自動控制原理課程中的頻域分析法的教學探討

賀容波 張捍東 張世峰 孔慶凱

本文對自動控制原理課程中頻域分析法的教學內容和教學方法進行了初步探討。著重討論了系統頻域分析內容的主要特點和教學重難點，并列舉了教學實踐中普遍存在的問題，歸納總結了產生這些問題的內在原因。并從這些原因入手，有針對性的提出了一些改進的教學方法和建議。為了能夠更好地將所述方法應用于實踐，筆者通過一個教學案例，詳細闡述了上述教學方法的應用。

1 頻域分析方法的特點

頻率響應分析法的基本思想是把控制系統中的所有變量當作一些由不同頻率的正弦信號所合成的信號來處理，其理論基礎為傅里葉變換。由線性系統的疊加原理，可以得到各個變量的運動響應就是系統對不同頻率信號的響應總和。這種方法的引入克服了直接用微分方程研究系統的困難，解決了許多理論問題和工程問題，迅速形成了在頻率分析和綜合的整套方法，即頻率響應分析方法。相比于其他分析方法，其具有以下幾個方面特點：

1）頻率響應方法的物理意義鮮明。按照頻率響應的觀點，一個控制系統的運動無非是信號在一個一個環(huán)節(jié)之間依次傳遞的過程；每個信號又由一些不同頻率的正弦信號合成；在傳遞過程中，這些正弦信號的振幅和相角依嚴格的函數關系變化，產生形式多樣的運動。與把控制系統“一攬子”地表示成一組微分方法的做法相比，頻率法的因果概念顯然更強，更容易理解，特別是便于啟發(fā)人們區(qū)分主要因素和次要因素，進而考慮改善系統性能的辦法。

2）可以用實驗方法求出對象的數學模型。這一點在工程上價值很大，特別是對于機理復雜或機理不明而難以列寫微分方程的對象，頻率響應的觀點提供了重要的實驗處理方法；

3）頻率響應法的大部分工作可用作圖完成。圖解法的使用使它有較強的直觀性，也便于研究參數變化對系統動態(tài)性能的影響，便于工程應用。

2 頻域分析方法的教學內容

控制系統的頻域分析部分的教學內容主要包括：頻率特性的基本概念；典型環(huán)節(jié)的頻率特性、伯德圖和奈奎斯特曲線表示；奈奎斯特穩(wěn)定性判據；控制系統的相對穩(wěn)定性。上述五個方面構成了頻率法理解掌握的核心，其中頻率特性是本童的基礎，貫穿始終；伯德圖和奈奎斯特曲線是頻率特性的表現形式，需要掌握其繪制技巧；奈奎斯特穩(wěn)定性判據是頻率特性在系統穩(wěn)定性分析中應用，是本章的難點，其結論表現形式依據頻率特性的不同圖形表現形式有不同的表述。經過長期的教學實踐，學生在學習頻域分析法時容易出錯和難理解的內容可以概括為以下幾個方面：

1）頻率特性的定義

系統對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應稱為頻率響應。該定義包含以下三個方面：系統必須滿足穩(wěn)定條件；輸入信號為正弦信號或余弦信號，一般教材上以正弦輸入信號為例，但是需要明確余弦信號也同樣適用；響應指的是穩(wěn)態(tài)響應。學生在理解上容易出現偏差，如輸入信號容易誤認為正弦信號而忽略余弦信號、把系統穩(wěn)態(tài)相應片面的看成系統響應除此以外分清楚開環(huán)頻率響應和閉環(huán)頻率響應的關系。

2）奈奎斯特曲線及其繪制

在復平面上，當ω由0～∞變化時，向量G（ jω）端點的軌跡，稱為幅相頻率特性圖即極坐標圖通常又稱為奈奎斯特圖。在繪制時要注意奈奎斯特曲線只是依據頻率特性G（ jω）繪制的概略曲線，要注重它的起點、終點和中間點（與實軸的交點或與虛軸的交點）的求取，其他部分則不必關心。然而，學生在繪制該曲線時則采用給定頻率計算頻率特性的取點法繪制，這種方法忽略了繪制的G （jω）是概略曲線的事實。

3）伯德圖及其繪制

傳統坐標系標度都是以十進制為單位，而伯德圖m軸是對數頻率特性坐標系標度，其以對數刻度來表示十進制單位中的距離1，相較于線性坐標對數坐標系的引入有以下兩方面的優(yōu)勢：1）可以方便在頻率域中對系統的觀察，其突出的優(yōu)點在于，對數坐標能夠把小區(qū)間放大，大區(qū)間縮小，如區(qū)間[0.01 0.1]和[10 100]在對數坐標上所占的距離大小都是1；2）同時，系統的參考信號大都是低頻信號，噪聲信號為高頻信號，因而實際分析中要對低頻段進行放大，高頻段進行縮小，這樣對系統感興趣的頻段進行分析。3）對數坐標的引入，有利于用分段線性函數對頻率特性進行逼近，方便了頻率特性的圖形表示。

在伯德圖的對數幅頻特性繪制上也是采用近似的方法，即將相應的傳遞函數在不同頻率范圍內近似成由比例和積分環(huán)節(jié)組成的傳遞函數，在依據近似的傳函來繪制漸近對數幅頻特，因而表現出分段特性。這一技巧的靈活使用是繪制伯特圖的基礎，部分同學由于對這種方法缺乏理解，導致在繪制對數幅頻特性無從下手。

4）幅角定理的理解

在講解奈奎斯特穩(wěn)定判據的時候，首先要介紹幅角定理，特別要強調該定理的條件和結論。在幅角定理的條件—一“在s平面上封閉曲線C域內共有P個極點和Z個零點，且封閉曲線C不穿過F（s）的任一個極點和零點”，要特別強調封閉曲線C中的P個極點和Z個零點是考慮重根數的和不穿過F（s）的任一個極點和零點；在結論部分—一“當s順時針沿封閉曲線C變化一周時，在F（s）平面上對應的映射封閉曲線CF逆時針包圍原點N=P -Z周”，要強調N>O逆時針，N

5）穩(wěn)定裕度

學生對系統的穩(wěn)定裕度具有思維定勢，仍然局限在時域內，即認定特征值離虛軸距離越遠，系統的穩(wěn)定裕度越高。然而，若利用幅值裕度和相角裕度的概念來講解穩(wěn)定裕度時，盡管有數學指標作為參考，但是對這兩個穩(wěn)定裕度的理解仍然不夠深刻。

根據調查分析，產生上述問題的客觀原因主要有以下幾點：（1）對頻率特性的概念缺乏直觀的了解，只停留在書本的公式推導上，然而學生對繁瑣的數學公式推導難以理解，這直接影響了課程的學習和知識點的理解；（2）頻率分析方法主要是圖解分析方法，不論是伯德圖的繪制還是奈奎斯特曲線的繪制都是一種近似，因而在兩種圖的繪制時如何快速的把握其繪制技巧是本章學習的關鍵。（3）課本中的例子很少涉及生活中的實際應用系統，使得學生誤認為頻域分析理論在實際過程之中沒有應用價值，對這一部分內容學習興趣下降。

3 頻域部分的教學方法探討

針對上述教學中普遍存在的問題，筆者建議采用如下有針對性的教學方法進行改進。

1）凝煉教學內容，突出教學主線

實踐表明，一堂好的課并不在于教了多少知識，而在于學生掌握了多少知識，因而切實提高課堂效率才是決定教學方法成敗的關鍵。頻率分析法自身內容豐富，知識點多而雜，但是作為教學沒有必要面面俱到，講的太多很容易讓學生形成走馬觀花的感覺，形成視覺疲勞，降低課堂學習效率。因而筆者認為在課堂教學前要有選擇性的對重難點進行凝煉，對講課內容進行選擇，每次上課時最好能夠用圖和表格將本次課的內容集中地呈現給學生，使其在上課時對重難點有個全面的了解。教師在講解過程中，保證在每一節(jié)課的講授過程中，始終以一個知識點為主線帶動其他知識點，這樣可以加深學生的記憶，有益于學生對知識點的理解。

2）合理利用課堂教學時問，提高課堂學習效率

根據筆者的教學觀察，在每一節(jié)課前20分鐘的時間中學生的注意力最為集中，因而要充分利用這段時間。每堂課應該將大部分較難理解的理論知識集中在這一時間段講解。在講解理論知識時，應該要注重結合圖形表格來闡述，使得理論形象化。在余下的時間，學生的注意力將有一定的分散此時，不斷地采用例子對所講授的知識點進行反復訓練，甚至可以嘗試讓學生自己走上講臺練習。此外，還應當注重結合生活中的實際應用，利用前面的理論知識進行實例分析，從而提高學生的學習興趣，增強教學效果。

3）充分利用多媒體手段強化課堂實踐教學

現有的課堂教學主要以多媒體課件為主，在適當的加入板書，極大地豐富了課堂教學的信息量，提高了教學效率。然而據筆者觀察，當前的多媒體課件多以圖片、文字和公式靜態(tài)影響為主，動態(tài)的部分并不多。為了調動學生的課堂學習氣氛，并將課堂知識進行擴展，可以在多媒體課件中插入Matlab仿真和實驗小視頻，真正的讓課堂教學的知識點動起來，讓學生在課堂理論學習之余將其應用到實踐中去，起到調動學生的學習興趣，培養(yǎng)分析問題及決問題的能力。

4 教學實踐

現在，我們對頻域分析教學中存在的問題，歸納出相應的解決方法，大致分為以下三個步驟：凝煉教學內容，充分借助圖或表格將課堂要點集中地呈現給學生，使其全面的了解重難點；爭取在一堂課的前20分鐘以內講授完該節(jié)課有關知識點。通過多媒體手段，構建基于實際模型的例子，在進行理論分析之余，利用Matlab上進行仿真驗證；進行實驗教學，將理論知識實際化，使得學生懂得學以致用，最終理解所學習的知識點。下面以頻域分析中的頻率特性為例，給出一個具體的教學案例。

（1）闡述頻率特性的基本概念

線性定常系統在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復變量與輸入的復變量之比稱為系統的頻率特性，記為

幅頻特性A（ω）= |G（jω）| -輸出幅值與輸入幅值之比：

相頻特性φ（ω）=ω∠G（jω）——輸出相角與輸入相角之差。

該定義包含以下三個方面：系統必須滿足穩(wěn)定條件；輸入信號為正弦信號或余弦信號；響應指的是穩(wěn)態(tài)響應。

在定義的基礎上對引導學生參照教材相關內容對上述公式進行推導。

（2）實例matlab仿真教學演示

通過仿真讓學生直觀感受頻率特性的物理含義，從仿真結果驗證頻率特性公式推導的正確性。進一步，將系統的開環(huán)增益10調整為40，由Routh判據可知，此時系統不穩(wěn)定，系統此時的輸入輸出曲線如圖3所示。從圖中可以看出頻率響應是以系統穩(wěn)定為前提的。

（3）通過搭建電路實驗來進一步驗證上述的理論分析結論的正確性。

筆者根據以往的教學經驗以及自動控制原理課程的特點，總結了該課程頻域部分教學中普遍存在的問題，并討論了這些問題存在的原因。與此同時，筆者還有針對性地介紹了一些解決這些問題的方法。最后通過一個教學案例，闡述了如何運用所介紹的教學方法解決已有的教學問題。