一類(lèi)分?jǐn)?shù)階SIQS傳染病模型的穩(wěn)定性分析

周學(xué)勇，楊皦蓉，齊龍興

(1.信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

近年來(lái)，傳染病學(xué)引入數(shù)學(xué)模型,為理解疾病的傳播機(jī)制及其控制策略提供了一個(gè)全新的視角[1-3].國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究傳染病動(dòng)力學(xué)模型，得到了一些有應(yīng)用價(jià)值的結(jié)果.最近分?jǐn)?shù)階微積分引起了廣泛的關(guān)注，由于分?jǐn)?shù)階模型的非局部性、記憶性等性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階微分方程在生物系統(tǒng)的建模中更加符合實(shí)際，并且出現(xiàn)了一些分?jǐn)?shù)階傳染病動(dòng)力學(xué)和種群動(dòng)力學(xué)模型[4,5].本文將研究一類(lèi)分?jǐn)?shù)階研究SIQS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

考慮具常數(shù)移民和雙線性疾病發(fā)生率的SIQS模型[1]：

(1)

初值條件

S(0)=S0,I(0)=I0,Q(0)=Q0,S0,I0,Q0≥0，

(2)

其中:S(t),I(t),Q(t)分別表示在t時(shí)刻易感者、染病者和隔離者個(gè)體的數(shù)目.A,d,β是正常數(shù)，μ,δ和ρ為非負(fù)常數(shù).A是單位時(shí)間內(nèi)因出生和移民而進(jìn)入易感者S類(lèi)的數(shù)量，簡(jiǎn)稱(chēng)輸入率；d是自然死亡率系數(shù)；β是雙線性疾病發(fā)生率系數(shù)；δ是因病死亡率系數(shù)；γ和ε分別是從染病者I類(lèi)和隔離者Q類(lèi)恢復(fù)到S類(lèi)的恢復(fù)系數(shù).α(0<α≤1)表示方程的階數(shù).

1 引理

首先，回顧分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義.關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念，采用Caputo的定義[6].Caputo的定義是Riemann-Liouville定義的一個(gè)改進(jìn)而且有益于處理初值問(wèn)題.

定義1[6]函數(shù)f:R+→R的α>0階分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2[6]函數(shù)f:R+→R的α>0階(α∈(n-1,n))Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中，a≤ξ≤x,?x∈(a,b].

定義3 設(shè)C*(R+)是列向量x(t)的連續(xù)函數(shù)空間，其中x(t)=(S,I,Q)T，則對(duì)任意的x(t)∈C*(R+)，定義其范數(shù)為

引理3[7]假設(shè)向量函數(shù)f(t,x):R+×Rn→Rn(維數(shù)n≥1)滿足

1)f(t,x)在R+上關(guān)于t是Lebesgue可測(cè)的；

2)f(t,x)在Rn上關(guān)于x是連續(xù)的；

3) ‖f(t,x)‖≤ω+λ‖x‖,?x∈Rn，其中ω,λ是兩個(gè)正常數(shù)；

則初值問(wèn)題

的解x(t)在R+上存在且唯一.

2 正解的存在性與唯一性

證明首先將證明對(duì)任何初值

由系統(tǒng)(1)的第2個(gè)方程知，

DαI(t)≥-(d+ρ+δ+γ)I,t∈[0,t*].

易得

I(t)≥I(0)Dα(-d+ρ+δ+γ)tα,t∈[0,t*].

由I(0)>0，得到I(t*)>0，這與假設(shè)相矛盾.因此對(duì)所有的t≥0,I(t)≥0.

由系統(tǒng)(1)的第1個(gè)和第3個(gè)方程，得到

DαQQ=0=δI≥0，

DαSS=0=A+γI(t)+εQ(t)≥0.

將系統(tǒng)(1)中的方程相加得

Dα(S+I+Q)=

A-d(S+I+Q)-ρ(I+Q)≤

A-d(S+I+Q),

從而

由引理2易知系統(tǒng)的解有界，再由引理3可知滿足初值條件(2)的系統(tǒng)(1)存在唯一的正解.證畢.

記

3 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

定義

為基本再生數(shù).為了研究系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，令

DαS=0,DαI=0,IαQ=0，

當(dāng)R0>1時(shí)，在D內(nèi)也存在唯一的正平衡點(diǎn)(地方病平衡點(diǎn))P*(S*,I*,Q*)，其中

證明在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處將系統(tǒng)(1)線性化，得到在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處的Jacobian矩陣J(P0)為

系統(tǒng)(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處的特征方程為

(λ+d)(λ+(d+ρ+δ+γ)-

特征值為

λ1=-d<0，

λ2=-(d+ρ+ε)<0，

當(dāng)R0<1時(shí)λ3<0，此時(shí)特征值滿足

故無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)λ3>0，此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.證畢.

下面給出地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,Q*)的局部穩(wěn)定性條件，在地方病平衡點(diǎn)P*處將系統(tǒng)(1)線性化，得到地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,Q*)處的Jacobian矩陣J(P*)為

地方病平衡點(diǎn)P*處的特征方程為

P(λ)=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中

a1=2d+ρ+ε+βI*>0，

a2=dρ+dε+2βdI*+2βρI*+

βεI*+d2+βδI*>0,

a3=(βρε+βd2+βdε+βdδ+

βδρ+2βdρ+βρ2)I*>0.

記

利用文獻(xiàn)[9]的結(jié)果，有如下結(jié)論：

定理4 假設(shè)R0>1,

(i) 如果D(P)>0，那么地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的；

4 數(shù)值模擬

采用求解分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的預(yù)測(cè)校正法[9,10].對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)P*(S*,I*,Q*)進(jìn)行數(shù)值模擬,以此來(lái)驗(yàn)證前面的結(jié)果.

其中

γj,n+1=

取參數(shù)

A=10,β=1/150,d=1/75,r=0.0025,

ε=0.003,ρ=0.08,δ=0.2,

則D(P)>0,R0=16.901.定理4中的條件滿足，所以系統(tǒng)(1)的染病平衡點(diǎn)P*(44.375,32.144,68.659)是局部漸近穩(wěn)定的，如圖1所示，初始條件為S(0)=50,I(0)=20,Q(0)=40.α分別取0.8、0.9、1.當(dāng)α=1時(shí)，系統(tǒng)(1)是經(jīng)典的整數(shù)階常微分方程模型.

圖1 系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定性Fig. 1 The locally asymptotic stability of the infected equilibrium of system (1)

5 結(jié)論

本文建立并研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階SIQS傳染病模型，證明了分?jǐn)?shù)階模型具有唯一的非負(fù)解，利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析工具，獲得了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充分條件.利用分?jǐn)?shù)階型預(yù)估-校正法給出了分?jǐn)?shù)階SIQS傳染病模型的數(shù)值解，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了本文理論分析的正確性.