數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的滲透

朱瑞蓉

【摘 要】 成功的教學(xué)不僅教會(huì)學(xué)生知識(shí)，而且要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，即不僅要學(xué)生“學(xué)會(huì)”，而且要學(xué)生會(huì)學(xué)，要學(xué)生會(huì)獨(dú)立、主動(dòng)地去獲取已有知識(shí)，會(huì)創(chuàng)造性地探索新的知識(shí).要學(xué)生“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，會(huì)提出問題、思考問題.數(shù)學(xué)思想是指人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)過程中對(duì)其內(nèi)容、方法、結(jié)構(gòu)思維方式及其意義的基本看法和本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是人們對(duì)數(shù)學(xué)的觀念系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，具有本質(zhì)性、概括性.我們數(shù)學(xué)教師在傳授知識(shí)的同時(shí)，必須明確、恰當(dāng)?shù)刂v解與滲透數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想；初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】 O12 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 B 【文章編號(hào)】 2095-3089（2018）07-00-01

布盧姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》明確指出，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”。如果學(xué)生在掌握雙基的同時(shí)，接受了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)方法，就能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高分析問題和解決問題的能力，并為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，即把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，把高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題，把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，把一個(gè)綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本問題。因此學(xué)生學(xué)會(huì)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，既包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、式、形的相互轉(zhuǎn)換，又包含了心理達(dá)標(biāo)的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)化的目的是不斷發(fā)現(xiàn)問題，然后分析問題，最終解決問題。

一、初中數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用

在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想方法，但最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論思想方法、化歸轉(zhuǎn)化的思想方法、函數(shù)的思想方法，能掌握好這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了初中數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂。下面就以上四種方法分別加以舉例說明。

1.數(shù)形結(jié)合的思想方法

所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮，或者把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，以達(dá)到使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用廣泛，靈活巧妙。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微?！本褪菍?duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的作用進(jìn)行了高度的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多定律、定理及公式等?？梢杂脠D形來描述。如勾股定理、平方差公式等都是通過幾何圖形來得到的結(jié)論。利用圖形的直觀，可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數(shù)學(xué)問題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創(chuàng)意的解題思路。

2.分類討論的思想方法

分類討論的思想方法是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。在初中數(shù)學(xué)中常見的需分類討論的知識(shí)點(diǎn)有：絕對(duì)值，一元二次方程根的情況，簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)（外）角或兩邊，已知直角三角形的兩邊，未明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的全等或相似，點(diǎn)在圓的優(yōu)弧或劣弧上，在平面直角坐標(biāo)系中已知兩點(diǎn)構(gòu)建等腰三角形或直角三角形等。

掌握分類討論思想，有助于提高學(xué)生理解知識(shí)、梳理知識(shí)和掌握新知識(shí)的能力。對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類，可以降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的針對(duì)性，因此在教學(xué)中應(yīng)啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類討論的思想方法。

3.化歸轉(zhuǎn)換的思想方法

化歸，指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，從而最終解決原問題的一種思想。數(shù)學(xué)問題的解決過程其實(shí)就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，初中數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸轉(zhuǎn)換的思想方法。如代數(shù)式的求值中的未知向已知轉(zhuǎn)化；多元向一元的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；分式方程化為整式方程；高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化；四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題等。而實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的常用方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代入法等。例如：已知a-b=2，b-c=1，求代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。觀察此題，要求出此代數(shù)式的值很容易聯(lián)想到兩數(shù)差的平方公式，因此可將代數(shù)式進(jìn)行擴(kuò)大2倍并配方，變換出（a-b）2，（b-c）2，（a-c）2的形式，而根據(jù)題目條件易求出a-c=3，故代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca=1/2×[（a-b）2+（ac）2，（b-c）2]=1/2×[22+22+12]=7。

因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，首先要讓學(xué)生看到常用的很多數(shù)學(xué)方法的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，其目的就是把未知的量向已知的量轉(zhuǎn)化，復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單的問題轉(zhuǎn)化，從而在其腦海中樹立化歸轉(zhuǎn)化的思想方法；其次結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價(jià)值的思想方法。

4.函數(shù)的思想方法

函數(shù)思想的本質(zhì)是變量與變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。華東師大版教材把函數(shù)思想已經(jīng)滲透到初一、二教材的各個(gè)內(nèi)容之中。如根據(jù)不同的值求代數(shù)式的值、銳角三角函數(shù)等，因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要有意識(shí)地滲透函數(shù)的思想方法。例如某市的最后一題選擇題：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的兩根中有且僅有一根在0與1之間（不含0和1），則a的取值范圍是（ ）

A.a<3 B.a>3 C.a<-3 D.a>-3

首先關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-5=0有不同兩根，則a≠0，Δ>0，解得a>-15且a≠0，觀察和四個(gè)答案沒有太大的聯(lián)系，故必須從另一個(gè)角度去考慮此題，細(xì)看條件，此方程的兩根中有且僅有一根在0與1之間，故想到了函數(shù)的思想，可把方程ax2+2x-5=0轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=ax2+2x-5，當(dāng)x=0，則y=-5<0，則當(dāng)x=1，y=a-3必大于0，這樣才能保證此拋物線與x軸的交點(diǎn)在0到1之間，故選擇B。

通過對(duì)此題的分析，可在方程中慢慢傳達(dá)一種函數(shù)的思想方法，將方程這樣一個(gè)一般的概念轉(zhuǎn)換為函數(shù)與直線的交點(diǎn)，這樣就開闊了學(xué)生的視野，在學(xué)生的頭腦中就形成了以函數(shù)的觀點(diǎn)去領(lǐng)會(huì)方程的思想，這就是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。

滴水穿石，非一日之寒，要使學(xué)生真正具備靈活處理數(shù)學(xué)難題的思想，僅僅幾堂課是不能達(dá)到的，但是只要我們?cè)诮虒W(xué)中提煉數(shù)學(xué)思想方法來深化課堂教學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)建立在數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓，假以時(shí)日，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)就一定會(huì)日趨成熟。

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想貫穿在數(shù)學(xué)解題的始終，而轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，沒有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問題提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學(xué)習(xí)和熟悉轉(zhuǎn)化的思想，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)變換方法，去靈活地解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，將有利于提高數(shù)學(xué)解題的應(yīng)變能力和技巧。

參考文獻(xiàn)：

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