例談對(duì)稱性法

王林

《數(shù)學(xué)》七年級(jí)北師大版頁有一道題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？

分析：本題所用的方法是找到A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)后，利用兩點(diǎn)之間線段最短，連接BA1交街道于P，此時(shí)AP+BP最短.同樣的方法找B的對(duì)稱點(diǎn)也是一樣的.這種方法我們可以歸納為：對(duì)稱性法.

在我們學(xué)習(xí)的過程中，這樣的問題通常有以下的六種變式拓展：

一、直接求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的最小值.

例1、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)定點(diǎn)，且BE=10，EC=14，點(diǎn)P是BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則求：PE+PC的最小值.

解：C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)A，連接AE交BD于P，連接PC，此時(shí)PE+PC最小，

求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

例2、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，-3）、B（4，-1），若

P（，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)=__________時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小.

解：取A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（2，3），連接交軸于P，連接PA，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，易得的直線為，可得=.

三、求當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3、由例2的已知條件不變，若C（，0），D（+3，0）是x軸上兩動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)=______，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最小.

解：平移CD到BE，此時(shí)E（1，-1），取E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)（1，1），連接交軸于C，連接CE，過B作CE的平行線交軸于D，此時(shí)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最小.易得AE1的直線方程為，得.

四、求當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)為最小值時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

例4、在直角坐標(biāo)系中，已知：兩點(diǎn)A（-8，3），B（-4，5），以及兩動(dòng)點(diǎn)C（0，n），D（m，0），當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，則m=__________，n=_____________.

解：取A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（-8，-3），B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（4，5），連接交y軸于C，交軸于D，連接BC，AD，此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，易得的直線方程為，得.

五、求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的線段和的最小值.

例5、在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45?，BD平分∠ABC，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為____________.

解：過C作BD交AB于，此時(shí)C與關(guān)于BD對(duì)稱，過作N⊥BC于N，連接CM，此時(shí)利用垂線段最短，可得CM+MN最小，.

六、求兩條線段的差的最大值.

例6、已知：A（2，3，）B（5，-2），在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大，則P的坐標(biāo)為__________.

解：取B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB1交x軸于P，若分別在P的左，右兩邊，則一定有，只有當(dāng)P在直線AB1上，此時(shí)有，這時(shí)最大，可得AB1的方程為，

P（11，0）.

即時(shí)練習(xí)：

（一）如圖，在五邊形ABCDE中，已知∠BAE=120?，∠B=∠E=90?，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M、N，若要使△AMN的周長(zhǎng)為最小值時(shí)，則△AMN的最小周長(zhǎng)為________.

（二）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知M（0，1），E（，0），F(xiàn)（+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，△PCM是以CM為底的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________；當(dāng)=_______時(shí)，四邊形PMEF的周長(zhǎng)最小.

（三）菱形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B（2，0），∠DOB=60°，點(diǎn)P是對(duì)角線OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E（0，﹣1），當(dāng)EP+BP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____________ .

（四）在平面直角坐標(biāo)系中，x軸上的動(dòng)點(diǎn)M到P（5，5），Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么MP+MQ取最小值時(shí)，則：M的坐標(biāo)是_____________.

（五）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.

1.求反比例函數(shù)的解析式；

2.如果為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在軸上有一點(diǎn)，使與的差最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

即時(shí)訓(xùn)練答案：1、42、3、 4、M（，0）

（六）1.反比例函數(shù)的解析式為

2.點(diǎn)為（，）