一類非線性方程非平凡解的存在性

趙春茹，曲軍恒，王小龍

(1.梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，廣西 梧州 543002；2.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 佛山 528000；3.華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640)

0 引言

1 問題和預(yù)備知識(shí)

1.1問題提出

(1)

假設(shè)位勢V(x)與非線性項(xiàng)f(x,u)分別滿足下列條件：

1.2 預(yù)備知識(shí)

我們注意到方程(1)的解是下列泛函的臨界點(diǎn)

(2)

(3)

(4)

非平凡解的存在性。

引理1 設(shè)條件(f1)-(f3)成立,對(duì)任意的‖v‖=ρ0,存在ρ0,α0>0使得J(v)≥α0.

F(x,s)≤ε∣G(s)∣2+C(ε)∣G(s)∣p+1

且

從而存在一個(gè)和ε有關(guān)的常數(shù)Cε>0,使得

≥C‖v‖2-Cε‖v‖2*

因此，對(duì)‖v‖=ρ0，取ρ0>0足夠小，使得J(v)≥α0，命題得證。

由(f3)可知,對(duì)任意的s>M,存在M>0,使得F(x,s)≥CGμ(s).

由μ>2知,當(dāng)t→∞時(shí),J(tφ)→-∞,故命題得證。

由引理1和引理2可知，對(duì)常數(shù)

c=infsupJ(γ(t))>0

γ∈Γt∈[0,1]

引理3 序列{vn}是有界的。

(5)

(6)

由條件(f4)知

(8)

由條件(f3)知,F(x,s)CGμ(s)≥CG2(s),s≥1.則

(9)

且由g關(guān)于t單調(diào)遞增，則

(10)

由(f1)-(f3)及Lebesgue控制收斂定理，則

(11)

從而J'(v)ψ=0.

2主要結(jié)果

定理1 在條件(V1)、(V2),及(f1)-(f4)下，問題(1)存在非平凡解。

證明：假設(shè)v=0,下證{vn}是J∞:H→R的(PS)序列，其中

(12)

由(f1)-(f3)知,

則

(13)

(14)

c∞=infsupJ∞(γ(t))>0,

γ∈Γt∈[0,1]

(15)

則由c∞的定義可知

若V(x)≡V∞,則v是非平凡解。假設(shè)V(x)

矛盾。從而v是非平凡解。