“121”三段四環(huán)導(dǎo)學(xué)課堂教學(xué)模式的課型研究

翟彩云　張勇　陳武釗

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的重要組成部分。概念教學(xué)是一個“重新建構(gòu)”過程，是一個“意義賦予”過程?！?21”三段四環(huán)導(dǎo)學(xué)課堂教學(xué)模式中概念課的教學(xué)過程可概括為下圖：

案例：函數(shù)的單調(diào)性（第一課時）

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)。其中增函數(shù)、減函數(shù)的概念是形式化定義，較為抽象，學(xué)生不易理解，可采用概念形成的教學(xué)方式。

一、概念的引入（約10分鐘）

（一）重現(xiàn)已有知識

師：在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)?，F(xiàn)在請同學(xué)們觀察下列函數(shù)的圖象，并說明函數(shù)值y隨x的增大而怎樣變化？

（1）y=2x+1 （2）y=-x+1 （3）y=x2 （4）y=

學(xué)生可能有以下回答：

（1）函數(shù)y=2x+1在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大。

（2）函數(shù)y=-x+1在定義域內(nèi)y隨x的增大而減小。

（3）函數(shù)y=x2在[0，+∞）上y隨x的增大而增大，在（-∞，0]上y隨x的增大而減小。

（4）函數(shù)y=在（0，+∞）和（-∞，0）上y都隨x的增大而減少。

（設(shè)計意圖：觀察具體函數(shù)圖象特征，注重直觀感知）

師：這些例子都反映了自變量變化時函數(shù)值也會發(fā)生改變，有的變大，有的變小，這是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，稱為函數(shù)的單調(diào)性。同學(xué)們在初中對函數(shù)的這種性質(zhì)雖然有所了解，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的學(xué)習(xí)任務(wù)就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義。

（二）引入新的概念

問題1：你能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)？

學(xué)生可能回答：如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間隨自變量x的增大，y反而越來越小，我們說函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為減函數(shù)。

師：這種認(rèn)識從圖象的直觀性很容易得到，即是從“形”的角度對函數(shù)單調(diào)性的直觀性認(rèn)識。

（設(shè)計意圖：從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的感性認(rèn)識。）

問題2：如何從“數(shù)”的角度，對“函數(shù)值y隨x的增大而增大（或減少）的特征”給予具體的定量刻畫呢？以y=x2在[0，+∞）上是增函數(shù)為例，你能列舉一些數(shù)據(jù)予以說明嗎？

學(xué)生可能回答：當(dāng)x=0時，y=0；當(dāng)x=1時，y=1；當(dāng)x=2時，

y=4……

問題3：這樣的數(shù)據(jù)能列舉完嗎？你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)出增函數(shù)的定義嗎？

學(xué)生回答：不能。

老師：為什么不能呢？

逐步啟發(fā)學(xué)生找到問題的根源：自變量不可能被窮舉，從而逐步回答出：對任意的兩個自變量x1，x2∈[0，+∞），x1

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考討論，把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的高度。事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為典例1的學(xué)習(xí)做好鋪墊。）

（三）形成概念定義

（教師用投影展示）一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I：

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2），那么就說f（x）在區(qū)間D是減函數(shù)。區(qū)間D為y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間。（圖3）

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間。

二、概念的理解（約20分鐘）

（一）探究概念等價變換

師：由不等式性質(zhì)知：若ab則a-b>0，反之亦然。要比較f（x1）與f（x2）的大小，只要觀察f（x1）-f（x2）<0？或f（x1）-f（x2）>0？因此，單調(diào)性的定義你能作出怎樣的等價變換呢？

學(xué)生：對任意的兩個變量x1，x2∈I，x1

學(xué)生：對任意的兩個變量x1，x2∈I，x10，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I單調(diào)遞減。

（二）概念理解的變式練習(xí)

師：分別指出各函數(shù)（1）y=2x+1；（2）y=-x+1；（3）y=x2；（4）y=的單調(diào)區(qū)間。

學(xué)生可能回答：（1）函數(shù)y=2x+1只有增區(qū)間（-∞，+∞）；（2）函數(shù)y=-x+1只有減區(qū)間（-∞，+∞）；（3）函數(shù)y=x2的增區(qū)間是[0，+∞），減區(qū)間是（-∞，0]；（4）函數(shù)y=的減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）。

問題4：能把函數(shù)y=的減區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）改寫成

（-∞，0）∪（0，+∞）嗎？

一些學(xué)生回答可以，一些學(xué)生回答不可以。

師：請認(rèn)為不可以的同學(xué)說說理由。

學(xué)生甲：-1，2∈（-∞，0）∪（0，∞），并且-1<2，應(yīng)該是f（-1）>

f（2），這與事實f（-1）

師：甲同學(xué)說對了。一個函數(shù)同時有兩個或以上的增（或減）區(qū)間要用“，”或“和”分開，不能用“∪”把各個單調(diào)區(qū)間連接起來，這是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間中最常見、最典型的錯誤，請同學(xué)務(wù)必注意。

（設(shè)計意圖：規(guī)范表達(dá)，防止典型錯誤的發(fā)生）

問題5：請回答下面幾個思考題

①已知f（x）=，因為f（-1）

②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2]和（2，3）上均為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上為增函數(shù)，對嗎？

③因為函數(shù)f（x）=在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，所以f（x）=在定義域上是減函數(shù)，對嗎？

學(xué)生可能回答：都不對。

師：通過以上幾個小題的討論交流，我們得出以下結(jié)論：

①單調(diào)性定義中的x1，x2是區(qū)間內(nèi)任意兩個值，而不是特殊的兩個值。

②單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性，單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A，B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增（或減）函數(shù)。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過幾個思考題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解）

（三）典例合作探究（交流研討、展示點評、點撥整理）

例1.證明函數(shù)f（x）=x+在（1，+∞）上是增函數(shù)。

1.分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流、展示、點評、質(zhì)疑。

證明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1

∴函數(shù)f（x）=x+在（1，+∞）上是增函數(shù)。 下結(jié)論

2.歸納解題步驟

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論。

（設(shè)計意圖：初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟）

三、概念的運用（約10分鐘）

1.證明函數(shù)f（x）=x2+1在[0，+∞）上是增函數(shù)。

2.對任意的兩個變量x1，x2∈I，x11，能判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)嗎？

（設(shè)計意圖：通過練習(xí)1，鞏固學(xué)習(xí)效果，練習(xí)2拓展學(xué)生思維）

四、總結(jié)提高

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生共同完成小結(jié)。

（一）小結(jié)

（1）探究得到函數(shù)單調(diào)性的概念。

（2）單調(diào)性的證明方法和步驟：取值、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論。

（3）數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合。

（二）作業(yè)

書面作業(yè)：課本第39頁，習(xí)題1.3，第1，2，3題。

選做作業(yè)：討論函數(shù)y=x+（x>0）的單調(diào)性。

五、案例點評

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要且基本的性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性從圖象角度來看，清楚、直觀，容易理解，但是用抽象的數(shù)學(xué)符號語言來刻畫，即當(dāng)x1，x2∈I，x1f（x2），則f（x）在區(qū)間I上是減函數(shù)，對剛進(jìn)高一的學(xué)生來說，就顯得比較抽象。本案例針對函數(shù)單調(diào)性概念的形式化定義這一難點，教師通過學(xué)生初中已接觸過的基本初等函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，引入課題，為新概念的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，一定程度上達(dá)到承上啟下的效果，為提高課堂效率打下良好基礎(chǔ)。從已經(jīng)掌握的一些簡單函數(shù)的圖象入手，讓學(xué)生在問題情境中認(rèn)識從“形”的直觀性過渡到從“數(shù)”的角度上對函數(shù)單調(diào)性的特征進(jìn)行辨析。在形成概念的過程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語句，通過概念的變式思考、概念理解的變式練習(xí)、典例“證明函數(shù)f（x）=x+在（1，+∞）上是增函數(shù)”的分析加深學(xué)生對單調(diào)性這個概念的理解，突破了如何用定義進(jìn)行解題這一難點，并指出學(xué)生做題中最典型并且最常見的一個錯誤（一個函數(shù)同時有兩個或以上的增〈或減〉區(qū)間要用“，”或“和”分開，不能用“∪”把各個單調(diào)區(qū)間連接起來），教師板書了規(guī)范的解答過程，師生一起總結(jié)解題的步驟。最后，通過概念的運用環(huán)節(jié)，讓學(xué)生學(xué)以致用。通過解決：對任意的兩個變量x1，x2∈I，x11，能判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)嗎？達(dá)到拓展提升的目的。整節(jié)課學(xué)生都能主動參與課堂，順利形成準(zhǔn)確概念，使“單調(diào)性”順利融入學(xué)生的知識體系。

參考文獻(xiàn)：

[1]肖凌戇.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的理論與實踐[M].陜西師范大學(xué)出版社，2015.

[2]葛永.提高數(shù)學(xué)試卷評講有效性的探索[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（12）：1-3.

[3]穆鎮(zhèn)海.如何引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（4）：5-8.

注：廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度課題《“121”三段四環(huán)導(dǎo)學(xué)課堂教學(xué)模式的構(gòu)建與實踐》（1201442114）。

編輯 趙飛飛