基于子集重采樣的高維資產(chǎn)組合的構(gòu)建

劉麗萍

（貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴陽 550025）

引言

哈里·馬科維茨在1952年提出的均值—方差投資組合模型是最為常用的投資組合模型，是現(xiàn)代投資組合理論的基礎(chǔ)，該投資組合模型一經(jīng)提出便得到了廣泛的應(yīng)用。但是，該模型依賴資產(chǎn)間的協(xié)方差陣，當(dāng)資產(chǎn)的維度較高尤其資產(chǎn)的維度大于樣本容量時，協(xié)方差陣的估計將面臨維數(shù)詛咒等問題，協(xié)方差陣的估計效果較差，從而影響到組合效果。為了解決協(xié)方差陣估計所面臨的維數(shù)詛咒問題，有學(xué)者提出了一些方法來估計大維金融資產(chǎn)的協(xié)方差陣。Cai和Zhou（2012），Cai和Liu（2011）等將門限方法應(yīng)用到高維協(xié)方差陣的估計中，將一些元素壓縮為0來解決維數(shù)詛咒問題[1~2]；Fan和Lv（2008）以及Fan和Liao等（2011）將因子分析法應(yīng)用到大維協(xié)方差陣的估計中，通過提取少數(shù)共同的因子來解決維數(shù)詛咒問題[3~4]；Fan和Liao等（2013）將主成分分析法應(yīng)用到協(xié)方差陣的估計中[5]；Li和 Wang等（2007）將 Cholesky分解法和Lasso方法應(yīng)用到協(xié)方差陣的估計中，來提高大維協(xié)方差陣的估計效率[6]；劉麗萍和馬丹等（2015）通過在DCC模型中引入主成分正交補門限方法，來估計高維數(shù)據(jù)的動態(tài)條件協(xié)方差陣[7]。這些方法都是單純地從協(xié)方差陣估計的角度出發(fā)，來解決維數(shù)詛咒問題。

另有一些學(xué)者考慮通過重采樣的方法來解決協(xié)方差陣估計的維數(shù)詛咒問題，提高投資組合的效率。Michaud（1989）提出，對資產(chǎn)進行抽樣，采用樣本協(xié)方差陣估計方法來估計每次抽取的資產(chǎn)的協(xié)方差陣，然后根據(jù)均值—方差模型來估計該樣本資產(chǎn)的權(quán)重，企圖獲得一個比較穩(wěn)定的資產(chǎn)分配權(quán)重向量[8]。但是，Markowitz和Usmen（2003）以及Wolf（2013）認為Michaud的研究是不穩(wěn)定的，并沒有很好地提高資產(chǎn)組合的效率[9~10]。為此，F(xiàn)an和Han等（2016）又提出將循環(huán)分塊bootstrap方法應(yīng)用到投資組合風(fēng)險的估計中，來提高組合的效率[11]。

本文在前人研究的基礎(chǔ)之上，考慮將子集重采樣方法應(yīng)用到均值—方差投資組合模型中，我們根據(jù)Ding和Engle（2001）提出的標量BEKK模型來估計每次抽取的子集的協(xié)方差陣[12]，而不是全部資產(chǎn)的協(xié)方差陣，所以說一定程度上解決了協(xié)方差陣估計所面臨的維數(shù)詛咒問題，提高了協(xié)方差的估計效率。

一、投資組合中大維協(xié)方差陣的估計和預(yù)測所面臨的挑戰(zhàn)

（一）協(xié)方差陣在投資組合中扮演的角色

協(xié)方差陣在投資組合中扮演著重要角色，一般而言，協(xié)方差陣的估計越精確，組合的分配越合理。我們以常見的均值—方差投資組合來說明這一問題。均值—方差投資組合的形式為：

其中，∑ij表示資產(chǎn)間的協(xié)方差陣，wi表示投資于第i個資產(chǎn)的權(quán)重?？梢姡顿Y者購買不同資產(chǎn)的比例或者說權(quán)重的分配是依賴于資產(chǎn)間的協(xié)方差陣∑ij的。在大維數(shù)據(jù)背景下，如何估計資產(chǎn)間的協(xié)方差陣，是構(gòu)造投資組合所要解決的關(guān)鍵問題。

（二）樣本協(xié)方差陣的維數(shù)詛咒問題

近年來，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，很多企業(yè)和金融機構(gòu)所考慮的資產(chǎn)維度往往較高，甚至超過了其樣本容量，此時，高維資產(chǎn)間的樣本協(xié)方差陣不再是總體協(xié)方差陣的一致估計量。根據(jù)劉麗萍（2016）的研究[13]，我們通過一個簡單的模擬來說明這一問題：假定向量X是從d維的復(fù)雜高斯分布中隨機抽取的 n個點，即 X～N（0，∑），∑是總體協(xié)方差陣，∑=Id，Id是d×d的單位矩陣。假定資產(chǎn)的維度d和樣本容量n的關(guān)系為：d/n=2，d/n=1，d/n=0.2 和 d/n=0.1。當(dāng)d=1 000 時，下圖給出了總體協(xié)方差陣的真實特征值以及樣本協(xié)方差陣的特征值。

樣本協(xié)方差陣S（曲線）和總體協(xié)方差陣（虛線）的有序特征值圖

從上圖可知，較樣本容量n，資產(chǎn)維度d越大，估計的樣本協(xié)方差陣的特征值偏離真實的特征值（虛線）越遠，樣本協(xié)方差陣的估計效果越差。實際上，當(dāng)我們考慮的資產(chǎn)維度較高時，即便選擇的樣本容量較大，樣本協(xié)方差陣的估計效果仍不理想。

（三）協(xié)方差陣的估計和預(yù)測模型（BEKK）所面臨的挑戰(zhàn)

Ding 和 Engle（2001）提出了標量 BEKK 模型[12]，該模型是常見的協(xié)方差陣估計和預(yù)測模型，較傳統(tǒng)的BEKK模型而言，該模型易于估計，因而被廣泛應(yīng)用。假定資產(chǎn)的維度為k，收益率向量為rt。標量BEKK模型的形式為：

其中，向量ut代表收益率的均值，向量εt代表收益率的殘差，It-1代表t-1期的信息集，α、β是標量參數(shù)，矩陣∑t為k×k的協(xié)方差陣，C為k×k的下三角矩陣。將式（4）兩邊同時取期望，得：

二、基于子集重采樣的投資組合

BEKK是常用的用以估計和預(yù)測投資組合協(xié)方差陣的模型。但是當(dāng)我們考慮的資產(chǎn)維度較高時，根據(jù)前文的研究知其估計效果并不理想。為了提高協(xié)方差陣的估計和預(yù)測效率，我們考慮將子集重采樣方法應(yīng)用協(xié)方差陣的估計中，來提高組合效率?；谧蛹爻闃拥耐顿Y組合的思想為：

其一，假定我們考慮的資產(chǎn)維度為n，子集重抽樣的思想為：從n個資產(chǎn)中隨機抽取b個資產(chǎn)，b是n的子集，b＜n。重復(fù)該過程s次，便可以得到s個子集。將子集記為Ij，則對于任意的j=1，…，s，子集的容量。將在第j次抽樣中，對應(yīng)的b個資產(chǎn)的收益向量記為Rj，b。n個資產(chǎn)的收益向量記為R。

其二，采用BEKK模型來估計收益向量Rj，b的協(xié)方差陣并根據(jù) Rj，b計算出該子集的平均收益率

其四，對于任意的第 i個資產(chǎn)（i=1，…，n），將其在第 j個子集分配的權(quán)重向量記為其中sign（·）是示性函數(shù)，當(dāng)資產(chǎn)i在子集內(nèi)時

顯然，子集的容量b以及抽樣的次數(shù)s非常關(guān)鍵，會直接影響到協(xié)方差陣的估計效率和資產(chǎn)權(quán)重的分配。在下文的實證研究中，我們會詳細討論b和s的選擇對于組合效率的影響。但是無論如何，采用BEKK模型來估計和預(yù)測容量為b的子集的協(xié)方差陣時，要比直接估計n個大維資產(chǎn)的協(xié)方差陣的估計要好得多，因為b＜n，通過抽取子集，降低了資產(chǎn)的維度，一定程度上解決了維數(shù)詛咒問題，提高了協(xié)方差陣的估計和預(yù)測效率。

三、實證研究

在本文的實證研究中，我們采用了時間區(qū)間為2011年1月4日至2014年9月30日的上證180指數(shù)成分股數(shù)據(jù)。將缺失數(shù)據(jù)剔除后，該區(qū)間內(nèi)共有906個共有交易數(shù)據(jù)。將長度為906的全樣本數(shù)據(jù)劃分為估計和預(yù)測兩個部分，其中估計區(qū)間的長度為806，則預(yù)測區(qū)間的長度為100。

分別采用BEKK模型和基于子集重采樣的BEKK模型（記為BEKKsub）來估計和預(yù)測資產(chǎn)的協(xié)方差陣，我們采用的滾動估計法，第一次估計時，估計區(qū)間為t=1，2，…，806，用該區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)來估計BEKK和BEKKsub模型，并依據(jù)該模型預(yù)測第807天的協(xié)方差陣，根據(jù)所預(yù)測的協(xié)方差陣來構(gòu)造投資組合，得到該天的組合分配權(quán)重和收益。以此類推，最后的估計區(qū)間為t=101，102，…，906，重新估計模型并預(yù)測資產(chǎn)的協(xié)方差陣，進一步得到第907天的組合分配權(quán)重和收益。

將采用BEKK模型估計和預(yù)測得到的100天的協(xié)方差陣代入到前文所述的均值方差投資組合中，得到組合的平均收益為0.0010，組合波動為0.0152，夏普比率值為0.0658。而當(dāng)采用基于子集重采樣BEKK模型，即BEKKsub來估計和預(yù)測資產(chǎn)的協(xié)方差陣時，子集的容量b以及抽樣的次數(shù)S會影響到協(xié)方差陣的估計效果，并影響到資產(chǎn)組合的收益。為了詳細分析b和S對投資組合的影響，我們分別從180支股票中抽取了資產(chǎn)維度為b=10、20、40、60的情況，抽樣次數(shù)為S=500、1 000、1 500、2 000。下表給出了基于子集重抽樣的投資組合的收益、波動以及夏普比率值。

基于子集重抽樣的投資組合的收益、波動及夏普比率值

從上頁表我們可以得出兩條結(jié)論：首先，無論子集容量和抽樣次數(shù)是多少，基于子集重抽樣的投資組合明顯要優(yōu)于傳統(tǒng)的投資組合，其收益更高、波動更小，并且夏普比率值也較高。這是因為采用BEKK模型來估計和預(yù)測容量為b的子集的協(xié)方差陣時，因為b＜n，通過抽取子集，降低了資產(chǎn)的維度，一定程度上解決了維數(shù)詛咒問題，提高了投資組合的效率。其次，子集容量b對投資組合的效率影響較大。一般而言，子集容量越小，所構(gòu)造的投資組合的效率越高。而抽樣次數(shù)對組合效率的影響并不顯著，當(dāng)抽樣次數(shù)達到1 000時，便會形成比較穩(wěn)定的投資組合，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)增加抽樣次數(shù)，并不能明顯地提高組合效率。

結(jié)語

均值—方差投資組合模型是最為常用的投資組合模型，是現(xiàn)代投資組合理論的基礎(chǔ)，該投資組合模型一經(jīng)提出便得到了廣泛的應(yīng)用。但是該模型依賴資產(chǎn)間的協(xié)方差陣。在當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，高維資產(chǎn)對于很多金融機構(gòu)非常常見，當(dāng)資產(chǎn)的維度較高尤其資產(chǎn)的維度大于樣本容量時，協(xié)方差陣的估計將面臨維數(shù)詛咒等問題，常見的協(xié)方差陣的估計和預(yù)測模型——BEKK模型將面臨著諸多挑戰(zhàn)，估計效果并不理想，從而直接影響到投資組合的效率。為了提高投資組合的效率，本文考慮將子集重采樣方法應(yīng)用到投資組合的構(gòu)造中，從所有資產(chǎn)構(gòu)造的集合中抽取若干個子集，然后再采用BEKK模型來估計子集的協(xié)方差陣，進一步根據(jù)均值—方差模型構(gòu)造子集的資產(chǎn)組合，最后將若干個子集的同一個資產(chǎn)的權(quán)重向量求平均，來求得每個資產(chǎn)的權(quán)重。通過實證分析我們發(fā)現(xiàn)，基于子集重抽樣的投資組合明顯要優(yōu)于傳統(tǒng)的均值—方差投資組合，其收益更高、波動更小，并且夏普比率值也較高。