“三量法則”及在列方程中的應(yīng)用

摘 要：許多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題感到害怕，實(shí)質(zhì)是苦于找不到題中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系。具有三個(gè)量的類型的應(yīng)用題，可根據(jù)“三量法則”提供的線索去設(shè)元和列方程?！叭糠▌t”是“知一量，設(shè)一量，列得方程用第三量?！彼粌H能為設(shè)元和列方程指明方向，而且能讓學(xué)生徹底理解何時(shí)該直接設(shè)元，何時(shí)該間接設(shè)元；對(duì)某些較難的應(yīng)用題的解答大有幫助。

關(guān)鍵詞：三量法則；應(yīng)用題；設(shè)元；列方程；指明方向；幫助

許多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題感到害怕，實(shí)質(zhì)是苦于找不到題中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系；即使通過抓關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞、關(guān)鍵字，通過畫線段圖，畫示意圖等也不能快速找到等量關(guān)系。基于此，本文介紹一個(gè)我自己在教學(xué)過程中總結(jié)的“三量法則”，本人認(rèn)為它不僅能為設(shè)元和列方程指明方向，而且能讓學(xué)生徹底理解何時(shí)該直接設(shè)元，何時(shí)該間接設(shè)元；對(duì)某些較難的應(yīng)用題的解答大有幫助。

一、 “三量法則”的意義

應(yīng)用題的類型很多，有些應(yīng)用題比較容易列方程，如勞力調(diào)配問題，和、差、倍、分問題等，等量關(guān)系題中給的比較明顯；而有些復(fù)雜的行程問題或者是工程問題等，等量關(guān)系題目給的不直接，或是不容易找到。怎么辦呢？別怕！“三量法則”能給你方向指引！

我們知道：行程問題主要涉及路程、速度和時(shí)間這三個(gè)量；工程問題主要涉及工作總量、工作效率和工作時(shí)間這三個(gè)量；像這種具有三個(gè)量的類型的應(yīng)用題，我們可根據(jù)“三量法則”提供的線索去設(shè)元和列方程。

“三量法則”是：知一量，設(shè)一量，列得方程用第三量。

二、 例說“三量法則”的應(yīng)用

下面我們通過《新課標(biāo)人教版〈數(shù)學(xué)〉七年級(jí)（上冊(cè)）》（2012年6月第一版2014年6月第一次印刷）第99頁習(xí)題3.3的兩道題，給大家舉例說明“三量法則”的應(yīng)用。

（一） 例題講解

例1 （第99頁習(xí)題3.3第10題）王力騎自行車從A地到B地，陳平騎自行車從B地到A地，兩人都沿同一公路勻速前進(jìn)。已知兩人在上午8時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午10時(shí)，兩人還相距36千米，到中午12點(diǎn)，兩人又相距36千米。求A、B兩地間的路程。

1. 分析解釋：

在這個(gè)問題中，通過審題可知：

（1）時(shí)間是已知量，上午8時(shí)騎到上午10時(shí)，然后繼續(xù)騎到中午12點(diǎn)；從出發(fā)到上午10時(shí)騎行所用時(shí)間為：10-8=2（小時(shí)），從出發(fā)到上午12時(shí)騎行所用時(shí)間為：12-8=4（小時(shí)）——知時(shí)間。

（2）要求A、B兩地間的路程，如果直接設(shè)元，那么我們?cè)O(shè)A、B兩地間的路程為x千米——設(shè)路程。

（3）這樣，我們知時(shí)間，設(shè)路程，所以應(yīng)該用速度關(guān)系來列方程。這就是：知一量（時(shí)間），設(shè)一量（路程），列得方程用第三量（速度）。

（4）根據(jù)“勻速前進(jìn)”可知兩人的速度不變，因此兩人的速度和不變！利用“速度和=兩人前進(jìn)的路程和時(shí)間”分別表示兩次騎行的速度和可列得方程。

（5）解法一：設(shè)A、B兩地間的路程為x千米，

依題意，得：x-3610-8=x+3612-8

（列方程就是用兩種不同的方式表示同一個(gè)量）

解得：x=108。

答：A、B兩地間的路程為108千米。

（6）如果我們間接設(shè)元，設(shè)這兩人的速度和為y千米/時(shí)，

①知一量（時(shí)間），設(shè)一量（速度），列得方程用第三量（路程）。

②而路程有何等量關(guān)系？A、B兩地的路程不變！利用“路程和=兩人前進(jìn)的速度和×?xí)r間”分別表示A、B兩地的路程可列得方程。

③解法二：設(shè)甲乙兩人的速度和為y千米/時(shí)，

依題意得：（10-8）y+36=（12-8）y-36

解得：y=36

∴（10-8）y+36=2×36+36=108（千米）

答：A、B兩地間的路程為108千米。

（7）說明：在上述的兩種解法中，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)：“三量法則”清晰地為我們指明了設(shè)元和列方程的方向，在分析清楚知道的量之后，另外兩個(gè)量中，任意一個(gè)用來設(shè)元，而最后一個(gè)量就用來列方程。多妙的事呀！

（二） 鞏固練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們先試著解答（習(xí)題3.3第99頁第9題）

有一些相同的房間需要粉刷墻面。一天3名一級(jí)技工去粉刷8個(gè)房間，結(jié)果其中有50m2墻面未來得及刷；同樣時(shí)間內(nèi)5名二級(jí)技工粉刷了10個(gè)房間之外，還多刷了另外的40m2的墻面。每名一級(jí)技工比二級(jí)技工一天多粉刷10m2墻面，求每個(gè)房間需要粉刷的墻面面積。

1. 分析解釋：通過審題我們知道：本題可以看成工程問題，房間的面積屬于工作量，每名技工一天粉刷的面積為工作效率，工作時(shí)間都是一天。

（1）工作時(shí)間是已知量，都是一天時(shí)間。

①如果我們?cè)O(shè)每個(gè)房間需要粉刷的墻面面積為xm2，那么由“三量法則”，知時(shí)間，設(shè)工作量，列效率。

②如果我們?cè)O(shè)每名二級(jí)技工每天粉刷的墻面面積為y m2，那么由“三量法則”，知時(shí)間，設(shè)效率，列工作量。

（2）這樣，我們也有以下兩種列方程的思路。

①解法一：（直接設(shè)元），設(shè)每個(gè)房間需要粉刷的面積是xm2，

依題意，得：8x-503=10x+405+10

②解法二：（間接設(shè)元）設(shè)每名二級(jí)技工每天粉刷墻面y m2，則每名一級(jí)技工每天粉刷墻面（y+10）m2，

依題意，得：3（y+10）+508=5y-4010

三、 小結(jié)提升

1. “三量法則”：知一量，設(shè)一量；列得方程第三量。

2. “三量法則”能為設(shè)元、列方程指明方向。

3. 友情提示：列方程就是用兩種不同的方式表示同一個(gè)量。

作者簡(jiǎn)介：江為德，男，1985年8月畢業(yè)于南平師專，1993年6月函授畢業(yè)于福建師范大學(xué)，現(xiàn)為中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，喜歡總結(jié)，在cn刊物上發(fā)表多篇論文，或有多篇論文獲省地市獎(jiǎng)。本文是1994年任教于沿山中學(xué)時(shí)所總結(jié)的法則，現(xiàn)在想來還是值得書寫，另外2012年11月參加福建省第二屆中小學(xué)教師技能大賽獲三等獎(jiǎng)，2005年被評(píng)為福建省中小學(xué)優(yōu)秀班主任，2018年3月參加邵武市說題比賽獲一等獎(jiǎng)……