二輪微專題，提升關(guān)鍵能力

江蘇 章岐男

高三數(shù)學(xué)經(jīng)過一輪的復(fù)習(xí)，二輪復(fù)習(xí)主要是以知識模塊為專題，對高中數(shù)學(xué)主要章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，進(jìn)行知識綜合應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生解決綜合問題的能力.但是在實(shí)踐中也有一些困惑：①與第一輪復(fù)習(xí)的內(nèi)容有重復(fù)的地方，有些知識點(diǎn)出現(xiàn)重復(fù)，例題區(qū)別不大，給學(xué)生炒冷飯的感覺，容易讓學(xué)生產(chǎn)生“審美疲勞”；②學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)中的疑點(diǎn)和盲點(diǎn)并沒有很好的解決，知識與方法的漏洞沒有及時補(bǔ)上；③對于考試中出現(xiàn)的一些新的熱點(diǎn)問題研究較少或者研究不深，并沒有很好的幫助學(xué)生解決這一類問題，讓學(xué)生感覺自己解決問題的關(guān)鍵能力提升太少，教學(xué)工作事倍功半，效率不高.

在二輪復(fù)習(xí)中怎樣來解決這些問題讓學(xué)生在二輪中提升關(guān)鍵能力？可以嘗試在二輪復(fù)習(xí)中穿插微專題.所謂“微專題”是指立足于學(xué)情、教情、考情，選擇一些切口小、角度新、針對性強(qiáng)的微型復(fù)習(xí)專題，力求解決復(fù)習(xí)課中的真問題、小問題和實(shí)問題.微專題有三大特點(diǎn)：①切入點(diǎn)比較小，直指一個問題或者一類小問題，不求大而廣；②針對性強(qiáng)，主要針對學(xué)生反復(fù)出現(xiàn)錯誤的問題；③及時性，能夠把最新的熱點(diǎn)及時講授，可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在實(shí)踐中，按照以下幾個方面實(shí)施教學(xué).

一、關(guān)注考試熱點(diǎn)，提升創(chuàng)新能力

每年高三復(fù)習(xí)二輪階段，各地的調(diào)研卷或多或少會有新的熱點(diǎn)，所謂“熱點(diǎn)”是指各地考卷經(jīng)?？嫉闹R點(diǎn)或者知識點(diǎn)以較新的面貌出現(xiàn)在大家面前，比較受大家關(guān)注.通過調(diào)研卷不難發(fā)現(xiàn)一些熱點(diǎn)問題，作為教師，首先要研究透這些熱點(diǎn)，思考能不能組成一個微專題和學(xué)生分享.通過微專題的形式，讓學(xué)生掌握相關(guān)知識，提升創(chuàng)新能力.

例如函數(shù)導(dǎo)數(shù)類綜合問題的考查力度一直很大，基本上作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常以與ex，lnx有關(guān)的函數(shù)形式出現(xiàn)，且伴隨對參數(shù)的討論.學(xué)生對于這類題目總是束手無策，得分很低.針對這個熱點(diǎn)問題，筆者設(shè)計微專題《函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用》.

【課前預(yù)習(xí)】

1.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)

【解析】∵y=f(x+1)為偶函數(shù)，

∴y=f(x+1)的圖象關(guān)于x=0對稱，

∴y=f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，

∴f(2)=f(0)，又∵f(2)=1，

∴f(0)=1.

又∵f′(x)

∴f′(x)-f(x)<0，∴g′(x)<0，

∴g(x)單調(diào)遞減，

即g(x)<1，

∴g(x)

∴x>0，故答案為(0，+∞)．

這是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式逆向構(gòu)造函數(shù)中的一類與ex密切相關(guān)的問題，學(xué)生平時對已知函數(shù)求導(dǎo)問題掌握較好，但是逆向構(gòu)造就有點(diǎn)困難，但會讓學(xué)生感覺新鮮.

【解析】∵k為正數(shù),且對任意的x1,x2∈(0,+∞),

當(dāng)g′(x)>0時,x∈(0,1);

當(dāng)g′(x)<0時,x∈(1,+∞),

又k>0,∴k≥1，

【引例】

已知函數(shù)F(x)=lnx-x+1．

(Ⅰ)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

(Ⅱ)已知不等式3ln(x+1)<3x+m對一切x>-1恒成立，求m的取值范圍．

∴F(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)減區(qū)間是 (1，+∞)，且F(x)在x=1處取得極大值也是最大值0，沒有最小值．

(Ⅱ)由3ln(x+1)<3x+m，

得m>3ln(x+1)-3x對x>-1恒成立，

令g(x)=3ln(x+1)-3x，只需m>g(x)max即可．

當(dāng)-10；

當(dāng)x>0時，g′(x)<0．

∴g(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減．

∴g(x)max=g(0)=0,

則m>0,故m的取值范圍為(0，+∞)．

實(shí)際上，由(Ⅰ)可知lnx-x+1≤0對x>0恒成立，且在x=1時取得最大值0，以x+1代入x則可得ln(x+1)-(x+1)+1≤0恒成立，故不等式3ln(x+1)<3x+m可化為 3ln(x+1)-3(x+1)-3，即m>0.如此，起到將陌生問題化為熟悉的、已解決的問題的作用.提升了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.

【典例剖析】

通過例1，讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)造兩個函數(shù)，對于這類綜合題，構(gòu)造函數(shù)是學(xué)生必備知識技能之一.其實(shí)由引例可知，lnx+1≤xln(x+1)-(x+1)+1≤0(由x+1代入lnx-x+1中的x可得),即證F(x+1)≤0；而即即這樣只需要構(gòu)造一個函數(shù)即可！

例2若b>a>e，證明ab>ba.

例3(2014·江蘇卷·19)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；

(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

【探究】已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R)．記函數(shù)y=f(x)圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2，y2)是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．試問：曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

答案：不平行.過程略.

變式1設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-bx2，其圖象在點(diǎn)P(2，f(2))處切線的斜率為-3．當(dāng)a=2時，令g(x)=f(x)-kx，設(shè)x1，x2(x1

變式2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，a為常數(shù).若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)x1，x2，試證明x1x2>e2.

本題對學(xué)生的要求較高，主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力.

本節(jié)課的例題主題明確，面對這類綜合題目，先變形，然后構(gòu)造函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題或者恒成立問題等來求解，讓學(xué)生不再畏懼這類難題，提升學(xué)生的綜合解題能力.

通過本節(jié)課的訓(xùn)練，學(xué)生對于這類題目有些感悟，知道如何下手做題，并提高得分率.在實(shí)際教學(xué)中，筆者還設(shè)計了其他微專題，比如《解析幾何的定點(diǎn)定值問題》、《解析幾何中變量的選擇》、《新定義數(shù)列求解》等等，這些都是熱點(diǎn)，通過這些微專題，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

二、關(guān)注疑點(diǎn)難點(diǎn)，提升思維能力

在一輪復(fù)習(xí)中，雖然復(fù)習(xí)到各類基礎(chǔ)知識，但是有些難點(diǎn)卻一帶而過，學(xué)生沒有很好的體會，沒有掌握解決方法，在實(shí)際處理問題時，顯得無從下手，效果很弱.如果二輪復(fù)習(xí)時也不能很好的專題解決，問題就會累積，所以對于出現(xiàn)的疑點(diǎn)難點(diǎn)有必要設(shè)置微專題專門處理.數(shù)列是離散型的函數(shù)，是函數(shù)概念的拓展和延伸，因此周期性、單調(diào)性在數(shù)列問題中常作為考查的熱點(diǎn)問題，筆者開設(shè)了《數(shù)列中的周期性、單調(diào)性問題》．

若數(shù)列{an}滿足an+k=an(k為常數(shù)且k∈N*)對任意n∈N*恒成立，則數(shù)列{an}是以k為周期的數(shù)列，數(shù)列中的周期性在試題中常以填空題的形式出現(xiàn)，通常可采用列舉、歸納猜想的方法解決，另外也可以與函數(shù)的周期性進(jìn)行類比.

數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：一是利用定義，比較an+1與an的大小，二是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決，要注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別．

三、關(guān)注知識縱向聯(lián)系，提升合作能力

二輪復(fù)習(xí)雖然以模塊為主，但是有些內(nèi)容縱向聯(lián)系比較多，需要及時聯(lián)系各類知識，讓學(xué)生融會貫通，提升各模塊間的綜合能力.不等式恒成立與有解問題作為考試的一個熱點(diǎn)，聯(lián)系的知識比較多，學(xué)生也容易混淆.其實(shí)這塊知識，只要訓(xùn)練好，得分不是難題，筆者嘗試了《不等式恒成立與有解問題》的微專題，把相關(guān)的各塊內(nèi)容聯(lián)系起來，學(xué)生對這類問題不再陌生和恐懼.

在實(shí)際教學(xué)中還要挖掘更多的聯(lián)系，讓多個知識點(diǎn)匯總的題目展示在學(xué)生面前，提升能力.

四、深度挖掘教材，提升認(rèn)知能力

每年的高考題，不少都是來源于課本的題目，深挖課本題目，有很強(qiáng)的實(shí)際意義.這類問題參考書中出現(xiàn)的不多，可以在各類試卷中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，與課本當(dāng)中的知識結(jié)合起來.比如，筆者設(shè)計了《方程、不等式中的多元問題處理》，不等式是一個難點(diǎn)，尤其是以填空題形式出現(xiàn)，學(xué)生難以上手，或者一籌莫展，通過這個微專題，從課本題目入手，由淺入深，循序漸進(jìn)，把一些常見的多元問題歸類，統(tǒng)一處理方法，讓學(xué)生體會，效果很好.

這就要求教師平時既要做題，又要聯(lián)系課本，然后深度挖掘，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.