例析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)列中的滲透

山東 王中華

基于學(xué)生核心素養(yǎng)的教育改革逐漸引起全球關(guān)注，成為許多國家或地區(qū)制定教育政策、開展教育實踐的基礎(chǔ).現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)的研究源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過基于抽象結(jié)構(gòu)的符號運算、形式推理、一般結(jié)論等，理解和表達(dá)現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)也是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)．教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長王尚志教授在“關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂”中，提出中國學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．增強創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．?dāng)?shù)列來源于人類的活動中,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用,是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要題材,本文以數(shù)列為背景談?wù)剶?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)用與滲透.

一、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程．?dāng)?shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的三大特征之一,可謂核心中的“核心”,數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系等四個方面.數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.

例1.(2017·全國卷Ⅰ理·12)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是

( )

A.440_____________________ B.330

C.220 D.110

【解析】設(shè)首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，依此類推．

解得n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后,

即2k-1=2+n(k∈N*，n≥14)，k=log2(n+3),

解得n的最小值為n=29，k=5，

【名師點睛】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項與求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.本例的解題關(guān)鍵是對新的數(shù)學(xué)情景的理解及對新概念的提煉升華，考查考生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

變式訓(xùn)練：

( )

A.0 B.-1

C.1 D.2

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的推理，推理形式主要有演繹推理．在實際情境和數(shù)學(xué)情境中，能夠發(fā)現(xiàn)蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，提出有價值的數(shù)學(xué)問題，并予以數(shù)學(xué)表達(dá)；能夠理解歸納、類比是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題的重要途徑．對于給定的與學(xué)過知識有一些關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，能夠通過對條件與結(jié)果的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述論證過程．

例2.(1)(2017·河北衡水中學(xué)高三摸底聯(lián)考·16)如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行;數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行，依此類推，則第20行從左至右的第4個數(shù)字應(yīng)是_______．

(2)四面體數(shù)為：1，4，10，20，35，56，84，120，….它們是恰能壘成正四面體堆垛的大小相同的小球的個數(shù)，猜想通項公式為.

【名師點睛】第(1)題考查的是歸納推理、等差數(shù)列的前n項和公式；歸納推理是從特殊事例中歸納出一般性結(jié)論的推理，解題關(guān)鍵點在于從有限的特殊事例中尋找其中的規(guī)律，要注意從運算的過程中去尋找，注意運算的準(zhǔn)確性.第(2)題既有分解的思想又有組合的意識,收到了避繁就簡,化難為易的效果.利用分解或組合的方法可以把一些看似無規(guī)律無目標(biāo)的問題變得有規(guī)律可循，有了明確的解題目標(biāo).把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型，化不可解、難解的問題為可解、易解的問題.

變式訓(xùn)練：

下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是________.

三、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決問題的過程．具體表現(xiàn)為：在實際情境中，從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終得到符合實際的結(jié)果．新課程標(biāo)準(zhǔn)對高考水平數(shù)學(xué)建模要求：能夠在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，知道數(shù)學(xué)問題的價值與作用．能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題；理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型；能夠根據(jù)問題的實際意義檢驗結(jié)果，完善模型，解決問題．能夠在類似的情境中，通過建模的過程，理解建模的意義．能夠運用數(shù)學(xué)語言，表述數(shù)學(xué)建模過程中的問題以及解決問題的過程和結(jié)果，形成研究報告，展示研究成果．在交流的過程中，能夠用模型的思想說明問題．

例3.(1)(2017·福建4月質(zhì)檢)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年投入資金1 000萬元，出售產(chǎn)品收入40萬元，預(yù)計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產(chǎn)品所得收入比上一年多80萬元，同時，當(dāng)預(yù)計投入的資金低于20萬元時，就按20萬元投入，且當(dāng)年出售產(chǎn)品收入與上一年相等.

(Ⅰ)求第n年的預(yù)計投入資金與出售產(chǎn)品的收入；

(Ⅱ)預(yù)計從哪一年起該公司開始盈利？(注：盈利是指總收入大于總投入)

【解析】(1)(Ⅰ)設(shè)第n年的投入資金和收入金額分別為an萬元，bn萬元.

依題意得，當(dāng)投入的資金不低于20萬元，

令an<20,得2n-1>50,解得n≥7,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知當(dāng)1≤n≤6時，總利潤

f(3)<0,f(4)>0，

所以，當(dāng)2≤n≤3時，Sn-1>Sn；

當(dāng)4≤n≤6時，Sn-1

又因為S1<0,S6=-528.75<0，

所以，當(dāng)1≤n≤6時，Sn<0，即前6年未盈利，

當(dāng)n≥7時，Sn=S6+(b7-a7)+(b8-a8)+…+(bn-an)=-528.75+420(n-6)，令Sn>0，得n≥8.

綜上，預(yù)計該公司從第8年起開始盈利.

(2)因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個零點1，2，

所以f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x2-3x+2),

即數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且通項公式為an=2n.

變式訓(xùn)練：

(2017·四川資陽4月模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲(水生植物名)生一日，長三尺；莞(植物名，俗稱水蔥、席子草)生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為________日．

(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)

解得2n=6或2n=1(舍去)．

四、數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題．主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果．新課程標(biāo)準(zhǔn)對高考水平數(shù)學(xué)運算要求：能夠在數(shù)學(xué)情境中明晰運算對象，提出運算問題，探究運算的方向和目標(biāo)．能夠針對運算問題，正確分析運算條件、確定運算方向；能夠合理選擇運算方法、設(shè)計運算程序，綜合利用運算法則解決問題．能夠理解運算法則與運算方法之間的關(guān)系，知道運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用．在交流的過程中，能夠借助運算探討問題．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；

(Ⅱ)將數(shù)列{bn}中的第a1項，第a2項，第a3項，……，第an項刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前2 013項和.

因為b2,b4為方程x2-20x+64=0的兩個不相等的實數(shù)根.

所以b2+b4=20，b2·b4=64,

又因為數(shù)列{bn}為公比大于1的等比數(shù)列，

解得b2=4，b4=16,所以bn=2n.

(Ⅱ)由題知將數(shù)列{bn}中的第3項、第6項、第9項……刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{cn}中的奇數(shù)項與偶數(shù)項仍分別成等比數(shù)列，首項分別是b1=2，b2=4,公比均是8,

T2013=(c1+c3+c5+…+c2013)+(c2+c4+c6+…+c2012)

【名師點睛】課程標(biāo)準(zhǔn)及高考大綱對數(shù)學(xué)運算的要求較高，有三個層次：第一層次是“會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理”，即運算的正確性；第二層次是“能根據(jù)問題的條件，尋求與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算”，即運算的合理性和迅速性；第三層次是“運算求解能力是思維能力與運算技能的結(jié)合”，即運算的思維性.如本例在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，以減少運算量提高解題速度．方程觀點以及基本量(首項和公比)思想是求解等比數(shù)列問題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個量中，知三求二．在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．

變式訓(xùn)練：

設(shè)n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1，2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo).

(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式；

【解析】(Ⅰ)y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1，

曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2.

從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1).令y=0，

(Ⅱ)證明：由題設(shè)和(Ⅰ)中的計算結(jié)果知

五、直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題．主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路．新課程標(biāo)準(zhǔn)對高考水平直觀想象要求：能夠在實際的數(shù)學(xué)情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，借助圖形提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運動規(guī)律．能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量關(guān)系的基本方法；能夠借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律；能夠通過計算、分析、論證，解決實際問題或數(shù)學(xué)問題．能夠通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會幾何直觀的作用和意義．在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數(shù)學(xué)問題．

例5.已知數(shù)列{an}.

(Ⅰ)若an=n2-5n+4，

(ⅰ)數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？

(ⅱ)n為何值時，an有最小值？并求出最小值.

(Ⅱ)若an=n2+kn+4且對于n∈N*，都有an+1>an.求實數(shù)k的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)(ⅰ)由n2-5n+4<0，解得1

因為n∈N*，所以n=2,3.

所以數(shù)列{an}中有兩項是負(fù)數(shù)，即為a2,a3.

(ⅱ)解法一:可將an看作函數(shù)f(n)=n2-5n+4(n∈N*),

函數(shù)f(n)開口向上，在對稱軸n=2.5上有最小值.

又n∈N*，所以當(dāng)n=2,n=3時，an有最小值，

最小值為a2=a3=-2.

又n∈N*，所以當(dāng)n=2,n=3時，an有最小值，

最小值為a2=a3=-2.

(Ⅱ)若an=n2+kn+4且對于n∈N*，都有an+1>an，

則an是遞增數(shù)列.

可將an看作函數(shù)f(n)=n2+kn+4(n∈N*).

變式訓(xùn)練：

(1)若an=3n2-(9+a)n+6+2a(其中a為常數(shù))，若a6和a7兩項中至少有一項是an的最小值，則實數(shù)a的取值范圍？

(2)某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示，從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

六、數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識的過程．主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊含的結(jié)論．新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能夠用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計分析方法對收集來的大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提取有用信息和形成結(jié)論而對數(shù)據(jù)加以詳細(xì)研究和概括總結(jié)的過程.這一過程也是質(zhì)量管理體系的支持過程.在實際應(yīng)用中，數(shù)據(jù)分析可幫助人們作出判斷，以便采取適當(dāng)行動.

例6.將正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)個全等的小正三角形(圖1，圖2分別給出了n=2,3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于3時)都分別依次成等差數(shù)列，若頂點A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)=________，……，f(n)=________.

【解析】當(dāng)n=3時，如圖所示分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知a+b+c=1,x1+x2=a+b,y1+y2=b+c,z1+z2=c+a,

x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2,

2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2,

6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2,

進(jìn)一步可求得f(4)=5.由上知f(1)中有三個數(shù)相加，f(2)中有6個數(shù)相加，f(3)中共有10個數(shù)相加，f(4)中有15個數(shù)相加，以此類推，若f(n-1)中有an-1(n>1)個數(shù)相加，可得f(n)中有(an-1+n+1)個數(shù)相加，

【名師點睛】解決圖表類問題時，應(yīng)正確理解圖表中各量的意義，從圖形中提取有用信息,通過圖表掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵．本題主要考查考生的歸納推理能力及等差數(shù)列的求和,要求考生能根據(jù)題目中的敘述正確地把握題目所包含的數(shù)學(xué)知識,然后化歸為數(shù)列求和問題來求解.

變式訓(xùn)練：