用歸納法在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中提前引出拉格朗日方程

易文鵬　賀志

摘 要：在常見(jiàn)的理論力學(xué)教材中，一般將分析力學(xué)這一重要章節(jié)安排在教材的后半部分乃至最后。當(dāng)然，教材中分析力學(xué)作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容用演繹法導(dǎo)出核心的拉格朗日方程，做這樣的安排也無(wú)可厚非。但因?yàn)榘才旁诮滩牡暮蟀氩糠郑栽诰唧w教學(xué)的過(guò)程中總感覺(jué)講授完分析力學(xué)后還意猶未盡，以至于學(xué)生還沒(méi)好好領(lǐng)會(huì)和鞏固學(xué)習(xí)的效果就結(jié)束了。本文嘗試用歸納法在教材前面部分如質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中提前引出拉格朗日方程，讓學(xué)生有充分的時(shí)間來(lái)了解、習(xí)慣、熟悉分析力學(xué)方法，從而逐漸培養(yǎng)學(xué)生的綜合、歸納、概括能力， 取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：歸納法 質(zhì)點(diǎn)力學(xué) 拉格朗日方程

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）02（c）-0036-02

分析力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)發(fā)展的高級(jí)階段，是一種先進(jìn)的力學(xué)理論，它在物理理論以及工程計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用。特別對(duì)近代物理理論的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。理工科大學(xué)生應(yīng)該掌握這種理論和方法。但傳統(tǒng)的理論力學(xué)教材[1]體系采用演繹法，要到最后一章才能演繹出分析力學(xué)中最重要的拉格朗日方程[2-7]。而此時(shí)學(xué)生剛剛接觸分析力學(xué)不久，就要匆匆轉(zhuǎn)入到期末考試。因此沒(méi)有充分的時(shí)間和機(jī)會(huì)來(lái)熟練地掌握分析力學(xué)方法。近年來(lái)，我們一直在嘗試改變這種傳統(tǒng)的做法，在理論力學(xué)的開(kāi)始階段即質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，就用歸納法引出分析力學(xué)中的拉格朗日方程，進(jìn)而用它來(lái)解決質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的問(wèn)題。從學(xué)生們學(xué)習(xí)的情況看，取得了較滿意的效果。由于比傳統(tǒng)做法提前兩個(gè)多月使學(xué)生接觸了分析力學(xué)，學(xué)生有充分的時(shí)間來(lái)了解、習(xí)慣、熟悉分析力學(xué)方法。

1 提前引出

分析力學(xué)中最有實(shí)用價(jià)值的要算拉格朗日方程。它實(shí)質(zhì)上是廣義的動(dòng)量定理。由它可推出動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理。相反地也應(yīng)該可以由動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理導(dǎo)出拉格朗日定理。本文在講了質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理及動(dòng)能定理之后，就用歸納法引出了拉格朗日方程，并初步運(yùn)用拉格朗日處理了幾個(gè)典型的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題。

（1）用動(dòng)量定理引出對(duì)坐標(biāo)的拉格朗日方程的程序。將動(dòng)量定理：

（4）及時(shí)用拉格朗日方程處理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題。

為了加深對(duì)拉格朗日方程的理解，在引出了拉格朗日方程之后，及時(shí)用它處理了如下典型的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題。一維（直角坐標(biāo)）諧振子、單擺、有心力、三維（球坐標(biāo)）諧振子。

由于已提前在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中引出和初步運(yùn)用了拉格朗日方程，在質(zhì)點(diǎn)組、剛體、相對(duì)運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜的問(wèn)題中，就能逐步、適當(dāng)?shù)剡M(jìn)一步運(yùn)用拉格朗日方程，使學(xué)生進(jìn)一步了解拉格朗日的優(yōu)越性，逐步習(xí)慣、熟悉運(yùn)用拉格朗日方程的方法。

2 初見(jiàn)成效

在提前引出、逐步運(yùn)用拉格朗日方程的效果如何呢？第一，已經(jīng)在講授了分析力學(xué)之前的前四章教學(xué)時(shí)間內(nèi)，用化整為零的方法逐步完成了分析力學(xué)這一章中真正要求學(xué)生掌握的內(nèi)容，部分逐步解決了分析力學(xué)中部分例題、習(xí)題。更重要的是，已經(jīng)將質(zhì)點(diǎn)力學(xué)、質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)、剛體力學(xué)的許多方程用拉格朗日方程統(tǒng)一成了一個(gè)整體。第二，從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)開(kāi)始，同學(xué)們一直在不斷地思考、探索分析力學(xué)的概念、思想、方法和技巧，為進(jìn)一步系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分析力學(xué)做好充分的思想準(zhǔn)備。

3 結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)、物理理論教材中，人們比較重視演繹法而輕視歸納法，認(rèn)為由一般原理演繹出個(gè)別結(jié)論比較可靠，而由個(gè)別結(jié)論歸納出一般原理比較冒險(xiǎn)。但這是不完全公正的。歸納法確實(shí)有點(diǎn)冒險(xiǎn)，開(kāi)始的歸納往往還只是一種有待驗(yàn)證的假設(shè)，不太可靠。但歸納意味著認(rèn)識(shí)上一種飛躍，具有推出新知識(shí)，有新發(fā)現(xiàn)的導(dǎo)向性。從歷史上新原理的發(fā)現(xiàn)看，許多從邏輯上主要是采用歸納法。所以，應(yīng)該在理論上、教材內(nèi)、教學(xué)中重視歸納法，應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的綜合、歸納、概括能力，應(yīng)該將歸納法和演繹法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，改造理論力學(xué)、分析力學(xué)的教材體系。

參考文獻(xiàn)

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