鋼彈簧浮置板動力吸振器設計

林龍鋒，周 力

（1. 廣州地鐵設計研究院，廣州 510000；2. 同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

在地鐵運行過程中，1由于軌道幾何不平順、剛度不平順、車輪踏面磨損等因素，車輪和鋼軌之間會發(fā)生動力作用，產生振動，使得車輪和鋼軌的磨損加劇，又進一步加大了輪軌間的振動，形成惡性循環(huán)。同時，輪軌間的振動會向道床、隧道、土壤和周圍建筑物傳播，給地鐵沿線居民的生活和工作帶來不利影響。這些因素大大制約了地鐵的建設和發(fā)展。

輪軌間相互作用產生的振動是不可避免的，那么，為了降低地鐵振動對沿線居民和建筑的影響，國內外研制和開發(fā)了各種軌道減振產品，如減振扣件、梯形軌枕、鋼彈簧浮置板等。其中，鋼彈簧浮置板是目前效果比較好的減振產品之一[1-4]。鋼彈簧浮置板的工作原理主要是通過低剛度的彈簧阻尼器，把振源（輪軌）與隧道壁隔開，進而減小隧道壁向外界環(huán)境傳播的振動，達到保護沿線建筑物和居民的目的?，F有研究表明，鋼彈簧浮置板在降低隧道壁振動的同時，往往會增大道床和鋼軌的振動，加劇輪軌間的相互作用，進一步惡化車輪和鋼軌接觸面，對軌道線路和車輛十分不利[5-6]。

為了解決這一問題，筆者研究通過在浮置板軌道上加設動力吸振器，降低由隔振所引發(fā)的浮置板軌道道床和鋼軌振動增大的部分。動力吸振器的工作原理主要是借助吸振器的阻尼和剛度元件，通過自身振動，從目標系統(tǒng)中吸收能量并進行消耗，從而降低目標系統(tǒng)的振動。目前，國內外已經有很多關于動力吸振器在工程中的研究與應用[7-8]，在城市軌道交通行業(yè)主要應用于鋼軌，而在浮置板上應用較少。將單自由度動力吸振器設計理論和多模態(tài)控制理論相結合，根據有限元模型中車輛運行狀態(tài)下浮置板軌道振動頻譜特性，對浮置板動力吸振器的參數進行優(yōu)化設計，并分析了浮置板動力吸振器的制振效果。

1 動力吸振器設計理論與方法

1.1 單自由度主振系統(tǒng)的動力吸振器設計

對于一個單自由度無阻尼主振系統(tǒng)，根據定點擴展理論[9]，其附加的動力吸振器設計參數如式（1）～（3）所示，其中，m、k、c分別為動力吸振器的質量、剛度和阻尼，μ 為動力吸振器的質量比，M、K為主振系統(tǒng)的質量和剛度。

當動力吸振器處于最優(yōu)設計條件時，即滿足最優(yōu)同調條件和最優(yōu)阻尼條件，主振系統(tǒng)的最大振幅比由式（4）決定。由式（1）～（4）看出，動力吸振器的參數和主振系統(tǒng)的最大振幅比均由動力吸振器的質量比參數決定。增加質量比可以提高制振的效果，但會使整體結構變重。為了避免增加過大的質量，一般質量比不大于0.2。

文獻[10]給出了單自由度無阻尼主振系統(tǒng)附加了滿足最優(yōu)設計條件的動力吸振器后的強迫振動最大振幅比近似值：

其中，eqζ是與最優(yōu)狀態(tài)的動力吸振器等價的單自由度系統(tǒng)的阻尼比。利用式（6）可以確定為了達到期望的減振效果所需的動力吸振器的質量比。

1.2 多自由度主振系統(tǒng)的動力吸振器設計

對于單自由度主振系統(tǒng)，可以通過定點擴展理論較為簡單地計算出動力吸振器的參數。但現實中，主振系統(tǒng)往往是多自由度系統(tǒng)，且各自由度之間相互耦合，很難通過系統(tǒng)的頻響函數直接求得動力吸振器的最優(yōu)同調條件和最優(yōu)阻尼條件。這時，首先需要利用坐標轉換將多自由度系統(tǒng)解耦，轉換成多個互不干涉的單自由度系統(tǒng)，然后利用單自由度系統(tǒng)動力吸振器的設計方法進行設計。文獻[10]認為可以將以單自由度為對象的動力吸振器的最優(yōu)設計法與模態(tài)控制理論相結合，即以各個模態(tài)為控制對象，將單自由度動力吸振器的最優(yōu)設計關系式應用到第i階模態(tài)的制振中。在第i階模態(tài)動力吸振器的設置位置，通過該點的等價質量確定吸振器的質量比后，根據單自由度系統(tǒng)吸振器設計中的最優(yōu)同調和最優(yōu)阻尼條件，確定用于對第i階模態(tài)制振的動力吸振器的參數。

1.3 浮置板軌道動力吸振器的參數設計步驟

根據2.2節(jié)中對多自由度多模態(tài)控制的動力吸振器設計方法的闡述，本文對浮置板軌道中道床板的制振設計主要按照以下3個步驟：1）根據車輛—軌道動力學原理，建立車輛—浮置板軌道有限元模型，計算出車輛運行過程中浮置板的動力響應；2）對浮置板進行模態(tài)分析，結合浮置板動力響應的頻譜特性，確定需要制振的模態(tài)階數以及吸振器的安裝位置；3）將單自由度吸振器設計原理與多模態(tài)控制相結合，計算出動力吸振器的參數。

2 鋼彈簧浮置板動力吸振器設計

2.1 車輛—軌道動力耦合有限元模型仿真與計算

本文利用ABAQUS有限元軟件，根據圖1所示的車輛—軌道簡化模型，建立車輛—鋼彈簧浮置板軌道有限元模型。其中，車體和轉向架均采用剛體，質量及轉動慣量均按照地鐵B型車輛參數進行設置；一系和二系懸掛用彈簧阻尼單元進行模擬；浮置板軌道扣件剛度為50 kN/mm；浮置板采用6 m板，鋼彈簧套筒間距1.2 m，鋼彈簧的剛度大小設置為6.9 kN/mm。

圖1 車輛—軌道動力模型Fig. 1 Vehicle-track dynamic model

本文主要關注浮置板垂向振動，選擇美國六級譜作為系統(tǒng)的激勵，把軌道不平順看作平穩(wěn)隨機過程，采用三角級數法，將高低不平順譜轉換為軌道高低不平順空間樣本[11]，圖2、圖3為在軌道高低不平順激勵下，車輛運行過程中的浮置板振動加速度的計算結果。

圖2 鋼彈簧浮置板中點振動時程曲線Fig. 2 Time history curve of mid-point on the steel-spring floating slab

圖3 鋼彈簧浮置板中點振動頻域Fig. 3 Vibration frequency curve of mid-point on the steel-spring floating slab

2.2 浮置板模態(tài)計算

由于本文主要關注浮置板垂向振動，所以所求的浮置板模態(tài)也是垂向的。利用ABAQUS有限元軟件，建立浮置板實體模型，采用Lanczos算法，求出浮置板前四階模態(tài)，如圖4所示。

圖4 浮置板前四階模態(tài)Fig. 4 First four modes of the floating slab

從2.1節(jié)圖3中可以看出，在100 Hz以內，鋼彈簧浮置板在37 Hz和85 Hz附近有較大的振動峰值，浮置板在這兩處各有一階模態(tài)（第2階模態(tài)和第3階模態(tài)）。因而，本文以浮置板的第2、3階模態(tài)為控制對象，通過設置相應的動力吸振器來控制浮置板在37 Hz和85 Hz附近的振動。

2.3 浮置板動力吸振器參數計算

根據多模態(tài)動力吸振器的設計方法，在將多自由度系統(tǒng)轉化為N個互不耦合的單自由度系統(tǒng)后，可以把系統(tǒng)各個模態(tài)視為控制對象，將單自由度動力吸振器的最優(yōu)設計關系式，即公式（1）～（5）應用到第i階模態(tài)的制振中。在確定了第i階模態(tài)的等價阻尼后，如果能夠獲得第i階模態(tài)的系統(tǒng)等價質量Mi，就可以計算出第i階模態(tài)動力吸振器的設計參數。系統(tǒng)的第i階模態(tài)的等價質量與吸振器的設置位置有關。具體來說，首先借助ABAQUS有限元軟件，采用Lanczos方法進行模態(tài)分析，得到第i階模態(tài)的一致慣性質量，并結合安裝位置的振幅與最大振幅的關系，計算得到等價質量；其次，在確定吸振器阻尼后，根據多模態(tài)控制與動力吸振器設計理論[10]，結合單自由度動力吸振器的最優(yōu)參數設計，從而計算出第i階模態(tài)的吸振器參數。

吸振器的設計質量大小與吸振器控制的目標模態(tài)階數以及安置的位置有關?？紤]到如果吸振器設計質量過大，兼顧到浮置板軌道空間布局，在實際應用中不便于實現，所以本文盡量將動力吸振器設置在所控制的模態(tài)振動較大處。因而，本文將抑制第2階模態(tài)振動的動力吸振器 1安置在浮置板沿軌道縱向端部（兩端各一個），即第2階振動模態(tài)波腹位置（變形最大處）；將抑制第3階模態(tài)振動的動力吸振器2安置在浮置板軌道外側的中部位置（左右兩側各一個），即第3階振動模態(tài)波腹位置，如圖5所示。同時，動力吸振器1的安置位置恰好是浮置板第3階振動模態(tài)的波節(jié)位置，動力吸振器2安置位置恰好是浮置板第2節(jié)階振動模態(tài)的波節(jié)位置，實現了各個模態(tài)的非耦合控制設計，避免了抑制不同模態(tài)振動的動力吸振器之間相互干擾。表1給出了控制各模態(tài)振動的動力吸振器最優(yōu)參數。

雖然在參數計算過程中，模型的質量是按照相應模態(tài)最大振幅點處對應的質量大小而設計，但考慮到實際情況，選擇具有一定體積的實體模型，結合軌道的空間、車輛運行安全等因素，動力吸振器1和2的質量塊幾何尺寸初步設置為1 m×1 m×0.1 m、0.6 m×0.4 m× 0.1 m。此外，質量塊通過彈簧/阻尼矩陣與浮置板相連，方向與板面垂直，彈簧/阻尼矩陣的總剛度和阻尼大小分別等于表1中對應的剛度和阻尼參數值。

圖5 動力吸振器位置分布Fig. 5 Position distribution diagram of the dynamic vibration absorber

表1 控制各模態(tài)振動的動力吸振器最優(yōu)參數Tab. 1 Optimal parameters of the dynamic vibration absorber for controlling the modal vibration

2.4 動力吸振器吸振特性分析

如圖6所示，將動力吸振器（DVA）設置在車輛—浮置板軌道有限元模型中，計算浮置板軌道在車輛載荷作用下的動力響應。其中，動力吸振器采用實體單元進行模擬，吸振器的剛度和阻尼用線性彈簧/阻尼單元矩陣表示。將設置有吸振器的浮置板道床中點的動力響應時域和頻域結果與未設置吸振器的浮置板道床中點的動力響應結果進行對比，如圖6、圖7所示。

圖6 浮置板道床中點振動加速度時程Fig. 6 Vibration time history curve of acceleration at the midpoint of the floating Slab

圖7 浮置板道床中點振動加速度頻譜Fig. 7 Vibration frequency curve of acceleration at the midpoint of the floating slab

如圖7所示，鋼彈簧浮置板在加設有動力吸振器后，板中點的加速度響應明顯降低。在未設置動力吸振器前，浮置板道床中點在100 Hz以內有兩個峰值，分別在30～37 Hz和79～89 Hz范圍內，各自對應浮置板的第2階模態(tài)和第3階模態(tài)，如圖8所示。在加設了動力吸振器后，這兩頻段的振動得到明顯改善，峰值分別從0.116 m/s2和0.077 m/s2降低至0.089 m/s2和0.044 m/s2，且對其他頻段（100 Hz以內）的振動基本沒有產生不利影響。這表明，動力吸振器有效抑制了浮置板的第2階模態(tài)和第3階模態(tài)的振動。此外，加設了動力吸振器后，浮置板在第四階模態(tài)頻率（103.2 Hz）附近的振動也有所降低。

浮置板上有、無設置動力吸振器時，鋼軌振動響應如圖 8所示。從圖中可以清楚地看到在設置了動力吸振器后，鋼軌的振動響應有所降低。這說明，通過在浮置板上安裝動力吸振器不但能夠降低道床板的振動，同時也能夠使得鋼軌低頻范圍內的振動略有減小。

圖8 軌道鋼軌振動加速度頻譜Fig. 8 Vibration acceleration spectrum of the rail

3 結論

筆者以車輛荷載作用下的浮置板軌道為研究對象，利用建立的車輛—軌道有限元動力仿真模型，計算得到鋼彈簧浮置板振動加速度響應，結合浮置板的自振特性，運用多模態(tài)控制理論，得到鋼彈簧浮置板動力吸振器的設計參數，并對動力吸振器的吸振效果進行了分析，得到如下結論：

1）基于定點擴展理論，將單自由度動力吸振器設計理論和多模態(tài)控制理論應用于浮置板動力吸振器設計中，并結合浮置板軌道在車輛荷載作用下的動力響應特性與浮置板本身的振動特性，能夠準確制定具有良好制振效果的動力吸振器參數。

2）在車輛荷載作用下，安裝有動力吸振器的浮置板軌道道床在30～37 Hz和79～89 Hz兩個頻段范圍內的振動加速度峰值分別降低了23%和42.8%，這說明在設計工作頻段范圍內，動力吸振器具有較好的吸振效果；但在設計工作頻段外，動力吸振器基本沒有任何效果。

3）在動力吸振器的設計工作頻段范圍內，不僅浮置板道床的振動明顯降低，鋼軌的振動也有所降低，而傳統(tǒng)的隔振措施在降低軌道板振動的同時往往會增大軌道的振動，這是動力吸振器較為突出的優(yōu)點。

質量塊材料、軌道空間大小、車輛運行安全等均是影響動力吸振器幾何尺寸設計的重要因素；此外，動力吸振器在工作過程中的振動相應大小也是影響吸振器參數設計的重要因素。本文并未對上述內容進行仔細研究與分析，動力吸振器的參數設計還處于理論階段，有待進一步的研究。