數(shù)學(xué)意境的文學(xué)表達(dá)*

郭培俊

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江溫州325003）

一、數(shù)學(xué)意境的含義

數(shù)學(xué)與文學(xué)，感覺疏遠(yuǎn)，其實(shí)兩者之間也有一座無形的“鵲橋”貫通，這便是——意境。

意境是指作品中所描述的形象和表現(xiàn)的思想感情融合一致而形成的一種藝術(shù)境界[1]。意是情與理的統(tǒng)一，境是形與神的統(tǒng)一，情理、形神相互滲透、相互制約就形成了意境。文學(xué)有意境，小品有意境，戲劇、電影電視都有意境。如果把數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)符號理解為數(shù)學(xué)的形，那么，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)法則則可以理解為數(shù)學(xué)的神。數(shù)學(xué)意境，就是數(shù)學(xué)形與神所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想。

意境，是文學(xué)和數(shù)學(xué)所能通達(dá)的共同境界，共同的理想勢態(tài)：

（一）文學(xué)意境和數(shù)學(xué)意境都具有三個(gè)特點(diǎn)。文學(xué)意境：表真摯之情、狀飛動之趣、傳萬物之靈趣，數(shù)學(xué)意境：表永恒真理、狀變化規(guī)律、傳“萬物皆數(shù)”之靈。

（二）文學(xué)意境和數(shù)學(xué)意境的結(jié)構(gòu)特征均是虛實(shí)相生。意境由兩部分組成：一是“如在眼前”較實(shí)的因素，稱為“實(shí)境”；二是“見于言外”較虛的部分，稱為“虛境”。虛境是實(shí)境的升華，體現(xiàn)著實(shí)境創(chuàng)造的意向和目的，體現(xiàn)著整個(gè)意境的藝術(shù)品位和審美效果，制約著實(shí)境的創(chuàng)造和描寫，處于意境結(jié)構(gòu)中的靈魂、統(tǒng)帥地位。虛靈性是意境的又一特征[1]。數(shù)學(xué)知識也往往具有高度抽象性，一個(gè)虛數(shù)單位就是集抽象性和靈性于一身的典型代表。

（三）文學(xué)意境具有“得意忘象”的情理，而數(shù)學(xué)也具有“得意忘形”情理。比如導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上切點(diǎn)處切線的斜率，但它抽象意義或?qū)嵸|(zhì)卻是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，一旦理解了導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)，在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)，就可以暫時(shí)忘掉其幾何意義——切線的形。

《高等數(shù)學(xué)》一些概念和定理，抽象性強(qiáng)，定義嚴(yán)謹(jǐn)，尤以初學(xué)者難理解，更難以達(dá)到熟練掌握程度。通過學(xué)生熟知的文學(xué)作品，比如唐詩宋詞、成語警句等的引入，借用文學(xué)意境的表達(dá)，來幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念、公式的意思或含義，撇開數(shù)學(xué)講數(shù)學(xué)，看似走了彎路，實(shí)則是曲徑通幽，收到“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的奇效，能快速達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

畢竟，數(shù)學(xué)具有高度抽象性。一個(gè)極限的概念就讓人費(fèi)解（可以表達(dá)但難以意會），一個(gè)無窮小的概念，由模糊至清晰也難以琢磨透徹，導(dǎo)致數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生第二次危機(jī)，差點(diǎn)讓《微積分》坍塌，等等。數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一帆風(fēng)順的，其傳授也是困難曲折的。數(shù)學(xué)教育史上，有人回避無窮小，想重構(gòu)高等數(shù)學(xué)，但以失敗告終；有人回避極限的精確定義，采用定性方法重新定義了極限，如今的高職高專教材便是出此一轍，但很難達(dá)到數(shù)學(xué)的精確境界。如何簡要而又完整傳達(dá)數(shù)學(xué)的精髓，把數(shù)學(xué)的意境表現(xiàn)出來，是《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的最高境界。

當(dāng)用數(shù)學(xué)語言直接表達(dá)數(shù)學(xué)概念難以理解時(shí)，特別針對初學(xué)者，可借用學(xué)生熟悉的文學(xué)意境遷移過來，籍以類比轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)概念的意境，達(dá)到“醉翁之意不在酒，在于山水之間也”的效果。

二、數(shù)學(xué)意境與文學(xué)對應(yīng)的三種方式

（一）數(shù)學(xué)的神借助文學(xué)的景來表達(dá)

數(shù)學(xué)是關(guān)于符號的學(xué)問，數(shù)學(xué)定義、定理，往往要用符號來表達(dá)，言簡意賅，但對初學(xué)者而言，往往顯得過于抽象、難懂。數(shù)學(xué)含義、數(shù)學(xué)思想（神）借助于文學(xué)情景的再現(xiàn)來類比聯(lián)想，達(dá)到化抽象為具體、復(fù)雜為簡單的神奇效果。

1.“鄰域”概念教學(xué)。研究函數(shù)在某點(diǎn)左右附近的局部性質(zhì)需介入“鄰域”概念。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)“鄰域”就是中學(xué)所學(xué)開區(qū)間，兩者有什么區(qū)別？《高等數(shù)學(xué)》為什么開篇就講“鄰域”概念？此時(shí)引出“近朱者赤，近墨者黑”（晉·傅玄《太子少傅箴》）成語典故，取其原意，說明要描述一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)和特征，只須通過觀察分析局部某些點(diǎn)的性質(zhì)和特征就可以推斷整體情況了。采用逆向思維，把成語改成“赤者近朱，黑者近墨”其意境更勝一籌，用來比喻高等數(shù)學(xué)構(gòu)建以“鄰域”為重要核心思想方法是奠定數(shù)學(xué)分析成功的基石，恰如其分。設(shè)想：如果只孤立注視一點(diǎn)，它有什么性質(zhì)?除能求函數(shù)值外（點(diǎn)觀），卻很難發(fā)現(xiàn)其他變化的規(guī)律，失敗原因在于用靜止孤立觀點(diǎn)看問題；若擴(kuò)大到整個(gè)定義域內(nèi)觀察，由于范圍太大，雖能得出一些宏觀長期趨勢（宏觀）規(guī)律（如函數(shù)的單調(diào)性、周期性、有界性），但范圍過于寬泛，一些隱藏的性質(zhì)（中觀）卻很難發(fā)現(xiàn)（如連續(xù)性、可導(dǎo)性），或即使發(fā)現(xiàn)了卻很難描述清楚?！按笾翢o外，小至無內(nèi)”，“鄰域”向外可擴(kuò)充到無窮區(qū)間，小可退縮至一點(diǎn)?！班徲颉备拍?，很多老師不介紹，或蜻蜓點(diǎn)水一下，是教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中的一個(gè)敗筆，是沒有認(rèn)識到“鄰域”概念作為一種思想方法、策略在高等數(shù)學(xué)分析中的重要性所致。

2.“向量”概念教學(xué)。自由向量的特點(diǎn)是與起點(diǎn)無關(guān)，可平移到任何起點(diǎn)處，是為“糊涂”；向量不僅有大小，而且有方向，是為精確。然而，正是與起點(diǎn)的無關(guān)性，才有了任意兩個(gè)向量可以相加、相減、相叉乘的定義，正是有了這種“不管起點(diǎn)在哪”的糊涂性，才有了自由向量的精確性、自由性、完美性。向量的這種糊涂性與精確性的矛盾統(tǒng)一，正如鄭板橋的名言“聰明難，糊涂尤難，由聰明而轉(zhuǎn)入糊涂更難”。學(xué)好高等數(shù)學(xué)，有時(shí)要具備這種由精確而轉(zhuǎn)為糊涂的策略思想。除了向量以外，在函數(shù)單調(diào)性、極值判定時(shí)，在給定的區(qū)間里任取一個(gè)數(shù)作代表，也正是這種由精確而轉(zhuǎn)糊涂的體現(xiàn)；還有在利用夾副準(zhǔn)則求極限、無窮級數(shù)的收斂性判定時(shí)，往往要運(yùn)用不等式的放縮技巧，至于放縮到何程度，也是比較糊涂的，只要有效果就行。

3.“連續(xù)函數(shù)的介值定理及微分中值定理”教學(xué)。如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

f(a)f(b)＜0,則在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)c,使

f(c)=0。即方程 f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根。但這個(gè)根究竟在哪，定理并沒有指出，是很模糊。

聯(lián)想到賈島《尋隱者不遇》的詩句“松下問童子，言師采藥去；云深不知處，只在此山中?！比宋囊饩趁利悇尤耍c數(shù)學(xué)上的介值定理意境十分相通。數(shù)學(xué)上的存在性定理還有微分中值定理，定理中的點(diǎn)ξ也沒給出具體答案，但ξ肯定是存在的。

4.“極限”概念教學(xué)。為了對極限有一個(gè)形象直觀的印象，先讓學(xué)生朗讀詩句：“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下楊州。孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”（唐·李白《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》）。老師在學(xué)生朗讀時(shí)，畫出示意圖：樓臺、長江、帆船，并用x表示帆船與黃鶴樓的距離，用y表示帆船的視覺高度（遠(yuǎn)影），詩中之景“天際”可形象地用x→∞表示，則整個(gè)詩句的意境可表示成：“當(dāng)x→∞時(shí)，y→0”，記作極限的概念和符號順其自然得以引出[3]。

5.“無界函數(shù)”教學(xué)。講無界函數(shù)時(shí)，引用配畫詩“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來”（宋·葉紹翁《游園不值》），用墻和紅杏類比界限和函數(shù)，意境優(yōu)美而又傳情達(dá)意，原本枯燥難懂的數(shù)學(xué)概念，變成了富有情感易接受的唯美詩篇，其教學(xué)效果不言而喻[4]。

9.“法向量”教學(xué)。垂直于平面的向量叫法向量。引用詩句“安得齊天孫大圣，神針底定太平洋”（阿袁《又見》）的意境能形象、直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形和概念本意。

（二）數(shù)學(xué)的形借用文學(xué)的神來表達(dá)

高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是函數(shù)，繪制函數(shù)圖形能形象直觀地呈現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，清晰的圖像能高效快速促進(jìn)對函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)與掌握。記住了圖形就能由外及里推知函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。但是，當(dāng)函數(shù)圖形比較難理解、難記憶時(shí)，可以通過文學(xué)意境的“意像”來比劃，刻痕。還有一些通過不完全歸納法推得的數(shù)學(xué)公式，包含符號（正負(fù)）規(guī)律、系數(shù)規(guī)律、代數(shù)式的規(guī)律，不易記憶，這些公式的“形”也可以根據(jù)其特點(diǎn)，借助于文學(xué)意境來刻畫。

圖1 函數(shù)y=xsin圖像

2.“高階導(dǎo)數(shù)公式”教學(xué)。對（高階導(dǎo)）函數(shù)y=anxn+anxn-1+…+a0求一階、二階、n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，最終n+1階導(dǎo)數(shù)凈化為0。對求導(dǎo)結(jié)果的“形”借成語“一代不如一代”的“神”來傳達(dá)，強(qiáng)調(diào)其降冪的特點(diǎn)。

對y=erx求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，對結(jié)果y(n)=rnerx的“形”總結(jié)成“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”的“神”，說明核心部分（指數(shù)函數(shù)）不變而系數(shù)變復(fù)雜了；對高階導(dǎo)數(shù)提煉成“江山代有人才出”或“層出不窮”。

（三）數(shù)學(xué)的神借助文學(xué)的神來表達(dá)

無窮數(shù)列、級數(shù)，由于無限性，往往比較抽象，神奇難料。但其精神（思想）與文學(xué)中的詩詞、名言、警句的思想是相通的。

圖2 《使至塞上》的數(shù)學(xué)意境

“情與景匯，意與象通”是藝術(shù)美的欣賞依據(jù)。如前述，可以借助文學(xué)來表達(dá)數(shù)學(xué)意境，反過來，也可以借助數(shù)學(xué)描繪詩詞的意境。唐詩絕唱“大漠孤煙直，長河落日圓”（王維《使至塞上》），描繪了一幅空曠荒寂的塞外黃昏景象。如果把“大漠孤煙直”想象成一條垂直于平面的直線，那么就可以把“長河落日圓”想象成一個(gè)圓切于一條直線[5]。詩意還可以畫成如圖2所示。

三、用文學(xué)表達(dá)數(shù)學(xué)意境的功效

在數(shù)學(xué)課上滲透文學(xué)，讓數(shù)學(xué)意境通過文學(xué)來表達(dá)，教師不單單提供純數(shù)學(xué)知識，還輔之于文學(xué)佐料，作為一種教學(xué)“供給側(cè)”改革的探索，其教學(xué)功能效果至少有以下4種。

（一）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)的新概念，抽象難懂，但文學(xué)詩句學(xué)生是耳熟能詳?shù)?，而且朗朗上口，讓學(xué)生在誦讀詩文中，體味數(shù)學(xué)的意境和美感，其樂無窮，興趣備增。通過文學(xué)的意境來旁敲側(cè)擊數(shù)學(xué)的意境，降低了理解難度，學(xué)習(xí)效率大幅提高。

（二）重啟學(xué)生自信，拓展學(xué)生通識。大多數(shù)高職生的中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，過去的頻繁考試，成績不理想，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去了信心。通過轉(zhuǎn)移話題，借學(xué)生熟悉的文學(xué)知識來幫助理解數(shù)學(xué)知識，打通了學(xué)習(xí)障礙，拓展了思維品質(zhì)，智商情商皆有提高，素質(zhì)課堂落地生根，教學(xué)效果持續(xù)提升。

（三）活躍創(chuàng)新思維，提高創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)和文學(xué)結(jié)合，本身就是一種創(chuàng)意，“文學(xué)能幫助我們更有效、更深刻地欣賞數(shù)學(xué)知識與思想”[6]。中小學(xué)雖然有那么幾個(gè)老師進(jìn)行了點(diǎn)上嘗試，但高職院校的《高等數(shù)學(xué)》課上卻鮮見，針對高職生特點(diǎn)（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱）和課程要求（淡化證明強(qiáng)調(diào)應(yīng)用），更適合采用數(shù)學(xué)文學(xué)相融合的方法，達(dá)到定性理解，適度應(yīng)用的目的。

（四）構(gòu)建教學(xué)方法，改革教學(xué)課堂。數(shù)學(xué)文學(xué)的滲透對學(xué)生而言，可以激發(fā)興趣、重啟對數(shù)學(xué)的信心，對老師而言，是一種教學(xué)創(chuàng)新，一種新型教學(xué)風(fēng)格的塑造；對數(shù)學(xué)教育而言，是一種教學(xué)理念和方式的改革。

意境是數(shù)學(xué)和文學(xué)共同追求的最高境界。數(shù)學(xué)是一種學(xué)問，是一種思想，是一種符號，當(dāng)然也是一種文化；文學(xué)是一種學(xué)問，寓一種思想，載一種文字，傳承一種民族文化。文學(xué)與數(shù)學(xué)意境都追求：有限與無限的轉(zhuǎn)換；虛與實(shí)的跳躍；情與景的融合。

目前經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)都在探索實(shí)踐供給側(cè)改革，用改革的辦法推進(jìn)結(jié)構(gòu)調(diào)整，提高生產(chǎn)率。數(shù)學(xué)教學(xué)借鑒“供給側(cè)”改革理念，通過改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的困難程度，助推學(xué)生理解能力提高，從而提升課堂教學(xué)效率和效果。數(shù)學(xué)晦澀難懂，用文學(xué)語言解釋明白，就是一種教學(xué)供給側(cè)改革。中國文化博大精深，充分挖掘文學(xué)中的思想、方法、意境，對接數(shù)學(xué)教學(xué)，營造輕松和諧的教學(xué)氛圍，改善課堂教學(xué)環(huán)境，把數(shù)學(xué)意境用文學(xué)來表達(dá)，數(shù)學(xué)教學(xué)的“供給側(cè)”改革將盛開一朵奇葩。