淺談《初中數(shù)學(xué)習(xí)題的拓展和研究》

李俊

在課程改革不斷深入的今天，作為一名數(shù)學(xué)教師，特別是初中數(shù)學(xué)老師，我們應(yīng)該有這樣一種認(rèn)識：作業(yè)不應(yīng)是單一枯燥的文本，而應(yīng)是富有色彩，充滿情趣的，多元的，花樣的復(fù)合體。只有這樣才足以能激發(fā)學(xué)生多方面的感官體驗，在愉悅合理的情境中獲取知識。

由于數(shù)學(xué)知識嚴(yán)密的邏輯性與高度的概括性，在例、習(xí)題中，還隱藏很多沒寫明的東西。即使最簡單的例、習(xí)題里，也存在著可發(fā)掘的因素，而這些往往并不是學(xué)生們所能領(lǐng)會的。因此，就需要設(shè)計一些習(xí)題課，教師引導(dǎo)、點撥，學(xué)生進(jìn)行觀察、歸納、類比、抽象，學(xué)會解題，能夠準(zhǔn)確地判斷、決策并簡潔嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)，給學(xué)生以施展才華、發(fā)展思維，鍛煉能力的機(jī)會。因此解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，但不同的解題指導(dǎo)思想就會有不同的解題效果，養(yǎng)成對解題后仔細(xì)分析，進(jìn)行思考的習(xí)慣，這樣可以作為學(xué)生解題的一種指導(dǎo)思想。

我個人在實際教學(xué)過程中，對這些問題作過一些深思和一些嘗試，其中比較突出的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解和一題多變的訓(xùn)練。下面，我提出幾個實例來分析其引導(dǎo)過程與方法，拋磚引玉，僅供參考。

一.對習(xí)題多進(jìn)行變式訓(xùn)練

如八年級課本《等腰三角形》 中有一題

已知：如圖，在△ABC中，∠1=∠2，DE∥BA。

求證：△ADE為等腰三角形。

題干中給出大量角相等條件，故而一般思路即通過證明∠2=∠1=∠ADE來證明△ADE為等腰三角形，學(xué)生解決這個問題會比較順利，為此我做了如下變式：

變式1：已知：如圖，在△ABC中，∠1=∠2，AE=DE。

求證： DE∥BA。

本題即將原題中可逆的證明過程逆向化，在加深學(xué)生對定理的理解的同時，培養(yǎng)其逆向思維能力。題目不難，理解即可。

變式2：已知：如圖，在△ABC中，AE=DE，DE∥BA。

求證：∠1=∠2。

與上一變式相比較，本題變換了原題中另一條件以達(dá)到類似目的。

由此可見，一題多變的重點不在于增大難度，而是在于引導(dǎo)學(xué)生在相似而不全等的題干條件中辨析其相同點與不同點，而不至于一見到類似的題目就陷入思維定式，不知變通。

這個圖形在三角形和四邊形的學(xué)習(xí)中是常見的基本圖形。學(xué)生對這個圖形和結(jié)論都比較熟悉。在復(fù)習(xí)了基本圖形后，學(xué)生從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形就能解決這個問題了。或者從條件看有等腰三角形、有角平分線那么可能會出現(xiàn)平行線。

又如，北師大教材九年級上冊120頁11題：

如圖，點CD在線段AB上，△PCD為等邊三角形，△PAC∽△PDB，求∠APB的度數(shù)。

本題意在考察相似三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，而以此為基礎(chǔ)，可作以下拓展：

變式一：以上條件不變，過點D作DE∥PC，若BE：BP=1：3，DE=1，BD=2，求AC的長。

與原題相比，本題增加了大量與三角形相似有關(guān)的證明與性質(zhì)應(yīng)用。

變式二：如圖，已知△PCD為等邊三角形，∠APB=120?，求證：AC·PB=PD·AP。

與原題相比，本題難度加大，但仍是考察對同一知識點的理解程度及應(yīng)用能力。

由此看來，一題多變的基本方針在于利用不同的題干條件，來考察相同的知識點，或辨析相近的知識點。

同時，對課本習(xí)題的簡單變化也是各省市中招試題的重要出題思路。

如：北師大九年級上冊90頁習(xí)題：

如圖，Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足為D。

請指出圖中所有相似三角形。

你能得出AD2=BD·DC嗎？

變式：條件同上，求證：

△ABC∽△DBA

AB2=BD·BC

以上兩題較為基礎(chǔ)，且具引導(dǎo)性。

（2016。株洲）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90?，CD⊥AB。

寫出圖中所有相似三角形，并選擇一對加以證明。

求證：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD。

利用（2）中結(jié)論證明勾股定理AC2+BC2=AB2。

而本題中，除基礎(chǔ)部分外，第（3）問更具特色，考察學(xué)生的創(chuàng)新能力與思辨能力，很值得提倡。

由原題得出的結(jié)論，學(xué)生很容易通過類比推出變式一、二的答案，然而，如不仔細(xì)思考，反而會被慣性思維束縛，在做變式三時得出“三個三角形相似”的錯誤結(jié)論。

總的來說，一題多變的重點不在于增大難度，而在于利用不同而相似的題干條件來考察學(xué)生的觀察、歸納、類比、辨析能力，并在教師的引導(dǎo)、點撥下避免慣性思維的束縛，養(yǎng)成對解題后仔細(xì)分析，進(jìn)行思考的習(xí)慣。

二、對習(xí)題多進(jìn)行一題多解

仍然在等腰三角形問題中，有這樣一題： 如圖，已知D、E在AC上，AB=AC，AD=AE，

求證：BD=CE。

我讓同學(xué)們充分發(fā)揮，集思廣益，特總結(jié)了一下幾種方法：

思路與解法一：從△ABC和△ADE是等腰三角形這一角度出發(fā)，利用"等腰三角形底邊上的三線合一"這一重要性質(zhì)，便得三種證法，即過點A作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是"等腰三角形底邊上的三線合一"，證得BH=CH。

思路與解法二：從證線段相等常用三角形全等這一角度出發(fā)，本題可設(shè)法證△ABD≌△ACE或證△ABE≌△ACD，于是又得兩種證法，而證這兩對三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS進(jìn)行證明，所以實際是六種證法。其通性是"全等三角形對應(yīng)邊相等"。

思路與解法三：從等腰三角形的軸對稱性這一角度出發(fā)，于是用疊合法可證。

以上是我在教學(xué)中總結(jié)的一點心得，通過習(xí)題可以使學(xué)生加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學(xué)知識，而通過適當(dāng)?shù)淖兪揭?、變式?xùn)練，一題多解，以期達(dá)到夯實雙基、舉一反三之效，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力和發(fā)散思維能力。