奇函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，若f（1）=0，滿足x·f（x）<0的范圍是_____。

分析：函數(shù)f（x）比較抽象，欲解出目標不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自變量與函數(shù)值異號，故可作出f（x）的圖像加以解決。

解：作出符合條件的一個函數(shù)圖像，如圖1。由圖可知：x·f（x）<0的x取值范圍是（-1，0）∪（0，1）。可見，對于較抽象的函數(shù)問題，只需按題設(shè)作出最簡單的函數(shù)圖像即可。

總之，數(shù)形結(jié)合法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用，教師通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，能夠更好地解析高等數(shù)學(xué)中比較抽象的概念，通過直觀化的方式開拓學(xué)生的思路以及想象力，達到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，進而提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力的目的。

參考文獻：

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