基于模糊邏輯的手臂運(yùn)動(dòng)控制小腦模型與仿真

張少白，諸明倩

(南京郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

人的小腦能夠感知和控制各種各樣的運(yùn)動(dòng)，小腦皮質(zhì)中的三層結(jié)構(gòu)-分子層、顆粒層和浦肯雅細(xì)胞層對(duì)于運(yùn)動(dòng)控制有著至關(guān)重要的作用。皮質(zhì)內(nèi)存在五種神經(jīng)元，它們分別是：星形細(xì)胞(stellate cell,SC)、高爾基細(xì)胞(Golgi cell,GO)、顆粒細(xì)胞(granule cells,GC)、浦肯雅細(xì)胞(Purkinje cell,PC)以及籃狀細(xì)胞(basket cell,BC)。正是這五種神經(jīng)元的相互作用，才促使小腦能夠完成各種復(fù)雜的功能。

由于小腦對(duì)于運(yùn)動(dòng)控制的強(qiáng)大作用，促使很多研究人員致力于小腦模型的構(gòu)建與研究，并且取得了一定的成果。首先出現(xiàn)了一種關(guān)于小腦功能的理論[1]。Albus修正和擴(kuò)展了該理論，提出并發(fā)表了新的關(guān)于小腦功能的理論[2]，基于這一理論，Albus創(chuàng)建了著名的小腦模型CMAC，并成功地應(yīng)用于機(jī)器人手臂協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)控制[3]。Albus之后，相繼出現(xiàn)了許多關(guān)于機(jī)器人小腦模型的研究。例如，美國(guó)Illinois大學(xué)的Adams教授對(duì)小腦運(yùn)動(dòng)神經(jīng)學(xué)習(xí)(ML)進(jìn)行研究，提出了重要的假設(shè)和猜想，即小腦運(yùn)動(dòng)神經(jīng)控制(MC)的結(jié)構(gòu)是閉環(huán)的和反饋的[4-5]。日本著名學(xué)者Ito，基于自動(dòng)控制原理中的內(nèi)模原理，提出了小腦內(nèi)模的概念并認(rèn)為，內(nèi)模是學(xué)習(xí)或訓(xùn)練的產(chǎn)物[6]。美國(guó)Harvard大學(xué)教授Houk等在這一領(lǐng)域有諸多貢獻(xiàn)，他們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)小腦模型，用在一個(gè)非線性的彈簧與金屬塊實(shí)驗(yàn)裝置上，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)[7]；后來(lái)，他們又設(shè)計(jì)了一個(gè)眼球平滑運(yùn)動(dòng)的小腦預(yù)測(cè)模型[8]。日本著名的機(jī)器人學(xué)者Kawato對(duì)小腦模型和機(jī)器人控制進(jìn)行了深入研究，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了一種小腦模型，用于多關(guān)節(jié)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制[9]；之后，又基于BP網(wǎng)絡(luò)為機(jī)器人設(shè)計(jì)了一個(gè)小腦四域計(jì)算模型[10-11]；Kawato在北京舉行的ICNNB國(guó)際會(huì)議上演示了基于小腦模型學(xué)習(xí)行走的人性化機(jī)器人，并再次闡述了機(jī)器人與動(dòng)物神經(jīng)系統(tǒng)的關(guān)系[12]。

以上學(xué)者對(duì)于小腦模型本身的研究做出了杰出的貢獻(xiàn)，也有另外一些學(xué)者另辟蹊徑，將模糊邏輯與傳統(tǒng)的小腦模型CMAC相結(jié)合，也就是在其輸入層引入模糊集合的隸屬度概念,這樣做的目的有兩個(gè)，一是為了對(duì)客觀世界進(jìn)行更加真實(shí)的描述，因?yàn)槟：椒▽?duì)于客觀對(duì)象的描述更具一般性；二是為了對(duì)模糊推理映射的計(jì)算以及模糊控制進(jìn)行簡(jiǎn)化，而且還增加了模糊制的學(xué)習(xí)功能，使其應(yīng)用起來(lái)更加方便有效。而文中考慮到現(xiàn)在已經(jīng)存在很多有關(guān)模糊小腦模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究，但是用的都是CMAC模型，對(duì)具有仿生意義的小腦模型還未涉及，故將該理論運(yùn)用于仿生小腦模型，以提高其性能。

1 模糊小腦模型

1.1 用于手臂運(yùn)動(dòng)控制的小腦模型

文中擬構(gòu)建的小腦模型主要用于手臂運(yùn)動(dòng)控制，為此將對(duì)Hoff-Arbib模型進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，因?yàn)樗且环N經(jīng)典的手臂運(yùn)動(dòng)模型。為了對(duì)各種條件下手的預(yù)成型以及手臂運(yùn)動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的解釋，包括所抓取對(duì)象的位置、方向以及抓握角度的變化，Hoff和Arbib曾在文獻(xiàn)[13]中特地構(gòu)建了一種控制模型，這種模型主要是基于最小加速度(minimumjerk)的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行構(gòu)建的。模型中的手和手臂被單獨(dú)控制，而延伸與抓取之間的協(xié)調(diào)需要通過(guò)選取確定抓取角度的形成和手臂延伸到目標(biāo)所需的時(shí)間這兩項(xiàng)中的最大值作為持續(xù)輸入信號(hào)來(lái)完成。

手臂的控制規(guī)則如下所示：

(1)

其中，x表示位置；t表示用于產(chǎn)生最小加速度的目標(biāo)物體；D為剩余時(shí)間。

針對(duì)生物系統(tǒng)傳入以及傳出時(shí)存在的延時(shí)問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]給出了解決方案，也就是在Hoff-Arbib模型的基礎(chǔ)上加入了小腦模塊以及剩余時(shí)間預(yù)測(cè)部分，其中小腦模型可以用來(lái)學(xué)習(xí)被控體前向模型。

具體的小腦神經(jīng)系統(tǒng)如圖1所示，它是具有輸入輸出連接的。該系統(tǒng)將目標(biāo)位置、速度以及加速度通過(guò)苔蘚纖維輸入到小腦模塊，這些輸入分為五組群碼，它們來(lái)自不同的子系統(tǒng)。這五組群碼分別表示目標(biāo)與當(dāng)前位置間的位置差，當(dāng)前運(yùn)動(dòng)命令的傳出副本，以及脊髓傳入信號(hào)的延時(shí)狀態(tài)信息，也就是位置、速度和加速度。文獻(xiàn)[15]中對(duì)它進(jìn)行了具體的說(shuō)明。而文中用于與模糊邏輯相結(jié)合并進(jìn)行仿真的小腦神經(jīng)系統(tǒng)正如圖1中所示。

圖1 具有輸入輸出連接的小腦神經(jīng)系統(tǒng)

1.2 模糊系統(tǒng)

1965年，Zadeh教授發(fā)表論文《模糊集合》(fuzzy set)，該論文的發(fā)表標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。模糊集合的基本思想就是把經(jīng)典集合中的絕對(duì)隸屬關(guān)系靈活化，也就是元素對(duì)“集合”的隸屬度不再局限于取0或1，而是可以取從0到1間的任一數(shù)值。要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，就需要引入隸屬函數(shù)的概念，用它來(lái)描述處于中間過(guò)渡階段的事物對(duì)于差異雙方的傾向性。而隸屬度就用來(lái)表示元素屬于集合的程度。

可以將此模糊理論用于模糊控制，它是基于模糊推理、模糊語(yǔ)言變量、模糊集合的，其控制規(guī)則就是人類所累積的先驗(yàn)知識(shí)以及專家經(jīng)驗(yàn)。模糊控制的重點(diǎn)是模擬人對(duì)系統(tǒng)的控制，要實(shí)現(xiàn)這種控制就需要在被控對(duì)象的基礎(chǔ)上運(yùn)用模糊控制器進(jìn)行近似推理等手段。在此期間需要著重考慮的是如何確定模糊變量的隸屬度函數(shù)，以及如何制定相應(yīng)的控制規(guī)則。

與傳統(tǒng)控制相比，模糊控制存在許多優(yōu)勢(shì)，比如它適于解決非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題，具有良好的魯棒性以及自適應(yīng)性，可以用于時(shí)變、時(shí)滯系統(tǒng)，而這些優(yōu)勢(shì)均是由于模糊控制只需要根據(jù)相關(guān)的規(guī)則與數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，而不需要精確的數(shù)學(xué)模型。

模糊系統(tǒng)的核心是知識(shí)庫(kù)，它存儲(chǔ)了有關(guān)模糊控制器的一切知識(shí)，其中包含具體應(yīng)用領(lǐng)域中的相關(guān)知識(shí)以及要求的控制目標(biāo)，這些知識(shí)對(duì)于模糊控制器的性能起著決定性作用。

1.3 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

模糊系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之間存在著一些明顯的區(qū)別與聯(lián)系。第一它們對(duì)于知識(shí)的表達(dá)方式不同，模糊系統(tǒng)可以用來(lái)表達(dá)人類總結(jié)的一些經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)，這樣更方便于人們?nèi)ダ斫?，而神?jīng)網(wǎng)絡(luò)則比較抽象，難以直觀地去理解，因?yàn)樗枋龅氖呛芏鄶?shù)據(jù)間的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系；第二它們對(duì)于知識(shí)的存儲(chǔ)方式有所不同，模糊系統(tǒng)通常將知識(shí)存在規(guī)則集中，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將知識(shí)存在權(quán)系數(shù)中，但是兩者都是分布式存儲(chǔ)的；第三它們對(duì)于知識(shí)的運(yùn)用方式不同，模糊系統(tǒng)計(jì)算量比較小，因?yàn)樗瑫r(shí)激活的規(guī)則不是很多，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算量比較大，因?yàn)樯婕暗皆S多相關(guān)的神經(jīng)元，但它們都是并行處理的；第四它們獲取知識(shí)的方式不同，模糊系統(tǒng)的規(guī)則并不是自動(dòng)獲取的，而是由專家提供或設(shè)計(jì)，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學(xué)習(xí)的功能，無(wú)需人為設(shè)置也可以從輸入輸出樣本中自動(dòng)學(xué)習(xí)權(quán)系數(shù)[16]。

鑒于以上分析，如果將兩者相結(jié)合，將更加便于解決實(shí)際應(yīng)用中的相關(guān)問(wèn)題。而模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概念也由此產(chǎn)生，它將模糊系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互融合，從而達(dá)到互補(bǔ)的效果。模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有學(xué)習(xí)、聯(lián)想、識(shí)別、自適應(yīng)和模糊信息處理等功能。其本質(zhì)就是將常規(guī)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入模糊輸入信號(hào)和模糊權(quán)值。典型的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)總共有六層。

第一層是輸入層，輸入的是精確值。x1、x2表示兩個(gè)輸入變量。第二層能夠?qū)⑤斎胱兞磕：?，也就是隸屬函數(shù)層。

(2)

(3)

其中，m表示輸入變量x1的模糊度，n表示x2的模糊度，第二層總共有m+n個(gè)神經(jīng)元；μAiμBi分別表示x1和x2的隸屬度函數(shù)。

第三層一共有m*n個(gè)節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)表示模糊規(guī)則，該層也稱“與”層。該層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與第二層有關(guān)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只與第二層中前m個(gè)節(jié)點(diǎn)中的一個(gè)和后n個(gè)節(jié)點(diǎn)中的一個(gè)相連。

第四層中有q個(gè)節(jié)點(diǎn)，表示輸出變量模糊度劃分個(gè)數(shù)，該層也稱“或”層。該層與第三層的連接為全互連，連接權(quán)值為wkj(k=1,2,…,q;j=1,2,…,m*n)。wkj在訓(xùn)練中是可以調(diào)試的，它表示每條規(guī)則的置信度。

第五層是反模糊化層，輸出的是精確值，該層與第四層的連接為全互連。

1.4 模糊小腦模型

模糊小腦模型是在上面介紹的具有認(rèn)知功能的小腦模型的基礎(chǔ)上，加入模糊邏輯的概念，也就是將當(dāng)前的輸入—理想及目標(biāo)位置(PP)、理想速度和加速度(PM)模糊化，引入模糊集合的隸屬度概念，從而提高小腦模型的學(xué)習(xí)收斂速度和精度。圖2是模糊小腦模型結(jié)構(gòu)圖。

2 模糊化算法

由圖2可知，模糊小腦模型包含兩種映射，分別為：R:X→M，E:M→A。

2.1 X→M映射

2.1.1 映射算法

采用的映射算法為：

(4)

其中，qi(xi)為輸入矢量；mi,k為qi(xi)映射到中間變量M中的地址；Na為所激活單元的個(gè)數(shù)；k為激

圖2 模糊小腦模型結(jié)構(gòu)圖

活單元的序數(shù)，k=0～(Na-1)。

2.1.2 隸屬度函數(shù)

(1)單變量隸屬度函數(shù)。

單變量隸屬度函數(shù)定義為：

(5)

其中，σj為一個(gè)系數(shù)，可以自由選擇，對(duì)隸屬度函數(shù)圍繞中心點(diǎn)的寬度起到了決定性作用；而中心點(diǎn)就是公式中的cj，其中j表示第j個(gè)隸屬度函數(shù)；‖x-cj‖通常表示x和cj之間的距離；Ψ是一個(gè)在cj處取得最大值的函數(shù)，它是徑向?qū)ΨQ的，會(huì)隨著‖x-cj‖增大而快速衰減到0。對(duì)于給定的輸入x∈Rn，只有一小部分單元被激活，這些單元的中心靠近x，是由映射X→M決定。

根據(jù)以上分析，可以推算出被激活的中心點(diǎn)，推算公式為：

(6)

文中選用的是最常用的高斯函數(shù)：

(7)

從相鄰兩個(gè)隸屬函數(shù)的重疊可以推算出方差σj[16]：

(8)

(9)

其中，μc∈(0,1]，需要事先進(jìn)行設(shè)計(jì)。

(2)多變量的隸屬度函數(shù)。

關(guān)于多維輸入向量，定義其隸屬度函數(shù)：

μ(x)=Φ(μ1,μ2,…,μn)

(10)

其中，Φ()表示相乘運(yùn)算，也就是：

(11)

2.2 M→A映射

該映射可以得到M在A中所激活單元的位置，數(shù)目依然是Na。X→M映射確定后，就可以通過(guò)智能查表的方法確定X在A的位置，也就是：

ai=E(Λ,μ)

(12)

其中，Λ為張量積，其值為m1×m2×…×mn，所激活的單元表示為：

aT={a1,a2,…,aNa}

(13)

2.3 輸出映射P

輸出映射P表示為：

y=aTh(x)w

(14)

其中，aT為激活單元位置向量；x為輸入向量；h(x)為隸屬度函數(shù)矩陣，可以表示成：

(15)

根據(jù)定義，此時(shí)只需計(jì)算被激活單元的隸屬度函數(shù)值，其他數(shù)值均為0。

2.4 學(xué)習(xí)算法

首先將誤差函數(shù)定義成：

(16)

計(jì)算權(quán)重w的方法是：

(17)

模糊小腦模型具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性，它可以根據(jù)所激活單元的隸屬度函數(shù)值以及這些值的平方和來(lái)確定權(quán)值的修改程度。通過(guò)對(duì)高斯函數(shù)中心點(diǎn)位置以及方差的學(xué)習(xí)，可以使函數(shù)逼近能力增強(qiáng)。高斯函數(shù)中的兩個(gè)參數(shù)可以定義為：

(18)

(19)

2.5 輸出導(dǎo)數(shù)計(jì)算

因?yàn)槟：`屬度函數(shù)是通過(guò)感受野函數(shù)定義的，所以輸出對(duì)于輸入xi的導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)上面提出的方程計(jì)算，公式的推導(dǎo)過(guò)程為：

(20)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 手臂模型

圖3是一個(gè)雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂的模型，其中M表示各個(gè)關(guān)節(jié)的質(zhì)量，L表示長(zhǎng)度，g表示重心。仿真考慮了任意一個(gè)端點(diǎn)的質(zhì)量，端點(diǎn)的效應(yīng)力f=[fxfy]T。

表1給出了手臂模型的各種參數(shù)，其中I表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖3 雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型

ParametersDefault valuesParametersDefault valuesM11.60L10.50M21.50L20.60M30.00Lg10.18I10.30Lg20.21I20.35g0.00

3.2 手臂控制實(shí)驗(yàn)

通過(guò)Matlab實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，模糊小腦模型對(duì)機(jī)械臂做一系列測(cè)試。系統(tǒng)總共要做30次手臂延伸運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)方法在文獻(xiàn)[17]中已有詳細(xì)描述，在三十次學(xué)習(xí)之后，手臂的跟蹤性能已經(jīng)得到了明顯改善。圖4為學(xué)習(xí)之后的跟蹤性能圖。

圖4 學(xué)習(xí)后跟蹤性能

預(yù)定運(yùn)動(dòng)軌跡從中心點(diǎn)開(kāi)始，向八個(gè)方向的目標(biāo)勻速移動(dòng)，圖中的細(xì)黑線為預(yù)設(shè)軌跡，粗黑線為學(xué)習(xí)三十次之后的跟蹤軌跡。從圖中可以看出，在多次學(xué)習(xí)之后，模型的跟蹤性能得到了顯著提高，此時(shí)與理想軌跡的誤差已經(jīng)很小了。由此可見(jiàn)，該模型能夠像小腦模型一樣實(shí)現(xiàn)對(duì)手臂的控制。

為了比較該模型和小腦模型的性能差異，對(duì)小腦模型也進(jìn)行相同的實(shí)驗(yàn)，將兩者的跟蹤誤差進(jìn)行比較，如圖5所示。

圖5 學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)跟蹤誤差

由圖5可知，通過(guò)在認(rèn)知小腦模型的輸入部分引入模糊集合的隸屬度概念，能夠在幾次學(xué)習(xí)之后產(chǎn)生精確的軌跡，而且與原模型相比具有更高的控制精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中對(duì)認(rèn)知小腦模型的研究另辟蹊徑，將注意力集中于小腦模型的輸入部分，引入模糊集合的概念。通過(guò)對(duì)認(rèn)知型小腦模型和模糊理論的簡(jiǎn)單介紹，說(shuō)明了兩者結(jié)合的可能性，提出模糊小腦模型的想法。最后，將新模型與原模型對(duì)于手臂的控制誤差進(jìn)行對(duì)比，有效地說(shuō)明了模糊小腦模型能夠提高控制精度。

但是該模型還存在一些不足，比如在考慮提高小腦模型精度的同時(shí)并沒(méi)有過(guò)多考慮各種擾動(dòng)的問(wèn)題，當(dāng)存在擾動(dòng)時(shí)，該模型在精度方面是否依然優(yōu)于原模型還有待研究。