多角度構(gòu)建思路，多途徑探究函數(shù)
——以一道反比例函數(shù)綜合題為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星澄學(xué)校 呂 琴

一、試題呈現(xiàn)，解題分析

1.試題呈現(xiàn)

已知一次函數(shù)y=x－2，設(shè)其與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2），如圖1所示.

圖1

（1）試求反比例函數(shù)的解析式；

（2）將一次函數(shù)的圖像向上平移幾個單位長度，與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)C，若組成的三角形ABC的面積為18，試求平移長度n的值.

2.解題分析

試題的第（1）問是較為簡單的基礎(chǔ)題，點(diǎn)B為兩函數(shù)的交點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)必然分別滿足兩函數(shù)的解析式，可以采用“一次函數(shù)解析式→點(diǎn)坐標(biāo)→反比例函數(shù)解析式”的解題思路，即首先根據(jù)一次函數(shù)解析式來確定點(diǎn)B的坐標(biāo)值，再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，則可以確定k的值，實(shí)現(xiàn)求解，解得的解析式為y=

對于試題的第（2）問，由于條件簡單，存在一定的難度，需要對題目中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.已知的關(guān)鍵條件是△ABC的面積為18，求一次函數(shù)圖像的平移距離，實(shí)際上就是求其解析式，確定點(diǎn)C的縱坐標(biāo).求解過程需要建立起三角形面積與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，則需要利用面積公式，將面積值轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點(diǎn)的具體坐標(biāo)，需要用到數(shù)學(xué)上的構(gòu)造和轉(zhuǎn)化思想，下面進(jìn)行思路探究.

二、思路構(gòu)建，多解探究

針對本題目的第（2）小問進(jìn)行思路構(gòu)建，探究多解途徑，下面將從三角形不同構(gòu)建方式的角度進(jìn)行探討，并對解法進(jìn)行相應(yīng)的評析.

思路1.構(gòu)建圖形的面積和差

通過觀察可知△ABC是一般的三角形，如果直接利用三角形底和高求面積的方式很難求解，可以考慮構(gòu)建特殊圖形，通過幾個特殊圖形之間的面積加減來表示△ABC的面積，進(jìn)而確定直線的平移單位長度.可以首先過點(diǎn)C作y軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)D，再過點(diǎn)B作y軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，如圖2所示.由圖像可知，△ABC的面積就等于梯形BCDE的面積加上△ABE的面積再減去△ACD的面積，即S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE－S△ACD，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分別求出規(guī)則圖形的面積，即可建立面積與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，就可求出直線的平移長度.

圖2

根據(jù)上述構(gòu)建思路，設(shè)一次函數(shù)平移后的解析式為y=x+b，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，a+b），則S（DC+EB）·DE·EB·AE，·CD·AD，其中DC=a，EB=4，DE=a+b-2，AE=4，AD=2+a+b，則×（a+4）×（a+b-2）+×4×4-×a×（2+a+b）=18，解得b=7，則一次函數(shù)平移后的解析式為y=x+7，平移長度n=7+2=9.

評析：初中階段對于一般圖形的處理就是通過分割、補(bǔ)充的方式構(gòu)建特殊的基本圖形，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為幾個特殊圖形的拼接圖形，此解法尤其在求解一般圖形的面積時(shí)更為實(shí)用.上述求解思路實(shí)際上就是建立面與點(diǎn)、線之間的關(guān)系，這三個元素之間是依靠點(diǎn)的坐標(biāo)來進(jìn)行銜接的，是構(gòu)造思想的應(yīng)用.

思路2.構(gòu)建公共底的面積之和△ABC為一般三角形，同樣采用轉(zhuǎn)化為特殊圖形的方式，考慮到具有共同底的兩個三角形在求解面積時(shí)較為簡捷，即可以直接表示為底與兩個三角形的高之和的乘積，可以將△ABC化為具有共同底的兩個規(guī)則三角形.過點(diǎn)C作y軸的平行線，使其與線段AB交于點(diǎn)E，如圖3所示，則△ABC的面積就等于△ACE的面積與△BCE的面積之和，即S△ABC=S△AEC+S△BEC，且兩三角形具有公共邊CE，可以作為公共底來求面積.求解時(shí)只需設(shè)出點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)，表示出公共底的兩三角形面積，就可建立面積與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)求解.

圖3

根據(jù)上述構(gòu)建思路，由于點(diǎn)C和點(diǎn)E分別位于反比例函數(shù)、一次函數(shù)上，故滿足對應(yīng)的解析式，分別設(shè)其坐標(biāo)，C（a，），E（a，a-2），S=S+S，則S=·△ABC△AEC△BEC△AECCE·+·CE·h2=1 2·CE·xB，即=18，解得a=1或a=-8，由于點(diǎn)C位于第一象限，則a=1，平移后的直線解析式為y=x+7，平移長度n=7+2=9.

評析：上述在對一般三角形進(jìn)行分割處理時(shí)，考慮到同底三角形面積計(jì)算的便捷性，將其分割為兩個具有公共邊的三角形，則直接構(gòu)建了三角形面積與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，該思路是三角形分割轉(zhuǎn)化的常用思路，在中學(xué)的解析幾何中應(yīng)用較多，可以極大地精化解題步驟.

思路3.利用等面積轉(zhuǎn)化三角形題目給出了△ABC面積的值，但由于三角形較為一般，其邊長沒有位于坐標(biāo)軸上，難以直接利用面積公式求解.考慮到求解過程只與三角形的面積大小相關(guān)，而與三角形的其他性質(zhì)無關(guān)，因此對三角形進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化并不會影響最終的結(jié)果，故可以構(gòu)建一個存在一邊位于坐標(biāo)軸上的等面積三角形.由于一次函數(shù)圖像進(jìn)行了平移，設(shè)平移后的一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則有CD∥AB，可以根據(jù)同底等高構(gòu)建等面積三角形，連接BD，如圖4，則△ABC和△ABD具有相同的底AB，且底上的高相等，即面積相等，表示△ABC的面積就可以通過構(gòu)建△ABD的面積來實(shí)現(xiàn).

根據(jù)上述構(gòu)建思路可知S△ABC=S△ABD=18，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，則BE就是△ABD底AD上的高，即S·AD·BE，其中BE=4.設(shè)點(diǎn)D（0，a），則AD=a+2，有×4×（a+2）=18，解得a=7，即D（0，7），平移后的一次函數(shù)解析式為y=x+7，所以一次函數(shù)向上平移的長度n=7+2=9.

圖4

評析：該思路的依據(jù)是等面積轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)建新三角形使得面積關(guān)系建立變得極為容易.需要注意的是由于該構(gòu)建思想基于的僅僅是面積相等，忽略了三角形的其他性質(zhì)，因此這樣的構(gòu)建方式只能研究三角形的面積問題，切不可將其用于性質(zhì)研究.

思路4.利用平行四邊形的基本性質(zhì)

在直角坐標(biāo)系中存在兩條互相平行的直線，即平移前后的一次函數(shù)圖像.而需要研究的△ABC的一邊AB位于原直線上，可以考慮依托兩條直線和坐標(biāo)y軸來構(gòu)建一個平行四邊形，設(shè)平移后的一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM∥AN，與平移后直線的交點(diǎn)為M，如圖5，結(jié)合平移性質(zhì)可知，MN∥AB，則四邊形ABMN為平行四邊形，分析可知其面積應(yīng)為△ABC面積的兩倍，則可以通過建立與平行四邊形ABMN的面積關(guān)系來求解.

根據(jù)上述構(gòu)建的思路，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，可知，S四邊形ABMN=2S△ABC，而S四邊形ABMN=AN·BE，設(shè)點(diǎn)N（0，a），則AN=2+a，從而有4×（a+2）=36，解得a=7，后續(xù)求解同上.

評析：該解法思路是構(gòu)建一個面積較為特殊的平行四邊形，然后研究其與三角形的面積關(guān)系，涉及到了平行四邊形的性質(zhì)，與等面積轉(zhuǎn)化相比，都是建立了新圖形與原三角形的面積關(guān)系，所不同的是，平行四邊形性質(zhì)的加入，使得分析過程更為清晰.

圖5

三、解后反思，教學(xué)思考

1.回歸教材內(nèi)容，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識

本題目詳細(xì)講解了解函數(shù)題的四種構(gòu)建思路，綜合來看，思路為：首先構(gòu)建三角形面積與坐標(biāo)值之間的關(guān)系，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解直線平移后的解析式，最后確定直線向上的平移量.可以說綜合題實(shí)際上就是各個小問題的有機(jī)結(jié)合，解題過程就是逐個破解小問題.解題時(shí)涉及到的內(nèi)容包括：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)確定、函數(shù)解析式的求解、三角形和四邊形的面積計(jì)算以及相關(guān)圖形的基本性質(zhì)等.因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生回歸教材基礎(chǔ)，充分掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，使學(xué)生達(dá)到理解、掌握、活用知識的境界.

2.挖掘問題本質(zhì)，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)方法

雖然上述的解題思路有所不同，但都是向著一個方向進(jìn)行的構(gòu)建轉(zhuǎn)化，即建立圖形面積與坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解，這是求解的本質(zhì)，其中涉及到的構(gòu)建轉(zhuǎn)化方法都是為了建立起條件與問題之間的聯(lián)系.需要指出的是求解的核心就是面積法和待定系數(shù)法，所有的解法都是在上述兩種方法基礎(chǔ)上開展的.因此，在學(xué)習(xí)解題時(shí)，除了需要把握問題本質(zhì)外，還需要對基礎(chǔ)方法進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，理解方法的精髓，掌握方法的變形方式，靈活變形，合理選取.

3.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，提升思維能力

本題的四種解法涉及到了數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、方程思想等.數(shù)形結(jié)合的方式使得問題的分析更為準(zhǔn)確、具體；而基于構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想開展的思路探究，使得解題過程更具有創(chuàng)造性、多樣性和靈活性；最后的方程思想是指導(dǎo)數(shù)學(xué)關(guān)系建立的核心思想，是整個解題框架構(gòu)建的基礎(chǔ).整個解題的分析過程都滲透著多種數(shù)學(xué)思想方法，充分體現(xiàn)了思想方法解題的優(yōu)越性，學(xué)習(xí)和使用思想方法，不僅可以提升學(xué)生的解題能力，更重要的是在這個過程中能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性和廣闊性，而后者對于學(xué)生思維品質(zhì)的養(yǎng)成起著至關(guān)重要的作用.

四、寫在最后

函數(shù)綜合題的解法有很多，雖解題思路構(gòu)建不同，但都是對問題的一種恒等的轉(zhuǎn)化變形，都是為了將問題轉(zhuǎn)化為較為直觀、具體的形式，是構(gòu)建轉(zhuǎn)化思想解題應(yīng)用的充分體現(xiàn).在探索問題的解法時(shí)要立足問題的條件與結(jié)論，通過構(gòu)建兩者的聯(lián)系來獲得解題的思路，不應(yīng)拘于固定的形式，要大膽猜想，合理求證，結(jié)合感性認(rèn)識與理性思維為一體，實(shí)現(xiàn)問題的高效求解.