2017年全國(guó)卷Ⅱ理科23題的多解及推廣*

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1.試題及評(píng)價(jià)

試題(2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2，證明：

(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4；

(Ⅱ)a+b≤2.

試題簡(jiǎn)評(píng)：試題具有一定的難度、深度和廣度，呈現(xiàn)十大亮點(diǎn)：形式優(yōu)美、構(gòu)思巧妙、敘述簡(jiǎn)潔、通俗易懂、不偏不怪、解法多樣、內(nèi)涵豐富、數(shù)學(xué)味濃、不設(shè)陷阱、可一般化.這些亮點(diǎn)完全包含了數(shù)學(xué)家匈菲爾德在1994年提出一道好的數(shù)學(xué)題應(yīng)具備五個(gè)要求：“容易接受的、一題多解、蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想、不故意設(shè)陷阱、可推廣和一般化.”因此，該試題是一道好的高考試題.

2.解法深究

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”．美國(guó)數(shù)學(xué)家P.R.Halmos指出“數(shù)學(xué)家存在的主要理由是解問題，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”．在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，解決問題不僅是數(shù)學(xué)研究的目標(biāo)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)活動(dòng)的最基本形式和主要內(nèi)容.正如G.Bolya在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中所說“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題．”由此可見，解題研究在數(shù)學(xué)活動(dòng)中占有十分重要地位．本文案例是解題研究的良好素材，解答視角寬，方法多樣，能幫助學(xué)生通過有限的解題研究領(lǐng)悟那種能解無限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.(羅增儒語)

2.1 (Ⅰ)的解法研究

(Ⅰ)的解答視角如下：

視角1 重要不等式法

(1)a2≥0

方法1：(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6=(a3+b3)2+ab(a4+b4-2a2b2)=4+

ab(a2-b2)2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.

(2)基本不等式

(3)柯西不等式

視角2 向量法

視角3 判別式法

視角4 設(shè)參法

方法6：令a=kb(k>0)，(a+b)(a5+b5)=(k6+k5+k+1)b6=(k6+2k3+1)b6+(k5-2k3+k)b6=4+k(k2-1)2b6≥4，當(dāng)且僅當(dāng)k=1，即a=b時(shí)，“=”成立.

方法7：由a3+b3=2，得

(a+b)(a5+b5)≥4.

2.2 (Ⅱ)的解法研究

(Ⅱ)的解答視角如下：

視角1 重要不等式法

(1)基本不等式及變式

方法1：由a3+1+1≥3a，b3+1+1≥3b，得a3+b3+4≥3(a+b)，因?yàn)閍3+b3=2，所以a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.

方法2：因?yàn)閍3+b3=2，所以a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)≥(a+b)3-

(2)柯西不等式推廣

(3)冪平均不等式

(4)Jensen不等式

視角2 判別式法

視角3 參數(shù)法

視角4 導(dǎo)數(shù)法

3.試題的推廣

數(shù)學(xué)推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析以后，進(jìn)行適當(dāng)變化，使得到的新命題為真.張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題.” 推廣的一個(gè)好處是對(duì)信息的整理，幾個(gè)密切相關(guān)的事實(shí)被整合到一個(gè)更寬廣的體系之內(nèi)． 對(duì)本文中問題進(jìn)行推廣，可以更加清晰地揭示出問題的本質(zhì).

3.1 (Ⅰ)的推廣

視角1 推廣問題條件的次數(shù)、系數(shù)及結(jié)論次數(shù)

推廣1 已知a,b,m,n,p,q,s,t,w>0,sam+tbw=n，則(sap+tbq)(sa2m-p+tb2w-q)≥n2.

視角2 推廣問題的條件系數(shù)、元的個(gè)數(shù)及結(jié)論次數(shù)

視角3 推廣條件的次數(shù)、系數(shù)和元的個(gè)數(shù)及結(jié)論次數(shù)

3.2 (Ⅱ)的推廣

視角1 推廣條件的次數(shù)、系數(shù)

推廣1 已知a,b,s,t,m,w,n>0,sam+tbw=n，則msa+wtb≤n+(m-1)s+(w-1)t.

視角2 推廣元的個(gè)數(shù)、次數(shù)

本文是研究高考試題解法和推廣的一個(gè)典型案例，需要指出的是文中的部分解法和推廣可以直接納入課堂教學(xué)，但不宜全部進(jìn)入課堂教學(xué).同時(shí)，高考試題研究還有很多視角，本文的研究權(quán)作拋磚引玉.