以導數(shù)為例淺談解題教學

張若謙

有人說，高三的數(shù)學教學就是解題教學。但是解題教學也并非是課堂上大量題目的堆砌，靠簡單的題海戰(zhàn)術效率是極低的，學生對于這樣的課堂也會興趣索然。中學數(shù)學中主要的數(shù)學思想有：函數(shù)與方程的思想，分類討論的思想，數(shù)形結合思想，化歸與轉化思想。教學時以體驗數(shù)學思想為訓練的核心，以知識點的應用為載體，以解法為外顯的形式，三者有機結合才更符合當下高考對學生的要求。筆者以導數(shù)這一內容為切入點，談談對解題教學的一些看法。

一、借助導數(shù)研究函數(shù)的零點問題

此類問題的解決建立在函數(shù)圖形繪制上，而函數(shù)圖形的繪制最為核心的部分為函數(shù)在各區(qū)間上的單調性的確定。故此類問題又可轉化為函數(shù)單調性。

例1.已知函數(shù)f（x）=（lnx+1）a-x恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍。

解題分析：由題意，即方程（lnx+1）a-x=0在x∈（0，+∞）上有兩根。對于此類問題，解答思路有三種：（1）構造函數(shù)法；（2）變量分離法；（3）數(shù)形結合法。

方法點睛：借助導數(shù)研究函數(shù)零點問題通常要繪制函數(shù)圖形，而在繪制過程中函數(shù)單調性的分析必不可少。有時往往需要把函數(shù)零點的問題轉化為對應方程根的問題。對于求參數(shù)范圍的問題就可以使用普遍的三種解決策略進行嘗試。

二、借助導數(shù)研究不等式的恒成立問題

不等式恒成立問題作為考查函數(shù)知識點的經(jīng)典題型，通常的解決策略也是較為固定：

（1）f（x）>c（常數(shù)）在區(qū)間[a，b]上恒成立？圳在區(qū)間[a，b]上，

[f（x）]min>c；

（2）f（x）>g（x）在區(qū)間[a，b]上恒成立？圳在區(qū)間[a，b]上，[f（x）-g（x）]min>0；

（3）f（x1）>g（x1）在區(qū)間[a，b]上恒成立？圳在區(qū)間[a，b]上，

[f（x）]min>[g（x）]max。

若是函數(shù)中帶有參數(shù)，那么其解決的策略也為變量分離法、構造函數(shù)法、數(shù)形結合法。

例2.已知f（x）=lnx-，若f（x）

思路探求：由題意可得，lnx--x3+xlnx，記g（x）=-x3+xlnx，只需a>g（x）max，x∈（1，+∞）。若能繪制y=g（x）的函數(shù)圖形，則自然可得。故分析y=g（x）單調性，并求其導數(shù)g′（x）=-3x2+lnx+1。但發(fā)現(xiàn)y=g′（x）并不容易直接得出與0的大小關系。若能繪制y=g′（x）圖形，自然可得。求其導數(shù)得g″（x）=，可得x∈（1，+∞），g″（x）<0，g′（x）在定義域內單調遞減。又因為g′（1）=-2，故y=g′（x）圖形，

可知當x∈（1，+∞），g′（x）<0，可知g（x）在定義域內單調遞減。g（x）

方法點睛：不等式恒成立問題利用三種解題策略，經(jīng)轉化后大多能變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題。在函數(shù)結構較為復雜的情況下，可使用導數(shù)討論其單調并以此繪制函數(shù)草圖。在一階導數(shù)的數(shù)值還是較難分析時，就需要分析其二階導數(shù)。為了明晰解題思路，可在解題時繪制“思維流程圖”進行輔助思考。

當然，解決這類問題需要從概念出發(fā)，綜合運用數(shù)學結合、分類討論等多種思想方法。需要從解題策略和數(shù)學思想方法上進行思維的優(yōu)化，只有這樣才能培養(yǎng)學生思維的深刻度、靈活度，使解題教學更為有效。

編輯 趙飛飛