例談數(shù)學(xué)知識(shí)在高中生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

梁 浩 劉曉菊

(河北省盧龍縣中學(xué) 066400)

1 排列組合知識(shí)在生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

排列與組合是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在生物學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，如蛋白質(zhì)分子中氨基酸的排列順序、自由組合定律、DNA分子及RNA分子的核苷酸排列順序、遺傳信息的傳遞和表達(dá)等內(nèi)容中都可應(yīng)用到排列組合知識(shí)。

1.1 排列知識(shí)的應(yīng)用 例題： 某科研小組利用化學(xué)方法合成多肽時(shí)，在反應(yīng)試管中加入甘氨酸、蘇氨酸、丙氨酸作為原料，加入相應(yīng)的酶并在適宜的溫度下處理一段時(shí)間，推測(cè)生成三肽化合物可能有_______種，其中含有3種不同氨基酸的三肽可能有_______種，如果采用一定的方法限制反應(yīng)，生成的四肽化合物可能有_______種，下列數(shù)字正確的是(D)。

A. 6,6,27 B. 27,6,27

C. 6,27,81 D. 27,6,81

解析： 3種氨基酸作為原料合成多肽時(shí)，兩氨基酸之間發(fā)生脫水縮合形成肽鍵，形成的三肽化合物有以下幾種可能： ①只含有1種氨基酸的，如“H3N—甘氨酸—甘氨酸—甘氨酸—COOH”。因此，含有1種氨基酸的三肽化合物共有1×3=3種。②也可能是含有2種氨基酸的，如含有甘氨酸和蘇氨酸，這就涉及每個(gè)位置上氨基酸的種類(lèi)問(wèn)題。氨基酸不同的排列順序，代表三肽化合物的分子結(jié)構(gòu)不同，但是氨基酸之間又有可能重復(fù)，這就是可重復(fù)的排列問(wèn)題。怎么才能把含有甘氨酸和蘇氨酸2種氨基酸的三肽化合物可能的種類(lèi)準(zhǔn)確快速地寫(xiě)出來(lái)呢？可以這樣講解： 上述三肽化合物可以由1個(gè)甘氨酸和2個(gè)蘇氨酸組成，也可能由2個(gè)甘氨酸和1個(gè)蘇氨酸組成。前者的具體組成包括“甘氨酸—蘇氨酸—蘇氨酸”“蘇氨酸—甘氨酸—蘇氨酸”和“蘇氨酸—蘇氨酸—甘氨酸”，共3種；后者同樣有3種。同理，含有“甘氨酸和丙氨酸”“蘇氨酸和丙氨酸”2種氨基酸的三肽化合物分別也是6種。這樣含有2種氨基酸的三肽化合物共有6×3=18種。③含有3種氨基酸的三肽化合物有多少種呢？先考慮三肽化合物有3個(gè)位置，每個(gè)位置上必需與別的位置上的氨基酸種類(lèi)不同，才能保證其含有3種氨基酸。這涉及到“不可重復(fù)的排列”的問(wèn)題，第1個(gè)位置上可以是3種中的任意一種，第2個(gè)位置上是除第1個(gè)位置上以外的、其他的任意兩種之一，第3個(gè)位置是除了前兩個(gè)位置之外的那一種，所以，共有3×2×1=6種。據(jù)此，推測(cè)生成可能的三肽化合物有3+18+6=27種，而其中含有3種不同氨基酸的三肽可能有6種，生成的四肽化合物(屬于可重復(fù)排列)可能有為： 3×3×3×3=81種。因此，D選項(xiàng)正確。

1.2 組合知識(shí)在生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 例題： 在自然人群中，發(fā)現(xiàn)決定Rh血型的基因的基因座上共有18個(gè)基因，但對(duì)于每個(gè)人而言，只有其中的兩個(gè)基因成員，則人類(lèi)Rh血型有基因型(D)種。

A. 18 B. 36 C. 153 D. 171

1.3 組合知識(shí)和概率知識(shí)結(jié)合在生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 例題： 一對(duì)夫婦在婚后孕檢發(fā)現(xiàn)懷了4胞胎，醫(yī)生已經(jīng)證實(shí)4名胎兒在遺傳上有一定差異，為異卵四胞胎。請(qǐng)預(yù)測(cè)他們生育一男三女的概率為多少?兩男兩女的概率為多少？

參考答案： 他們生育一男三女的概率為1/4，他們生育兩男兩女的概率為3/8。

2 概率知識(shí)在生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

概率是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)，通俗地講是某事件發(fā)生的可能性大小。在生物學(xué)很多內(nèi)容的學(xué)習(xí)中要應(yīng)用到概率知識(shí)，如遺傳學(xué)分離定律、自由組合定律所涉及的計(jì)算，其中最常用的是乘法定理、加法定理。

2.1 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率——乘法公式的應(yīng)用 例題： 已知白化病為常染色體隱性遺傳病，一對(duì)夫婦都是該病的攜帶者，問(wèn)該夫婦連生兩胎，兩個(gè)孩子均患白化病的概率1/16。

解析： 該夫婦基因型均為Aa，他們生育子代中： 白化病aa的概率為1/4，正常AA的概率為1/4，攜帶者Aa的概率為1/2，第一胎的基因型對(duì)第二胎的基因型沒(méi)有影響，這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件。所謂獨(dú)立事件是指某一事件的發(fā)生對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這兩個(gè)事件互為獨(dú)立事件，兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于各自發(fā)生概率的乘積。所以，兩個(gè)孩子均患白化病的概率為1/4×1/4=1/16。

2.2 互斥事件概率——加法公式的應(yīng)用 例題： 人類(lèi)的多指和白化均是常染色體遺傳病，多指(T)對(duì)正常指(t)為顯性，白化(a)對(duì)正常(A)為隱性。在一家庭中，父親患多指，母親正常，生了一個(gè)白化病的兒子，問(wèn)題： (1)再生一個(gè)孩子，兩病兼患的概率1/8。(2)再生一個(gè)孩子只患其中一種遺傳病的概率1/2。(3)再生一個(gè)孩子表現(xiàn)正常的概率3/8。

解析： 根據(jù)題意，判斷父親基因型為T(mén)tAa,母親基因型ttAa。若考慮多指一種病，Tt×tt→1/2Tt(多指)，1/2tt(正常)；考慮白化病一種病，Aa×Aa→1/4AA(正常),1/2Aa(正常)，1/4aa(患病)。其子代中有三種情況： ①兩病兼患；②兩種病均不患，表現(xiàn)正常；③只患一種病(只患白化病或者只患多指)，這三種情況的概率加在一起應(yīng)是1，這三種情況為互斥事件。所謂互斥事件，是指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件?；コ馐录杏幸粋€(gè)發(fā)生的概率為它們分別發(fā)生的概率之和。

所以，(1)再生一個(gè)孩子，兩病兼患的概率為1/2×1/4=1/8。(2)再生一個(gè)孩子只患兩種遺傳病中一種病的概率，意為只患白化病或只患多指(只患白化病： 1/4患白化病×1/2不患多指=1/8；只患多指： 1/2患多指×3/4不患白化病=3/8)，這是兩個(gè)互斥事件。所以，再生一個(gè)孩子只患兩種遺傳病中的一種病的概率為兩事件之和，即1/8+3/8=1/2。(3)再生一個(gè)孩子表現(xiàn)正常的概率，一種考慮方法是： 既不患白化病又不患多指，兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，則1/2×3/4=3/8；另一種考慮方法是： 1減去兩病兼患的概率，再減去只患兩種遺傳病中一種病的概率，即1-1/8-1/2=3/8。

3 集合知識(shí)中交集、補(bǔ)集等概念在生物學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用

例題： 在一次對(duì)ABO血型的調(diào)查中，共檢驗(yàn)了4000名居民的血液，其中，1525人為A型血，1234人有抗原B，1841人無(wú)抗原，問(wèn)AB血型的人有多少？參考答案： 600人。

解析： 人類(lèi)ABO血型是由紅細(xì)胞表面的抗原決定的，A型血是指紅細(xì)胞表面含有抗原A但不含抗原B的人，B型血是指紅細(xì)胞表面含有抗原B但不含抗原A的人，AB型血即指紅細(xì)胞表面含有A、 B兩種抗原的人，O型血是指紅細(xì)胞表面無(wú)抗原A且無(wú)抗原B的人。根據(jù)題意可畫(huà)出集合圖(圖1)，其中，集合A有1525人，集合B有1234人，陰影部分為補(bǔ)集1841人，交集AB即為AB血型的人。據(jù)圖可以很方便地求出： 1525+1234+1841-4000=600(人)。

圖1 受檢驗(yàn)居民血液中血細(xì)胞表面抗原類(lèi)型示意圖

4 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建在生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，是指那些反映特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念，各種方程式和各種坐標(biāo)圖，如柱形圖、曲線(xiàn)圖。數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的內(nèi)容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現(xiàn)出來(lái)。

例題： 某種溫室大棚植物，在30℃條件下，測(cè)定其光照強(qiáng)度對(duì)光合作用速率的影響如圖2所示，圖中A點(diǎn)表示在光照強(qiáng)度為0的條件下，植物呼吸作用釋放的CO2量；B點(diǎn)表示光的補(bǔ)償點(diǎn)，是指植物在一定光照強(qiáng)度下，光合作用中吸收的CO2量等于呼吸作用釋放的CO2量；C點(diǎn)表示在D點(diǎn)的光照強(qiáng)度下，光合速率達(dá)到了最大值，即光的飽和點(diǎn)。如果該植物光合作用最適溫度為25℃,呼吸作用最適溫度為30℃。為了增產(chǎn)，生產(chǎn)人員將溫度調(diào)整到25℃，問(wèn)曲線(xiàn)中各點(diǎn)變化正確的是(A)。

A. A點(diǎn)上移，B點(diǎn)左移，C點(diǎn)右上移

B. A點(diǎn)下移，B點(diǎn)不移，C點(diǎn)右上移

C. A點(diǎn)不移，B點(diǎn)左移，C點(diǎn)不移

D. A點(diǎn)上移，B點(diǎn)右移，C點(diǎn)左下移

圖2 某植物光合速率隨光照強(qiáng)度改變而變化的示意圖

解析： 25℃為該種植物光合作用最適溫度，但低于其呼吸作用最適溫度，所以總光合速率會(huì)適當(dāng)提高，呼吸速率會(huì)相應(yīng)降低。由于凈光合速率=總光合速率-呼吸速率，所以?xún)艄夂纤俾手禃?huì)增大，所以C點(diǎn)上移且會(huì)右移；呼吸速率會(huì)相應(yīng)降低導(dǎo)致A點(diǎn)上移；要使光合作用中吸收的CO2量等于呼吸作用釋放的CO2量所需的光照強(qiáng)度更低，因此B點(diǎn)左移。故A項(xiàng)正確。

此外，在此模型中可以找到一般規(guī)律，用于快速判斷光補(bǔ)償點(diǎn)的移動(dòng)和光的飽和點(diǎn)的移動(dòng)。

除了上述數(shù)學(xué)知識(shí)外，還有很多數(shù)學(xué)知識(shí)可應(yīng)用于生物學(xué)教學(xué)中，如數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等。