利用Mathematica軟件研究聲波在介質(zhì)傳播中量的變化①

， ， ，

(1.佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007；2.大慶中學(xué)，黑龍江 大慶 163000;3.佳木斯大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

Mathematica軟件是美國(guó)Wolfram Research公司開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，具有數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖像處理的強(qiáng)大功能，使用非常方便。它具有豐富的內(nèi)部函數(shù)，僅需輸入簡(jiǎn)單的命令就可以快速地進(jìn)行解方程、微分、積分和解微分方程等計(jì)算。Mathematica軟件是目前世界上使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一，Mathematica軟件的基本概念是用一個(gè)連貫的和統(tǒng)一的方法創(chuàng)造一個(gè)能適用于科技計(jì)算各個(gè)方面的軟件系統(tǒng)。利用Mathematica軟件可以進(jìn)行一些復(fù)雜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，也可以將一些抽象的物理規(guī)律進(jìn)行一種可視化的呈現(xiàn)。利用Mathematica軟件展現(xiàn)聲波在不同介質(zhì)中傳播頻率與波矢之間的關(guān)系，以及本征振動(dòng)各量之間的關(guān)系，利于探究其物理規(guī)律。

1 聲波在介質(zhì)中的傳播

考慮速度為v的均勻流，稱靜止坐標(biāo)系x,y,z為參考系K，引入相對(duì)于參考系K以速度v運(yùn)動(dòng)的參考系K'，其坐標(biāo)為x',y',z'。在參考系K'中，流體是靜止的，其中的單色波具有通常的形式：

φ=const·ei(k·r'-kct)

(1)

參考系K'中徑矢r'與參考系K中的徑矢r之間的關(guān)系為r'=r-vt。所以，在靜止的坐標(biāo)系中，波的形式為：

φ=const·ei[k·r-(kc+k·v)t]

(2)

在指數(shù)中，t的系數(shù)是波的頻率ω。因此，運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中頻率與波矢k的關(guān)系為：

ω=ck+v·k

(3)

根據(jù)上述公式的推理得出化簡(jiǎn)最終的結(jié)果，分別對(duì)氣體、液體這兩種狀態(tài)的物質(zhì)進(jìn)行研究，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中頻率與波矢k之間的關(guān)系圖，設(shè)運(yùn)動(dòng)介質(zhì)的速度均為10m/s，以標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的空氣、蒸餾水為例，已知15℃下空氣中的聲速340m/s，25℃下空氣中的聲速為346m/s，25℃下蒸餾水中的聲速為1497m/s。進(jìn)入Mathematica軟件進(jìn)行程序編寫(xiě)，打開(kāi)Mathematica程序，進(jìn)入程序主窗口。

輸入編程程序進(jìn)行編程：

u = 10;

c = 340;

k =5;

f[x_] = c*k + u*x

Plot[f[t], {t, 0, 100}, AxesLabel -> {"rad/m", "Hz"}]

最終得結(jié)果如圖1：

再輸入25℃下空氣中的聲速，進(jìn)行編程，結(jié)果如圖2：

最后輸入25℃下蒸餾水中的聲速，進(jìn)行編程，結(jié)果如圖3：

2 本征振動(dòng)

研究一種平面駐聲波，其中所有的量都僅僅是一個(gè)坐標(biāo)(例如x)以及時(shí)間的函數(shù)，若把方程(4)

(4)

圖1 15℃下空氣中聲波頻率與波矢關(guān)系圖

圖2 25℃下空氣中聲波頻率與波矢關(guān)系圖

圖3 25℃下蒸餾水中聲波頻率與波矢關(guān)系圖

的通解寫(xiě)為(5)

(5)

的形式，則有(6)

(6)

適當(dāng)選擇坐標(biāo)原點(diǎn)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)，就可以使α和β為零，于是就有(7)

(7)

對(duì)于波中速度和壓強(qiáng)，我們就可以得出(8)

(8)

以空氣、蒸餾水、玻璃中的聲波為例，探究波速和位置之間的關(guān)系，規(guī)定聲源的振幅為1，頻率為50Hz。

首先是在空氣中，已知在室溫293K、壓強(qiáng)1atm情況下，空氣中聲速為346m/s，輸入主要編程程序：

c = 346;

w = 50;

a = 1;

f[x_, t_] = -a*w/c*cos[w*t]*sin[w/c*x]

-(25/173) cos[50 t] sin[(25 x)/173]

Plot3D[-(25/173) cos[50 y] sin[(25 x)/173], {x, 0, 100 [Pi]}, {y, 0, 100}, AxesLabel -> {"位置", "時(shí)間", "速度"}]

輸入Show[%32, ViewPoint -> Left]，得到圖4：

圖4 空氣中波速與位置關(guān)系側(cè)視圖

然后是在蒸餾水中，已知在室溫293K、壓強(qiáng)1atm情況下，蒸餾水中聲速為1497m/s，輸入主要編程程序：

c = 1497;

w = 50;

a = 1;

f[x_, t_] = -a*w/c*cos[w*t]*Sin[w/c*x]

-((50 cos[50 t] sin[(50 x)/1497])/1497)

Plot3D[-((50 cos[50 y] sin[(50 x)/1497])/1497), {x, 0, 100 [Pi]}, {y，0, 100}, AxesLabel -> {"位置", "時(shí)間", "速度"}]

輸入Show[%42, ViewPoint -> Front]，得到圖5：

最后是在玻璃中，已知在室溫293K、壓強(qiáng)1atm情況下，玻璃中聲速為2730m/s，輸入主要編程程序：

c = 2730;

w = 50;

a = 1;

f[x_, t_] = -a*w/c*cos[w*t]*Sin[w/c*x]

-(5/273) cos[50 t] sin[(5 x)/273]

Plot3D[-(5/273) Cos[50 y] Sin[(5 x)/273], {x, 0, 100 [Pi]}, {y, 0, 100}, AxesLabel -> {"位置", "時(shí)間", "速度"}]

輸入Show[%42, ViewPoint -> Front]，得到圖6：

圖5 蒸餾水中波速與位置關(guān)系正視圖

圖6 玻璃中波速與位置關(guān)系正視圖

而對(duì)于波中的壓強(qiáng)，就可以得出(9)

(9)

先是在空氣中，已知在室溫293K、壓強(qiáng)1atm情況下，空氣中聲速為346m/s，密度為0.01205g/cm3,輸入主要編程程序：

w = 50;

p = 0.01205;

a = 1;

c = 346;

f[x_, t_] = p*a*w*sin[w*t]*Cos[w/(c*x)]

0.6025 cos[25/(173 x)] sin[50 t]

Plot3D[0.6025 cos[25/(173 x)] sin[50 y], {x, 0, 100 [Pi]}, {y, 0, 100}, AxesLabel -> {"位置", "時(shí)間", "壓強(qiáng)"}]

輸入Show[%15, ViewPoint -> Left，得到圖7：

然后是在蒸餾水中，已知在室溫293K、壓強(qiáng)1atm情況下，蒸餾水中聲速為1497m/s，密度為1g/cm3,輸入主要編程程序：

w = 50;

p = 1;

a = 1;

c = 1497;

f[x_, t_] = p*a*w*sin[w*t]*cos[w/(c*x)]

50 cos[50/(1497 x)] sin[50 t]

Plot3D[50 cos[50/(1497 x)] Sin[50 y], {x, 0, 100 [Pi]}, {y, 0, 100}, AxesLabel -> {"位置", "時(shí)間", "壓強(qiáng)"}]

輸入Show[%15, ViewPoint -> Left]，得到圖8：

圖7 空氣中壓強(qiáng)與位置關(guān)系側(cè)視圖

圖8 蒸餾水中壓強(qiáng)與位置關(guān)系側(cè)視圖

圖9 玻璃中壓強(qiáng)與位置關(guān)系側(cè)視圖

最后是在玻璃中，已知在室溫293K、壓強(qiáng)1atm情況下，玻璃中聲速為2730m/s，密度為2.7g/cm3,輸入主要編程程序：

w = 50;

p = 2.7;

a = 1;

c = 2730;

f[x_, t_] = p*a*w*sin[w*t]*cos[w/(c*x)]

135.cos[5/(273 x)] Sin[50 t]

Plot3D[135.` cos[5/(273 x)] Sin[50 y], {x, 0, 100 [Pi]}, {y, 0, 10}, AxesLabel -> {"位置", "時(shí)間", "壓強(qiáng)"}]

輸入Show[%15, ViewPoint ->Left]，得到圖9:

3結(jié) 論

(1)相同波矢下，同種物質(zhì)溫度高的比溫度低的聲波頻率大；相同波矢下,溫度相同，蒸餾水的聲波頻率比空氣的聲波頻率大。