用多項(xiàng)式控制曲率變化的連續(xù)彎矯曲線

曾 晶，王文學(xué)，張西鋒，李武紅

(中國重型機(jī)械研究院股份公司，陜西 西安 710032)

0 前言

近些年來隨著板坯連鑄機(jī)逐漸向著精細(xì)化方向發(fā)展，人們開始對輥列中的連續(xù)彎矯曲線提出了越來越高的要求。從追求彎曲(矯直)曲線與圓弧曲線的連續(xù)到彎曲(矯直)曲線與圓弧曲線的曲率連續(xù)，甚至曲率的變化率連續(xù)，各種形式的連續(xù)彎曲(矯直)曲線不斷涌現(xiàn)。從3次方曲線到5次方曲線，甚至到更高次的曲線被應(yīng)用到連續(xù)彎曲(矯直)曲線中來。雖然這些連續(xù)彎矯曲線從數(shù)學(xué)層面實(shí)現(xiàn)了與圓弧曲線的光滑連接，但是卻忽略了對連續(xù)彎矯曲線曲率變化的控制。因此本文從連鑄坯彎曲和矯直的本質(zhì)出發(fā)提出一種用多項(xiàng)式控制曲率變化的連續(xù)彎矯曲線的數(shù)學(xué)模型。

1 所求曲線f(S)應(yīng)當(dāng)滿足的條件

(1)曲線f(S)的總長度為L0,S∈[0,L0]。

(2)曲線f(S)的仰角θ(S)滿足θ(0)=0。

(6)曲線f(S)的曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)在[0，L0]上處處可導(dǎo)，如圖2所示。

(7)曲線f(S)的曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)關(guān)于垂線S=0.5L0對稱，如圖2所示。

(9)曲線f(S)的曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)在S=0.5L0時(shí)取得唯一存在的極大值，如圖2所示。

圖1 曲線f(S)的曲率k(S)

圖2 曲線f(S)的曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)

2 曲線的推導(dǎo)

基于曲線f(S)應(yīng)當(dāng)滿足的9個(gè)條件可構(gòu)建曲線f(S)的曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)如式(1)所示。

(1)

式中,a>0；b>0；n=1、2、3、4、5…。

對式(1)積分可得曲線f(S)的曲率k(S)如式(2)所示。

(2)

(3)

將式(3)代入式(2)得曲線f(S)的曲率k(S)如式(4)所示。

(4)

(5)

(6)

圖3為曲率的微觀幾何意義，由此建立曲線f(S)上任意點(diǎn)(x，y)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y關(guān)于曲線f(S)仰角θ的參數(shù)方程，如式(7)所示。

(7)

式中，K1=K2=0。

圖3 曲率的微觀幾何意義

因?yàn)檎液瘮?shù)和余弦函數(shù)可用泰勒級數(shù)展開如式(8)所示。

(8)

所以式(7)可改寫為如式(9)所示。

(9)

3 曲線f(S)與回旋曲線的關(guān)系

工程應(yīng)用中可根據(jù)實(shí)際情況選擇m和n的值。m決定曲線的精度,m越大曲線f(S)的精度就越高；n決定曲線的類型，n越大曲線f(S)在形狀上就越接近回旋曲線，隨著n的增加，曲線f(S)的曲率k(S)及曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)逐漸向回旋曲線的曲率及其對應(yīng)的曲率的導(dǎo)數(shù)逼近，如圖4、圖5所示。

圖4 曲率k(S)的變化過程

圖5 曲率的導(dǎo)數(shù)k′(S)的變化過程

當(dāng)n→∞時(shí)，式(4)可變?yōu)槿缡?10)所示，式(5)可變?yōu)槿缡?11)所示，式(6)可變?yōu)槿缡?12)所示。

(10)

(11)

(12)

(13)

4 應(yīng)用實(shí)例

若n=1,可得曲線f(S)的曲率k(S)、曲線f(S)的仰角θ(S)如式(14)、(15)所示。

(14)

(15)

工程應(yīng)用中取式(9)的前三項(xiàng)就可以滿足精度要求，即m=2。此時(shí)，曲線f(S)的參數(shù)表達(dá)如式(16)所示。

(16)

針對R0=8 000 mm，L0=2 500 mm的情況繪制相關(guān)曲線如圖6、圖7、圖8、圖9、圖10所示。

圖6 曲線f(S)

圖7 曲線f(S)的仰角θ(S)

圖8 曲線f(S)的曲率半徑R(S)

圖9 曲線f(S)的曲率k(S)

圖10 曲線f(S)與回旋曲線(虛線)

5 結(jié)論

(1)連鑄坯的彎曲或矯直過程的實(shí)質(zhì)就是曲率的變化；只有從連續(xù)彎矯曲率的變化出發(fā)，才能較為準(zhǔn)確地控制連鑄的整個(gè)彎曲或矯直過程。本文所提出的連續(xù)彎矯曲線實(shí)際上就是讓連續(xù)彎矯曲線的曲率在由1/R0逐漸地過渡到0的過程中，整個(gè)曲率的變化過程完全可控，且保證了曲率變化率的連續(xù)性，避免了因人為假定連續(xù)彎矯曲線類型而使曲線的曲率變化處于不可控狀態(tài)。

(2)該模型兼顧了曲率變化率極值最小的回旋曲線模型，在n的取值較大時(shí)，連續(xù)彎矯曲線的曲率變化十分接近回旋曲線的曲率變化率，且保證了連續(xù)彎矯曲線和弧形線(直線)交接點(diǎn)處曲率變化率的連續(xù)性，具有更好的理論優(yōu)勢和實(shí)用價(jià)值。