坡面降雨徑流中污染物擴(kuò)散濃度比尺推導(dǎo)

吉倩倩

【摘 要】針對(duì)黃土高原小流域降雨徑流模擬試驗(yàn)中，污染物運(yùn)移規(guī)律不明確，污染物運(yùn)移比尺難以確定的問題，本文利用環(huán)境水力學(xué)中污染物擴(kuò)散定理及相似論的基本原理，進(jìn)行了一系列相似轉(zhuǎn)換和推導(dǎo)，最終得出了污染物運(yùn)移濃度的比尺為。該結(jié)論從理論上給出了原型與模型在降雨徑流過程中，污染物運(yùn)移濃度之間的關(guān)系，為進(jìn)一步進(jìn)行模型試驗(yàn)進(jìn)行污染物濃度率定和驗(yàn)證提供參考。

【關(guān)鍵詞】降雨徑流；污染物擴(kuò)散；相似比尺；相似率

中圖分類號(hào)： X53 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）12-0123-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.12.053

0 引言

降雨沖刷地表沉積物而產(chǎn)生含有大量污染物的徑流流入水體，對(duì)水環(huán)境造成了嚴(yán)重的危害[1]。20世紀(jì)60年代以來，國外首先注意到了降雨徑流污染導(dǎo)致的水質(zhì)惡化的問題，并且在降雨徑流水質(zhì)特性研究、水環(huán)境影響評(píng)價(jià)、模型模擬方面做出大量的工作[2-3]。近些年，我國也開展了大量的降雨徑流污染物運(yùn)移規(guī)律的研究，在黃土坡面土壤氮磷等化學(xué)物質(zhì)隨徑流遷移的研究中，張亞麗等[4]運(yùn)用了降雨-徑流-土壤化學(xué)物質(zhì)混合層深度（簡稱混合層深度）的方法，模擬坡面土壤化學(xué)物質(zhì)隨徑流遷移的過程，王敬美等[5-6]運(yùn)用模型試驗(yàn)結(jié)合相似理論的方法研究了水中污染物的擴(kuò)散規(guī)律，高建恩等[7-8]運(yùn)用相似性原理對(duì)黃土高原小流域水力侵蝕模擬試驗(yàn)的比尺進(jìn)行了設(shè)計(jì)和驗(yàn)證，可作為模擬小流域水力侵蝕調(diào)控，優(yōu)化治理措施研究的有效措施。這些研究通過運(yùn)用模擬實(shí)驗(yàn)、相似理論推導(dǎo)等方法，從不同的側(cè)重點(diǎn)探究降雨徑流中水流運(yùn)動(dòng)和污染物運(yùn)移的規(guī)律，但沒有從定量的角度推求出污染物在模型與原型中運(yùn)移濃度的關(guān)系。本研究是建立在相似理論的基礎(chǔ)上，通過將污染物三元對(duì)流擴(kuò)散方程與相似理論建立聯(lián)系，從而推求出原型與模型的污染物運(yùn)移濃度比尺，為模型試驗(yàn)的驗(yàn)證提供了理論依據(jù)。

1 研究背景

1.1 費(fèi)克定律

污染物擴(kuò)散是環(huán)境水力學(xué)的核心部分，水流紊動(dòng)與擴(kuò)散有密切的聯(lián)系。研究污染物在水體中的擴(kuò)散規(guī)律是推導(dǎo)出污染物運(yùn)移比尺的基礎(chǔ)工作，因此具有重要意義。

1885年費(fèi)克提出擴(kuò)散定律：在各向同性的介質(zhì)中，在一定方向上通過單位面積擴(kuò)散輸送的物質(zhì)，與該斷面的濃度梯度成比例[9]。公式如下：

F=-D （1）

式中：F——單位時(shí)間通過單位面積的擴(kuò)散物質(zhì)，又稱為通量；C——擴(kuò)散物質(zhì)的濃度； ——x方向的濃度梯度；D——擴(kuò)散系數(shù)，在各向同性的液體中，在x、y、z三個(gè)方向上，擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)。

上述公式只表示出污染物在一個(gè)方向上的擴(kuò)散，實(shí)際當(dāng)中，污染物質(zhì)不是在單一方向而是在x、y、z三個(gè)方向上都有擴(kuò)散，因此，將其寫成矢量形式應(yīng)為：

F=-D（ + + ）=-D？犖C（2）

1.2 單純擴(kuò)散方程

在菲克定律的基礎(chǔ)上，通過質(zhì)量守恒原理建立單位時(shí)間擴(kuò)散物質(zhì)的量的變化等于x，y，z三個(gè)方向的通量之和的關(guān)系，推出靜止流體中污染物單純擴(kuò)散方程。其基本形式為：

=D（ + ）（3）

如考慮兩個(gè)方向上的擴(kuò)散，則為： =D（ + ）（4）

如只考慮一個(gè)方向的擴(kuò)散，則： =D （5）

1.3 對(duì)流擴(kuò)散方程

以上所述的單純擴(kuò)散，流體是靜止的，但是如果水體在流動(dòng)，在x、y、z三個(gè)方向上的流速為u、v、w。由于流體的平均運(yùn)動(dòng)而引起的輸送稱為對(duì)流，對(duì)流輸送與擴(kuò)散輸送是可以分開又可以迭加的過程。

將對(duì)流通量和擴(kuò)散通量相加即為總輸送率（通量），代入單純擴(kuò)散方程（3）中，并首先考慮x一個(gè)方向，通過化簡可得：

+ =D 或 +？犖（uC）=D？犖2C（6）

因?yàn)?，流體的容積守恒，？犖·u=0，則上式可變?yōu)椋?+u·？犖C=D？犖2C

將其寫成三元形式，則有：

+u +v +ω =D（ + + ）（7）

這就是三元對(duì)流擴(kuò)散方程，簡稱三元擴(kuò)散方程。

通常只考慮x方向的縱向流速，y和z方向忽略，則可忽略v 和ω ，x方向的擴(kuò)散項(xiàng)與對(duì)流輸送項(xiàng)相比很小，因此可以忽略 ，簡化后可得：

+u =D（ + ）（8）

如果在y方向（垂向）的濃度梯度較小，可忽略y方向的擴(kuò)散項(xiàng) ，則為：

+u =D （9）

以上公式中，（6）為一元擴(kuò)散方程、（7）（8）為三元擴(kuò)散方程、（9）為二元擴(kuò)散方程。

2 分析推導(dǎo)

由于實(shí)際水流多數(shù)屬于三度紊流，所以采用三元擴(kuò)散方程（7）進(jìn)行比尺推導(dǎo)。公式形式為：

+u +v +ω =D（ + + ）

假定采用正態(tài)模型，設(shè)長度比尺為λl，則λx=λy=λz=λl

首先，水流運(yùn)動(dòng)滿足連續(xù)性方程 + + =0，很容易由比尺關(guān)系式推出λu=λv=λω

其次，水流運(yùn)動(dòng)滿足比尺關(guān)系式 =1以及 =1。容易得出λu=λ 。

現(xiàn)將公式（7）中原型的有關(guān)物理量用比尺轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的模型物理量，可得：

用 去除每一項(xiàng)，可得：

描述統(tǒng)一物理現(xiàn)象的的原型和模型的方程應(yīng)該相等[10]，所以：

擴(kuò)散系數(shù)D表示單位濃度梯度下的擴(kuò)散通量，它表達(dá)某個(gè)組分在介質(zhì)中的擴(kuò)散快慢，是物質(zhì)的一種傳遞性質(zhì)。相同的溶質(zhì)在相同溶劑中的擴(kuò)散系數(shù)是相同的，若原型與模型采用相同的污染物，則擴(kuò)散系數(shù)D相同，λD等于1。

則上述比尺關(guān)系式可變?yōu)椋?=1，所以：

可得污染物的濃度比尺為λC=λ 。

3 驗(yàn)證方法

3.1 確定擴(kuò)散方式及其解的形式

上述多種形式的基本方程都是二階線性偏微分方程，從物理學(xué)的角度來看，必須給定初始條件及邊界條件，才可求解，從而得出在空間上或時(shí)間上的擴(kuò)散物質(zhì)的濃度分布情況。

總結(jié)起來污染物在水中的擴(kuò)散方式有以下五種情況：（1）一元瞬時(shí)平面源；（2）二元及三元的瞬時(shí)點(diǎn)源擴(kuò)散；（3）起始空間分布源；（4）時(shí)間連續(xù)源；（5）對(duì)流擴(kuò)散。對(duì)應(yīng)于每一種擴(kuò)散方式，其都有不同的解。

以一元瞬時(shí)平面污染源為例，其污染物添加方式為在水管的中部瞬時(shí)投放污染源，投放點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為0，采用的方程為一元擴(kuò)散方程： =D

其解為：C= exp- ，在t=0時(shí)，在x=0處投放的質(zhì)量為M；

3.2 模型試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與布置

按照一定的幾何比尺，水流運(yùn)動(dòng)比尺和坡面侵蝕產(chǎn)沙及泥沙運(yùn)動(dòng)比尺布置原型和模型，采用相同的污染物添加方式，在對(duì)應(yīng)的投加點(diǎn)施加污染物，如氮肥或磷肥，原型模型施加量可按推導(dǎo)比尺λC=λ 施加。

采用放水沖刷和降雨徑流兩種外部自然環(huán)境條件的模擬，在不同斷面位置、不同時(shí)間，測(cè)量徑流中污染物的濃度，將所測(cè)數(shù)值代入擴(kuò)散方程所確定的解中，計(jì)算出原型與模型的污染物濃度，驗(yàn)證污染物運(yùn)移濃度比尺的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

（1）本研究將環(huán)境水力學(xué)中污染物擴(kuò)散方程與相似理論中比尺模擬的方法相結(jié)合，依據(jù)原型與模型滿足同一物理方程的思想，運(yùn)用水力學(xué)的基本定理，推導(dǎo)出污染物運(yùn)移相似比尺，是一種大膽的創(chuàng)新和嘗試。

（2）為進(jìn)一步進(jìn)行坡面降雨徑流污染物運(yùn)移的研究提供了新的思路和方法。

（3）在污染物施加量的確定和驗(yàn)證效果的對(duì)比上，還需要通過一系列模型試驗(yàn)驗(yàn)證和修改，有待于進(jìn)一步提升。

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