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    一道雙變量問(wèn)題的三種解法及應(yīng)用

    2018-08-10 08:06:32
    新課程(下) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:常數(shù)單調(diào)導(dǎo)數(shù)

    孫 健

    (鞍山市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組,遼寧 鞍山)

    在解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分的問(wèn)題時(shí),我們經(jīng)常遇到雙變量的問(wèn)題,由于兩個(gè)變量都在變動(dòng),學(xué)生經(jīng)常在解題時(shí)束手無(wú)策。因此筆者從一道題典型的雙變量問(wèn)題切入,給出雙變量問(wèn)題的三個(gè)不同的解題方法,希望能對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。

    法一:分離變量

    考慮函數(shù)g(x)=x0lnx-x,則g(x1)=g(x2)

    若x1<x2≤x0,而g(x)在(-∞,x0]單調(diào)遞增,g(x1)<g(x2)與g(x1)=g(x2)矛盾,

    同理x0≤x1<x2亦與g(x1)=g(x2)矛盾

    所以x1<x0<x2

    說(shuō)明:此法利用已知條件關(guān)于x1,x2兩個(gè)變量對(duì)稱形式,將兩個(gè)變量分離到等式兩側(cè),進(jìn)而將已知條件轉(zhuǎn)化為g(x)在x1,x2處的函數(shù)值相等,并通過(guò)研究g(x)性質(zhì)找到x1,x0,x2之間的大小關(guān)系。

    法二:用變量組合式做變量

    考慮函數(shù)g(t)=lnt-t+1

    類似可證x2-x0>0

    說(shuō)明:比較兩數(shù)大小關(guān)系時(shí)做差和做商是常見(jiàn)的方法,此方法直接做差,并找到做差后式子中符號(hào)固定的部分后重點(diǎn)考慮不易確定符號(hào)的部分,通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法,則巧妙地將兩個(gè)變量的商作為新的變量構(gòu)造出一個(gè)單變量的函數(shù)。此法也可以利用做商的方式處理,這里留給讀者思考,不再贅述。

    法三:一個(gè)看做自變量,一個(gè)看做常數(shù)

    考慮函數(shù)g(x)=x1(lnx-lnx1)-(x-x1)

    而x1<x2,故g(x2)=x1(lnx2-lnx1)-(x2-x1)<g(x1)=0

    說(shuō)明:此方法做差的想法與法二類似,不同的是在處理分子時(shí)將x2作為自變量,將x1看做常數(shù)構(gòu)造出函數(shù)g(x),這種處理方法源自數(shù)學(xué)分析中多元微積分中的偏導(dǎo)數(shù)方法,以大學(xué)觀點(diǎn)處理高中導(dǎo)數(shù)題目自有欲窮千里目,更上一層樓的感覺(jué)。

    以上三種解法是雙變量問(wèn)題中較為典型的處理技巧,下面我們對(duì)以上方法加以應(yīng)用,并體會(huì)對(duì)不同類型的題目如何選取適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

    應(yīng)用:

    (1)已知f(x)滿足f(x)+f′(x)>0,?x∈R,比較f(2)與大小。

    解:f(2)與大小關(guān)系等價(jià)于e2·f(2)與f(0)大小關(guān)系,而利用函數(shù)單調(diào)性比較大小是一種常規(guī)方法,若可以將兩式轉(zhuǎn)變?yōu)橥粋€(gè)函數(shù)在不同點(diǎn)處函數(shù)值則問(wèn)題可解。注意到e2·f(2)與f(0)兩式在形式上相差函數(shù)符號(hào)f前面的一個(gè)常數(shù)e0,e2·f(2)與f(0)大小關(guān)系等價(jià)于e2·f(2)與e0·f(0)大小關(guān)系,兩式分別為g(2)與g(0)。

    考慮,g(x)=ex·f(x),g′(x)=ex·(f(x)+f′(x))>0,g(x)單調(diào)遞增,故

    (2)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1

    設(shè)a≤-2證明:對(duì)任意

    解:不妨設(shè)x2≤x1,則或f(x1)-f(x2)≤4(x2-x1)

    ?g(x)=f(x)+4x單調(diào)遞減或h(x)=f(x)-4x單調(diào)遞增

    點(diǎn)評(píng):以上練習(xí)題中,運(yùn)用法一分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題求解,希望本文中解決雙變量問(wèn)題三個(gè)方法能給讀者帶來(lái)啟發(fā)。

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