3D打印機運動學(xué)仿真分析①

(安徽機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

3D打印技術(shù)(3D print technology)，是近幾年來制造領(lǐng)域迅速展開和推廣的一個重大技術(shù)成果，是快速成型技術(shù)(Rapid prototyping manufacturing, RPM)的一種。它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料、樹脂等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)。目前，3D打印技術(shù)可廣泛用于醫(yī)療、航空航天、工業(yè)制造、汽車、消費品等領(lǐng)域。

并聯(lián)臂式3D打印機結(jié)構(gòu)簡單、傳動效率高，速度快，打印過程平穩(wěn)，精度高，易于實現(xiàn)實時控制以及打印空間大等優(yōu)點。

1 并聯(lián)臂式3D打印機系統(tǒng)描述

圖1為某品牌三角形并聯(lián)臂[1]式3D打印機結(jié)構(gòu)在典型工作位置的三維造型，其打印噴嘴處于機構(gòu)中心位置。該3D打印機結(jié)構(gòu)主要由鋁合金橫梁、并聯(lián)臂、導(dǎo)軌、滑塊、工作臺面、底座橫梁、送料步進電機、冷卻風(fēng)扇以及打印噴頭組成。其中三組并聯(lián)臂的一端通過球面副連接到對應(yīng)滑塊上，滑塊通過電機驅(qū)動的同步帶在導(dǎo)軌上進行上下運動。三組并聯(lián)臂的另一端通過球面副連接到打印噴頭上，并聯(lián)臂是以三組平行四邊形機構(gòu)與移動副相聯(lián)。該3D打印機工作空間大，移動速度快，通過三個步進電動機驅(qū)動三個同步帶，再由同步帶帶動導(dǎo)軌組件三個滑塊上下位置豎直移動，三個滑塊協(xié)調(diào)配合讓打印噴頭實現(xiàn)3D實體的逐層打印。

該種并聯(lián)臂式3D打印機使用了虎克鉸作為傳動運動副連接著并聯(lián)臂與滑塊和打印噴頭，其優(yōu)點是自由度高，傳動效率高，但存在著易磨損和難修理的缺點。因此該種并聯(lián)臂式3D打印機要求虎克鉸具有一定的耐磨損能力。從該并聯(lián)臂系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及運動學(xué)計算著手，使用ProE中的運動學(xué)仿真以及ANSYS Workbench中的動力學(xué)仿真，分析計算了該系統(tǒng)打印噴頭工作狀態(tài)下的位置、速度以及加速度數(shù)值結(jié)果，同時計算了該工作狀態(tài)下虎克鉸上最大受力載荷。根據(jù)阿查得線磨損率計算公式，分析推算了該系統(tǒng)中虎克鉸的線磨損率。

根據(jù)打印機各結(jié)構(gòu)的功能要求，把送料步進電動機、冷卻風(fēng)扇和工作臺面等簡化，建立該并聯(lián)臂式3D打印機的結(jié)構(gòu)模型簡圖如圖2所示：

2 機構(gòu)自由度的計算

在空間機構(gòu)中，每個完全不受約束的物體都有6個自由度，每個運動副都有其約束。本結(jié)構(gòu)中，有1個機架，3個滑塊，6根連桿，1個打印噴頭，共有11個構(gòu)件。3個滑塊有3個移動副，3個自由度；連桿與滑塊、連桿與打印噴頭間共有12個球面副，36個自由度，故該3D打印機共有15個運動副，39個自由度。根據(jù)并聯(lián)機床Kutzbach-Grubler[2]公式進行自由度計算

圖1 某并聯(lián)臂型3D打印機結(jié)構(gòu)

圖2 某并聯(lián)臂型3D打印機簡化結(jié)構(gòu)

(1)

式中:n為構(gòu)件總數(shù)；g為運動副總數(shù)；fi為各運動副的自由度數(shù)

其中，由于連桿兩端的球面副均繞自身軸線運動，故此處有6個局部自由度。故由公式1推導(dǎo)出此結(jié)構(gòu)的自由度計算公式如下所示：

(2)

式中fp為局部自由度。

把各個數(shù)值代入公式(2)后知，自由度F′ =3，即本3D打印機的自由度數(shù)為3，正好與本3D打印機的三個步進電機驅(qū)動相符合。

3 運動學(xué)正反解分析

該3D打印機的底座和頂部橫梁結(jié)構(gòu)均為等邊三角形，導(dǎo)軌均平行且垂直布置，打印噴頭隨著滑塊的移動而運動，打印噴頭在空間位置上可以達到任意位姿，打印噴頭在連桿作用下始終處于豎直位置，故可把打印噴頭看成一個可以在空間任意位置移動的動平臺。根據(jù)打印機的結(jié)構(gòu)，建立該并聯(lián)臂式3D打印機的坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 某并聯(lián)臂型3D打印機的空間坐標(biāo)系

假設(shè)某型3D打印機的頂座橫梁正三邊形的內(nèi)接圓半徑為R，動平臺的內(nèi)接圓半徑為r，并聯(lián)臂連桿的長度為L，以打印機頂座橫梁正三邊形的內(nèi)接圓中心點為坐標(biāo)原點O1，建立坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1，假設(shè)各導(dǎo)軌運動到圖3所示位置，A1B1、A2B2、A3B3的高度分別為h1、h2、h3，打印機噴頭的坐標(biāo)為O-XYZ，打印機噴頭的位置隨著各導(dǎo)軌運動而發(fā)生改變。假設(shè)滑塊運動的位移AiBi=[0,0,li]T(i=1,2,3),建立的支鏈簡圖如圖4所示：

圖4 某并聯(lián)臂型3D打印機的支鏈簡圖

(4)

(5)

根據(jù)空間向量的運算知，向量O1Bi=O1Ai+AiBi(i=1,2,3),則

(6)

動平臺相對于頂座橫梁移動的坐標(biāo)為(x,y,z)，即O1O=[x,y,z]T,向量O1Ci=O1O+OCi，則

(7)

由于三組并聯(lián)臂的臂長固定，則BiCi2=l2，代入坐標(biāo)后得，

(8)

設(shè)R-r=c，由于靜平臺在上，動平臺在下，故li>z，解方程(8)得導(dǎo)軌運動方程的反解方程如下所示：

(9)

結(jié)構(gòu)中運動學(xué)反解是在打印機頂座橫梁中心點為定坐標(biāo)系的坐標(biāo)，求解三組導(dǎo)軌滑塊的位置。并聯(lián)機構(gòu)的正解是用解析法或數(shù)值法解多元方程組，從而得到打印機噴頭動平臺的位姿參數(shù)。通過消元法解方程組，最后求得動平臺打印噴頭的位姿參數(shù)。

(10)

其中，S1=N12+N42+1,S2=N1N2+N3N4-CN4-2l1，S3=N22+N32-2cN3-M1;

M1=l2-l12-c2，M2=l2-l22-c2

M3=l2-l32-c2

圖5 3D打印機簡化模型

圖6 添加三組滑塊驅(qū)動函數(shù)

4 運動學(xué)仿真分析

機構(gòu)仿真模塊是PRO/E軟件的功能模塊之一，可用于裝配體的運動學(xué)仿真與分析，可記錄運動件的軌跡。先將3D打印機模型簡化，加入適當(dāng)約束條件，在PRO/E中進行模擬仿真。在三組滑塊與導(dǎo)軌間添加移動副約束，連桿與滑塊、打印噴頭間添加球面副進行約束。簡化后的模型如圖5，圖6所示：

選定一個平面，即z坐標(biāo)確定，z=-50mm，則x=50sin(t1),y=50cos(t1),由于PRO/E中數(shù)據(jù)是相對于起點時間某時某刻的各關(guān)節(jié)的角度值，故取x=50sin(180t/π),y=50cos(180t/π),其中t為時間，單位為s。在分析中，設(shè)定l=213mm,R-r=80mm,把所有數(shù)值代入公式(9)，則

(11)

PRO/E軟件中應(yīng)用程序可實現(xiàn)機構(gòu)仿真功能，打印噴頭的運動由三組滑塊的上下運動決定。在PRO/E軟件中，在三組滑塊上添加三個伺服電動機，滑塊運動方向為伺服電機的運動軸方向，通過對三個伺服電動機定義位置添加公式(11)中三組驅(qū)動函數(shù)。添加函數(shù)如下圖7所示。

圖7 滑塊L1、L2、L3的驅(qū)動函數(shù)

打開機構(gòu)分析，分別設(shè)置分析類型為位置和運動學(xué)，設(shè)置開始時間為0s，終止時間為10s，幀頻為10。通過分析，得到動平臺在三個方向上的位置、速度和加速度運動軌跡如圖8所示。

圖8 3D打印機的動平臺位置、速度和加速度軌跡圖

圖9 虎克鉸最大支反力

5 動態(tài)學(xué)仿真及虎克鉸磨損分析

將3D模型導(dǎo)入有限元軟件ANEYS Workbench的Rigid Dynamic分析模塊中，對構(gòu)件定義其密度屬性并添加重力加速度。在三組滑塊加上三組位置驅(qū)動函數(shù)，對打印機進行動態(tài)學(xué)仿真模擬，計算得到12個虎克鉸處最大的支反力為2.057N。

該打印機中虎克鉸自由轉(zhuǎn)動，屬于較高精度的間隙配合，其球徑為Φ6(-0.01/-0.018)，球孔直徑為Φ6(+0.012/0)?；⒖算q在工作過程中自由轉(zhuǎn)動，兩球面接觸面間在力的載荷作用下存在接觸壓力，球與凹球面間的接觸應(yīng)力計算公式如下：

上式中，F(xiàn)為虎克鉸支反力；E為彈性模量；R1為球面半徑；R2為凹球面半徑

根據(jù)上式可以計算出該虎克鉸應(yīng)力圓上最大接觸壓力P。由公式可知，當(dāng)R2最大，R1最小時，其接觸壓力最大。此時R2=3.006mm，R1=2.991mm.根據(jù)動態(tài)學(xué)仿真結(jié)果可知F=2.057N。該虎克鉸使用了304不銹鋼材料，其材料彈性模量E=2.1×105N/mm2=2.1×105MPa，代入公式(12)計算得到接觸壓力P=21.36 MPa。

打印機在工作過程中虎克鉸的轉(zhuǎn)動頻繁，轉(zhuǎn)動過程中接觸面間面積較小，易磨損，可近似用線接觸磨損模擬。根據(jù)文獻[3]可得線磨損度表達公式如下：

(13)

其中，dh/ds表示線磨損度，即相對滑行ds的距離，在其垂直方向上磨損的厚度dh；K為磨損系數(shù)，與磨料和被磨材料的硬度、表面情況等相關(guān)；P為表面應(yīng)力；H為材料的硬度。根據(jù)計算所得的P=21.36MPa，硬度查詢材料標(biāo)準(zhǔn)可得H=210MPa，該虎克鉸是鋼-鋼配合，根據(jù)文獻[4]可知磨損系數(shù)K≈10-5,代入計算得到線磨損度dh/ds=1.017×10-6。

6 結(jié) 語

針對并聯(lián)臂式3D打印機，對其結(jié)構(gòu)和自由度進行了分析計算，得到該3D打印機是需要三個驅(qū)動的三自由度系統(tǒng)。并建立了打印機的空間坐標(biāo)系，采用空間向量的有向性，運用數(shù)值分析法推導(dǎo)出了并聯(lián)機床的正反解運動方程，為并聯(lián)機構(gòu)速度、加速度、誤差分析等后續(xù)的研究提供了一定的理論依據(jù)。機構(gòu)直接使用PRO/E軟件中的機構(gòu)分析模塊，即可完成對三組并聯(lián)臂和動平臺打印噴頭的位置和運動仿真分析，驗證了運動學(xué)方程正反解的正確性，并說明了該機構(gòu)具有良好的運動特性和運動平穩(wěn)性。最后使用有限元分析軟件對打印機進行dynalymic動態(tài)仿真模擬，求得虎克鉸的最大支反力，并通過計算知虎克鉸工作時的線磨損度很小，為預(yù)估該3D打印機的壽命提供了一定的理論依據(jù)。