一種多用戶MIMO系統(tǒng)干擾對齊優(yōu)化算法*

陳 艷**，2，宋云超

(1.南京郵電大學(xué) 電子與光學(xué)工程學(xué)院、微電子學(xué)院，南京 210003；2.南京理工大學(xué)紫金學(xué)院 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，南京 210046)

1 引 言

作為第四代蜂窩移動(dòng)通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技術(shù)在不增加系統(tǒng)帶寬和天線發(fā)射功率的前提下可以顯著提高信道的容量及頻譜利用率[1]。單用戶MIMO系統(tǒng)若配置的天線數(shù)受限會(huì)降低系統(tǒng)獲得的容量增益，而多用戶MIMO系統(tǒng)允許多個(gè)用戶同時(shí)進(jìn)行通信，可達(dá)到更高的容量，但當(dāng)天線數(shù)目及用戶數(shù)量增加時(shí)會(huì)引起無線介質(zhì)的廣播與疊加，此時(shí)干擾成為制約多用戶MIMO系統(tǒng)可靠通信的重要因素之一[2]。因此，為了改善系統(tǒng)的性能，需要采用有效的措施對用戶引起的干擾進(jìn)行管理。

干擾對齊(Interference Alignment，IA)被認(rèn)為是處理多用戶MIMO系統(tǒng)用戶間干擾的關(guān)鍵技術(shù)之一，并已經(jīng)被證實(shí)可有效獲得網(wǎng)絡(luò)的最大自由度[3]。干擾對齊技術(shù)可廣泛應(yīng)用到各種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲?，如干擾信道[4-8]、干擾多址接入信道[9]、干擾廣播信道[10]、具有中繼的信道[11]等。

現(xiàn)有的多用戶MIMO系統(tǒng)干擾對齊算法主要分為兩類：基于信號(hào)空間的干擾對齊算法與基于信號(hào)尺度的干擾對齊算法。基于信號(hào)尺度的干擾對齊算法因難以精確跟蹤信道變化均實(shí)用性較差。基于信號(hào)空間的干擾對齊算法為了實(shí)現(xiàn)干擾對齊，必須聯(lián)合設(shè)計(jì)發(fā)送預(yù)編碼矩陣與接收側(cè)的干擾抑制矩陣，但一般是非凸問題很難求解。在實(shí)際中經(jīng)常采用迭代的方法來求解發(fā)送預(yù)編碼矩陣與接收側(cè)的干擾抑制矩陣。

目前基于迭代的干擾對齊算法在高信噪比下性能較優(yōu)越，但由于實(shí)際應(yīng)用場景如小區(qū)邊緣信噪比較低，因此中低信噪比區(qū)域的性能是實(shí)際無線系統(tǒng)干擾對齊最具潛在的應(yīng)用，具有較大的研究意義?；诘蠼忸A(yù)編碼矩陣與接收側(cè)的干擾抑制矩陣的方法主要有最小干擾泄露算法[12](Minimum Weighted Leakage Interference，Min-WLI)、最大信干噪比算法[12](Maximum Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio，Max-SINR)、最小均方誤差算法[13](Minimum Mean Square Error,MMSE)，但是，最小干擾泄露算法未考慮噪聲的影響，因此在中低信噪比時(shí)可達(dá)的和速率并不是最佳的；最大信干噪比算法在中低信噪比區(qū)域算法性能較優(yōu)越，但算法的收斂性無法保證；最小化均方誤差算法既可以使系統(tǒng)獲得中低信噪比時(shí)的性能，又可以保證其收斂性，目前在迭代法中比較常用。本文采用的迭代方法以最小化均方誤差作為優(yōu)化準(zhǔn)則。

所有迭代方法中首先都要對發(fā)送預(yù)編碼矩陣進(jìn)行初始化處理，目前預(yù)編碼矩陣的初始化常有3種方法，即利用右奇異矩陣初始化[14]、利用確定的IA解[3]進(jìn)行初始化、隨機(jī)矩陣初始化[15-16]。這幾種預(yù)編碼矩陣的初始化方法對系統(tǒng)性能的影響是不同的[17]，其中利用確定的IA解進(jìn)行初始化方法只能在一定條件下獲得所以很少采用；隨機(jī)矩陣初始化方法雖然實(shí)現(xiàn)簡單但未考慮信道特性的影響；利用直通信道右奇異矩陣初始化的方法只考慮有用信號(hào)的影響而未考慮干擾的影響。而本文所提算法是在最小化均方誤差算法的基礎(chǔ)上對預(yù)編碼的初始化值進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)過程中既考慮了干擾的影響也考慮了有用信號(hào)的影響。在算法具體實(shí)現(xiàn)過程中選取和MSE最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，在處理時(shí)利用正交三角(Quadrature Rectangular，QR)分解將信道空間分為有用信號(hào)空間與干擾信號(hào)空間來進(jìn)行預(yù)編碼矩陣的初始化設(shè)計(jì)，然后將其固定，得到干擾抑制矩陣，再將干擾抑制矩陣固定得到預(yù)編碼矩陣，經(jīng)過反復(fù)迭代得到發(fā)送預(yù)編碼矩陣與干擾抑制矩陣的最優(yōu)解。

文中所使用的矩陣、向量等操作符號(hào)的含義：Id表示d×d的單位矩陣，AH、A-1與|A|分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置、逆與行列式，‖a‖2與‖A‖F(xiàn)分別表示向量a的2范數(shù)、矩陣A的Frobenius范數(shù)，Tr(A)、Rank(A)與E[A]分別表示矩陣A的跡、秩與統(tǒng)計(jì)期望。

2 系統(tǒng)模型

K(K≥3)用戶MIMO干擾信道，每個(gè)用戶包括一個(gè)發(fā)射機(jī)和相應(yīng)的接收機(jī)，即用戶k∈{1,2,…,K}由k個(gè)發(fā)射機(jī)與k個(gè)接收機(jī)組成，且發(fā)射機(jī)k只與接收機(jī)k進(jìn)行通信。每個(gè)發(fā)射機(jī)的天線數(shù)為M，每個(gè)接收機(jī)的天線數(shù)為N，每個(gè)用戶發(fā)送數(shù)據(jù)流的數(shù)目為d，K用戶干擾信道系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 K用戶干擾信道系統(tǒng)模型Fig.1 System model for the K user interference channel

用戶k接收的信號(hào)為

(1)

(2)

系統(tǒng)的和速率可以表示為

(3)

若完全刪除干擾，預(yù)編碼矩陣與干擾抑制矩陣必須滿足下面的線性干擾對齊條件：

(4)

(5)

式(4)是干擾迫零條件，式(5)可以保證期望信道獲得有效數(shù)據(jù)流的數(shù)目。當(dāng)K、M、N、d滿足某些約束時(shí)上述條件是可行的，一般僅當(dāng)M+N-(K+1)d≥0時(shí)系統(tǒng)是合適的。為簡化分析，此處假定系統(tǒng)是合適系統(tǒng)。預(yù)編碼矩陣與干擾抑制矩陣在設(shè)計(jì)時(shí)有很多優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，本文重點(diǎn)探討均方誤差最小化的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)。

3 基于MSE的干擾對齊的迭代算法

3.1 問題描述

本文在設(shè)計(jì)K用戶MIMO干擾信道的發(fā)送預(yù)編碼矩陣及接收側(cè)的干擾抑制矩陣時(shí)其優(yōu)化目標(biāo)及約束條件同文獻(xiàn)[18],優(yōu)化問題描述為

(6)

MSEk的表達(dá)式如式(7)所示：

(7)

利用拉格朗日乘子法可求得Vk和Uk的最優(yōu)解為

(8)

(9)

式中：λk為發(fā)射機(jī)k與功率約束相關(guān)的拉格朗日乘子。從式(8)～(9)可以看出，不能直接求解Vk和Uk，此處采用迭代的方法進(jìn)行求解。

3.2 迭代算法描述

迭代算法步驟如下：

Step1 初始化發(fā)送預(yù)編碼矩陣Vk。

Step2 將Vk代入式(9)優(yōu)化接收側(cè)的干擾抑制矩陣Uk。

Step3 將λk與Uk代入式(8)求取新的Vk。

Step4 重復(fù)Step 2～3直至收斂或者到預(yù)定義的收斂次數(shù)。

其中發(fā)送預(yù)編碼矩陣初始化采用了右奇異矩陣初始化及隨機(jī)矩陣初始化的方法[14,18],但這些方法未考慮到干擾信號(hào)的影響。

4 預(yù)編碼矩陣初始值的重新設(shè)計(jì)

目前文獻(xiàn)常用的隨機(jī)矩陣初始化和右奇異矩陣初始化兩種預(yù)編碼矩陣初始化方法，前者未考慮信道特性的影響，而后者未考慮干擾信號(hào)的影響，因此提出一種新的預(yù)編碼初始值設(shè)計(jì)的新方法，該方法考慮了干擾信號(hào)的影響。

4.1 第一個(gè)接收用戶端預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)

第一個(gè)用戶接收端接收的信號(hào)可以表示為

(10)

式中：V1j表示第j個(gè)發(fā)送用戶到第一個(gè)接收用戶的預(yù)編碼矩陣。

對H1j進(jìn)行QR分解得

(11)

式中：R1j是M×M的上三角矩陣；Q1j是N×N的酉矩陣，其列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的。根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍狧1j與Q1j具有相同的統(tǒng)計(jì)特性，現(xiàn)將Q1j表示為

Q1j=[Q11j|Q21j] 。

(12)

式中：Q11j、Q21j分別為N×d、N×(M-d) 的矩陣，分別表示第j個(gè)發(fā)送用戶到第1個(gè)接收用戶發(fā)送信號(hào)的信號(hào)子空間的基向量和其正交子空間的基向量。要做到干擾對齊，必須將除第一個(gè)發(fā)送用戶以外的發(fā)送信號(hào)子空間對齊到第一個(gè)發(fā)送用戶對的正交子空間。因此，需要采用W1j(j≠1)對Q11j變換使其對齊Q211，即要求W1j使

(13)

由W1j的正交性有

(14)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[19]得到

(17)

(18)

根據(jù)式(18)可求得除第一個(gè)發(fā)送用戶以外的其他用戶發(fā)送到第1個(gè)接收用戶的預(yù)編碼矩陣

(19)

4.2 第k(k>1)接收用戶端預(yù)編碼矩陣的設(shè)計(jì)

第k個(gè)用戶接收端接收的信號(hào)為

(20)

(21)

(22)

Qkj=[Q1kj|Q2kj] 。

(23)

式中：Q1kj、Q2kj分別表示第j個(gè)發(fā)送用戶到第k個(gè)接收用戶發(fā)送信號(hào)的信號(hào)子空間的基向量和其正交子空間的基向量。要做到干擾對齊，必須將除第k個(gè)發(fā)送用戶以外的發(fā)送信號(hào)子空間對齊到第k個(gè)發(fā)送用戶的正交子空間。因此，需要采用Wkj(j≠k)對Q1kj變換使其對齊Q2kk，即要求Wkj使

(24)

同第一個(gè)接收用戶端預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)相似，求解上式時(shí)，可令

(25)

對Ckj作SVD分解:

(26)

利用文獻(xiàn)[19]得到

(27)

(28)

根據(jù)式(28)可求得除第k個(gè)發(fā)送用戶以外的其他用戶發(fā)送到第k個(gè)接收用戶的預(yù)編碼矩陣

(29)

根據(jù)上式可求得發(fā)送干擾用戶到第k個(gè)接收用戶的預(yù)編碼矩陣，為簡化分析，直通信道的預(yù)編碼矩陣Vkk可假定為單位陣。

5 所提算法的收斂性能

MSE(Uk(n),Vk(n))≥MSE(Uk(n+1),Vk(n)) 。

(30)

當(dāng)解出接收側(cè)的干擾抑制矩陣Uk(n+1)后，利用式(8)可以更新發(fā)送側(cè)的預(yù)編碼矩陣，同理優(yōu)化后系統(tǒng)均方誤差和也不會(huì)增加，則有下式成立：

MSE(Uk(n+1),Vk(n))≥MSE(Uk(n+1),Vk(n+1)) 。

(31)

綜合式(30)和式(31)可得到

MSE(Uk(n),Vk(n))≥MSE(Uk(n+1),Vk(n+1)) 。

(32)

在每次迭代過程中，均方誤差和都不會(huì)增加，表明所提算法是收斂的，有一個(gè)局部最優(yōu)解。

6 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)對優(yōu)化算法的性能進(jìn)行分析，主要研究優(yōu)化算法系統(tǒng)的收斂性能、MSE性能、和速率性能，其中系統(tǒng)的收斂性能主要研究迭代次數(shù)的變化對系統(tǒng)和速率的影響，MSE性能主要研究不同預(yù)編碼初始化方法下信噪比的變化對均方誤差和的影響。最后將本文所提算法與最小干擾泄露算法、最大信干噪比算法進(jìn)行對比分析。具體仿真環(huán)境如下：所有用戶的功率等功率分配，即Pk=P,?k，用戶數(shù)為3，發(fā)送端天線數(shù)為2，接收側(cè)天線數(shù)為6，每個(gè)用戶發(fā)送數(shù)據(jù)流的個(gè)數(shù)為2。以上數(shù)據(jù)符合合適系統(tǒng)的條件，仿真中的信道模型采用瑞利平坦衰落信道，均方誤差和與系統(tǒng)的和速率值均取的是1 000次信道實(shí)現(xiàn)的均值，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

6.1 收斂性能分析

不同的迭代次數(shù)對系統(tǒng)和速率的影響如圖2所示。

圖2 不同信噪比下和速率與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.2 Sum rate vs.iteration number with different SNR

由圖2可知，前6次迭代在高信噪比時(shí)隨著迭代次數(shù)的增加系統(tǒng)的和速率逐漸增加，多于6次迭代后系統(tǒng)的和速率變化平緩。另從信噪比變化系統(tǒng)和速率與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線可知，信噪比增大，信道環(huán)境較好時(shí)系統(tǒng)的和速率逐漸增大。從上述曲線可看出所提算法具有一定的收斂性。

6.2 MSE和性能分析

SNR=-5 dB、SNR=10 dB時(shí)不同預(yù)編碼初始化方法下MSE和與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖3所示，其中QR分解初始化指的是本文所提出的初始化預(yù)編碼矩陣方法，將其與隨機(jī)矩陣初始化、右奇異矩陣初始化方法進(jìn)行比較，此處迭代次數(shù)最大為40次。由圖3可以看出，在高信噪比算法收斂時(shí)3種預(yù)編碼矩陣初始化方法均具有較低的均方誤差和，在低信噪比算法收斂時(shí)基于QR分解的初始化方法比隨機(jī)矩陣初始化、右奇異矩陣初始化方法具有更低的均方誤差和，這是由于所提算法在預(yù)編碼矩陣初始化設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮了干擾的影響所以具有更好的性能。

(a)SNR=-5 dB

(b)SNR=10 dB圖3 不同預(yù)編碼初始化方法下MSE和與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.3 Sum MSE vs.iteration number with different precoding initialization methods

6.3 不同算法和速率性能分析

最小干擾泄露算法、最大信干噪比算法、本文優(yōu)化算法的和速率與信噪比的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 不同算法和速率與信噪比的關(guān)系(15次迭代)Fig.4 Sum rate vs.SNR with different algorithms(15 iterations)

考慮到算法迭代15次時(shí)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，所以3種算法在比較時(shí)迭代次數(shù)均設(shè)定為15次。由仿真結(jié)果可看出，隨著信噪比的增加3種算法的和速率均增加，但本文優(yōu)化算法性能要優(yōu)于最小干擾泄露算法與最大信干噪比算法，最大信干噪比算法在中低信噪比時(shí)性能要優(yōu)于最小干擾泄露算法，表明本文所提優(yōu)化算法具有更好的系統(tǒng)性能。

6.4 不同算法的復(fù)雜度分析

最小均方誤差(隨機(jī)矩陣初始化)、最大信干噪比、最小干擾泄露及本文所提算法(QR分解初始化)的浮點(diǎn)操作數(shù)隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系如圖5所示，可以看出4種算法中最大信干噪比算法的復(fù)雜度最高，本文所提算法復(fù)雜度次之，與最小均方誤差算法復(fù)雜度相近，最小干擾泄露算法的復(fù)雜度稍低。4種算法總體復(fù)雜度相近，但本文所提算法具有更高的和速率性能，表明本文所提算法性能更優(yōu)。

圖5 不同算法復(fù)雜度分析Fig.5 Complexity analysis of different algorithms

7 結(jié)束語

本文在MIMO干擾信道中基于均方誤差和最小化的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)提出了一種預(yù)編碼矩陣初始化的新方法，該方法在設(shè)計(jì)預(yù)編碼矩陣初始值時(shí)考慮了干擾的影響。理論分析和仿真結(jié)果表明本文所提算法具有一定收斂性，同時(shí)與其他算法的比較中可以看出本文所提算法具有更高的和速率，在低信噪比時(shí)具有更低的均方誤差和。但本文在系統(tǒng)分析時(shí)信道狀態(tài)信息是已知的，信道狀態(tài)信息不完備的系統(tǒng)性能將作為今后進(jìn)一步的研究方向。