關(guān)于LTI狀態(tài)空間模型的參數(shù)估計(jì)分析

黃媚

摘 要：在信號(hào)系統(tǒng)中，線性時(shí)不變系統(tǒng)是很重要的組成部分。隨著信號(hào)分析理論的不斷完善，參數(shù)估計(jì)的相關(guān)研究越來越為人們所重視。為了推動(dòng)信號(hào)系統(tǒng)的發(fā)展，人們正在展開關(guān)于線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計(jì)研究。在本文中，我們通過分析研究線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)，探討了在該空間模型下參數(shù)估計(jì)的方法。這些研究對促進(jìn)線性時(shí)不變系統(tǒng)的相關(guān)研究和參數(shù)估計(jì)分析的發(fā)展有著重要的意義，有很好的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

關(guān)鍵詞：線性時(shí)不變系統(tǒng)；空間模型；參數(shù)估計(jì)

引言

在現(xiàn)代信號(hào)與系統(tǒng)的研究中，LTI，即線性時(shí)不變系統(tǒng)是一個(gè)研究的重點(diǎn)部分。由于線性時(shí)不變系統(tǒng)同時(shí)滿足疊加原理和時(shí)不變的特性，所以可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。因此，線性時(shí)不變系統(tǒng)的相關(guān)研究越來越受到人們的重視。

參數(shù)估計(jì)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與信號(hào)研究中的重要方法。隨著相關(guān)理論的不斷成熟，參數(shù)估計(jì)得到了越來越多的應(yīng)用。為了促進(jìn)線性時(shí)不變系統(tǒng)的相關(guān)研究，人們正在嘗試著進(jìn)行線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計(jì)分析研究。

本文擬通過分析線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)，研究探討適用于線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計(jì)方法。

一、LTI狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)

LTI系統(tǒng)又稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)，由于同時(shí)具有線性和是不變兩個(gè)特性，LTI在信號(hào)分析與信號(hào)系統(tǒng)的相關(guān)研究中受到廣泛的關(guān)注。其中最受關(guān)注的是線性時(shí)不變系統(tǒng)諸多特點(diǎn)的相關(guān)研究分析。

1.1齊次性

齊次性是線性時(shí)不變系統(tǒng)的一項(xiàng)重要屬性。在信號(hào)系統(tǒng)中，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)與相應(yīng)信號(hào)具有相同的增長屬性時(shí)，即可稱為該系統(tǒng)具有齊次性。通過數(shù)學(xué)方法表示，在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，如果系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為a（t），相應(yīng)信號(hào)為b（t）時(shí)，我們輸入為Aa（t）的激勵(lì)信號(hào)，則輸出信號(hào)必然為Ab（t），其中A為常數(shù)。

1.2疊加性

線性時(shí)不變系統(tǒng)是滿足疊加原理的一種系統(tǒng)，即系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)的線性疊加必然會(huì)引起輸出信號(hào)的線性疊加。同樣用數(shù)學(xué)方法表示，可以表示為系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)a1（t）和a2（t）分別對應(yīng)輸出信號(hào)b1（t）和b2（t），則當(dāng)激勵(lì)信號(hào)變?yōu)閍1（t）+a2（t）時(shí)，輸出信號(hào)則為b1（t）+b2（t）。

1.3線性

線性是線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本屬性之一。線性變化是數(shù)學(xué)中函數(shù)變化的一項(xiàng)基本內(nèi)容，如果將函數(shù)變化的變化率繪制成曲線圖，變化率為一條直線的即可稱為線性變化。在信號(hào)與系統(tǒng)中，線性是系統(tǒng)齊次性和疊加性共同作用后的變化表現(xiàn)。換句話說，線性時(shí)不變系統(tǒng)既具有激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)的齊次性，也滿足兩者之間的疊加性，即為線性。

1.4時(shí)不變性

時(shí)不變性是LTI系統(tǒng)的另一項(xiàng)基本屬性，也是開展線性時(shí)不變系統(tǒng)各項(xiàng)研究的重要基礎(chǔ)。在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)是具有對應(yīng)性的，而不會(huì)隨時(shí)間變化。在不同時(shí)刻，激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)也會(huì)有所不同。如果激勵(lì)信號(hào)出現(xiàn)延遲現(xiàn)象，則對應(yīng)的響應(yīng)信號(hào)也會(huì)延遲。并且，所產(chǎn)生的波形并不會(huì)變化。

1.5微分性與積分性

微分與積分是個(gè)統(tǒng)一的概念。自從牛頓和萊布尼茨分別創(chuàng)立了微積分后，微積分在數(shù)學(xué)、物理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。信號(hào)與系統(tǒng)的相關(guān)研究產(chǎn)生于數(shù)學(xué)，所以也具有很好的微積分性質(zhì)。

在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，我們一般根據(jù)系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)之間的對稱關(guān)系稱為系統(tǒng)的微分性與積分性。具體的應(yīng)用主要集中在系統(tǒng)信號(hào)的計(jì)算中。由于微分性和積分性涉及到的數(shù)學(xué)概念比較復(fù)雜，我們在此不進(jìn)行舉例說明。

總體來說，線性時(shí)不變系統(tǒng)同時(shí)具有齊次性、疊加性、線性、時(shí)不變性、微分性和積分性六大特點(diǎn)。而這六個(gè)特點(diǎn)為參數(shù)估計(jì)方法的應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、參數(shù)估計(jì)的方法研究

參數(shù)估計(jì)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用的一種研究方法，屬于統(tǒng)計(jì)推斷的一種。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，參數(shù)估計(jì)主要是為了解決數(shù)學(xué)系統(tǒng)估計(jì)量和估計(jì)量精度的問題。由于參數(shù)估計(jì)的應(yīng)用方法與線性時(shí)不變系統(tǒng)契合度很高，所以目前也被廣泛應(yīng)用到線性時(shí)不變系統(tǒng)的研究中。

2.1似然估計(jì)

似然估計(jì)是參數(shù)估計(jì)在線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下應(yīng)用最為廣泛的一種研究方法。似然估計(jì)方法也被稱為最大似然估計(jì)法，是19世紀(jì)中期提出的一種參數(shù)估計(jì)方法。經(jīng)過多年的發(fā)展研究，似然估計(jì)法的應(yīng)用已經(jīng)相當(dāng)成熟，成為當(dāng)今應(yīng)用最為廣泛的一種參數(shù)估計(jì)方法。

似然估計(jì)法的基本步驟是通過樣本抽取和計(jì)算，利用總體分布的規(guī)律推導(dǎo)相關(guān)參數(shù)。具體應(yīng)用中，似然估計(jì)法要應(yīng)用到似然函數(shù)，在對似然函數(shù)經(jīng)過數(shù)學(xué)處理后（一般是指對似然函數(shù)采取對數(shù)處理，并經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算整理），再利用微積分的理念求解似然函數(shù)。

前文我們提到，線性時(shí)不變系統(tǒng)有很好的微分性與積分性。因此，利用似然估計(jì)法對線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)備受人們重視。特別是似然估計(jì)法在應(yīng)用上已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，對于線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型的參數(shù)估計(jì)精度的提高有很大的幫助。

2.2矩法估計(jì)

在線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下參數(shù)估計(jì)應(yīng)用最為廣泛的另一種方法是矩法估計(jì)。矩法估計(jì)與似然估計(jì)法相同，需要從樣本中抽取與計(jì)算一定數(shù)據(jù)，才能進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)運(yùn)算。不同的是，矩法估計(jì)采用的是矩陣計(jì)算方法，重點(diǎn)應(yīng)用到的數(shù)字特征是中心矩和原點(diǎn)矩。因此，矩法估計(jì)的計(jì)算精度要比其它參數(shù)估計(jì)方法低一些。要想提高參數(shù)估計(jì)精度，必須采用大容量的樣本。計(jì)算成本會(huì)成倍增加。

不過計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的應(yīng)用和發(fā)展，為上述問題的解決提供了新的途徑。憑借著計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理能力，人們可以很方便地實(shí)現(xiàn)大容量樣本的矩法估計(jì)。而這樣，矩法估計(jì)的使用方便、應(yīng)用面廣的優(yōu)勢便體現(xiàn)了出來。

線性時(shí)不變系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性，具有很強(qiáng)的邏輯性，與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的邏輯運(yùn)算法有很大的相似點(diǎn)。因此，現(xiàn)階段線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計(jì)越來越多地應(yīng)用到矩法估計(jì)。通過計(jì)算機(jī)系統(tǒng)建立線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型，再利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)高精度的參數(shù)估計(jì)已經(jīng)成為了現(xiàn)實(shí)。我們相信，未來的矩法估計(jì)會(huì)在線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計(jì)中發(fā)揮出更大的作用。

綜上所述，從線性時(shí)不變系統(tǒng)的特點(diǎn)方面考慮，參數(shù)估計(jì)中的似然估計(jì)法和矩法估計(jì)是目前應(yīng)用最為廣泛的兩種參數(shù)估計(jì)方法。而從發(fā)展的角度來看，矩法估計(jì)有著更好的發(fā)展前景。

結(jié)束語

線性時(shí)不變系統(tǒng)作為信號(hào)與系統(tǒng)研究應(yīng)用中重要的組成部分，其相關(guān)的應(yīng)用研究受到了人們的廣泛重視。為了解決線性時(shí)不變狀態(tài)空間模型下的參數(shù)估計(jì)，我們分析了線性時(shí)不變系統(tǒng)的六個(gè)特點(diǎn)，并從這兩個(gè)特點(diǎn)出發(fā)，對目前應(yīng)用最為廣泛的似然估計(jì)法和矩法估計(jì)進(jìn)行了相關(guān)研究，并對兩者未來的發(fā)展進(jìn)行了總結(jié)。這些研究對促進(jìn)信號(hào)與系統(tǒng)的發(fā)展有著很好的幫助。

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