數(shù)控機(jī)床爬行的模糊PI控制研究*＊

尹 明 晁佳佳

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010)

隨著制造業(yè)的迅速發(fā)展，高產(chǎn)量高精度數(shù)控機(jī)床的需求日益迫切。機(jī)床在低速重載的工況下，時(shí)常會(huì)發(fā)生忽停忽動(dòng)忽快忽慢的非正常工作狀態(tài)，稱(chēng)之為爬行又叫作粘滑運(yùn)動(dòng)。一旦出現(xiàn)爬行，機(jī)械傳動(dòng)變得不均勻，伺服系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)精確的測(cè)量和定位，極大地影響著工件加工質(zhì)量。目前國(guó)內(nèi)外研究人員針對(duì)爬行現(xiàn)象開(kāi)展了大量研究，在一定程度上揭示了爬行發(fā)生的機(jī)理，提出了一些解決方法。AK Banerjee［1］認(rèn)為爬行是非線性摩擦力引起的自激振動(dòng)現(xiàn)象。B Armstrong［2］等在機(jī)器人系統(tǒng)中加入脈沖信號(hào)，有效地消除了爬行現(xiàn)象。Karl Popp［3］等設(shè)計(jì)了被動(dòng)爬行控制系統(tǒng)，并通過(guò)計(jì)算證實(shí)了該方法的可行性。目前關(guān)于爬行抑制方法研究取得了一定的成果，但是并沒(méi)有在根本上完全消除爬行現(xiàn)象。本文開(kāi)發(fā)了一種基于超磁致伸縮致動(dòng)器(GMA)的爬行控制系統(tǒng)，模糊PI控制器根據(jù)相關(guān)算法驅(qū)動(dòng)GMA產(chǎn)生相應(yīng)的輸出力抑制機(jī)床爬行。通過(guò)軟件仿真證明了該系統(tǒng)對(duì)數(shù)控機(jī)床爬行具有良好的控制作用。

1 爬行控制系統(tǒng)的整體設(shè)計(jì)

超磁致伸縮材料Terfenol－D作為一種新型的智能材料，其長(zhǎng)度和體積會(huì)隨著磁化狀態(tài)的變化而變化。超磁致伸縮致動(dòng)器正是根據(jù)這一特性，實(shí)現(xiàn)電磁能和機(jī)械能的轉(zhuǎn)化。超磁致伸縮致動(dòng)器具有應(yīng)變大，響應(yīng)快，能量轉(zhuǎn)化率高等優(yōu)勢(shì)，因此被選用作為外加激勵(lì)發(fā)生器［4］。

基于超磁致伸縮致動(dòng)器的激勵(lì)系統(tǒng)如圖1所示，滾珠絲杠螺母副絲杠采用一段固定一段浮動(dòng)的支撐方式，致動(dòng)器的輸出桿與絲杠浮動(dòng)端剛性固連，在激勵(lì)磁場(chǎng)的作用下，對(duì)絲杠進(jìn)行拉伸和壓縮。由于絲杠形變量較小，忽略絲杠形變后傳動(dòng)比的變化。

當(dāng)數(shù)控機(jī)床在工作過(guò)程中產(chǎn)生爬行時(shí)，通過(guò)傳感器對(duì)工作臺(tái)的速度進(jìn)行測(cè)量，將測(cè)得數(shù)據(jù)輸入到模糊PI控制器中［5］，再根據(jù)已經(jīng)編寫(xiě)好的控制算法，給出適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)電流驅(qū)動(dòng)GMA產(chǎn)生一定的輸出力，通過(guò)絲杠傳遞給工作臺(tái)，抑制工作臺(tái)的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，以達(dá)到消除爬行的效果。

2 爬行控制系統(tǒng)模型的建立

2.1 GMA的數(shù)學(xué)模型

為了方便系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模，作如下簡(jiǎn)化:致動(dòng)器殼體、底座、輸出桿以及軸承為剛體，在工作過(guò)程中不發(fā)生變形;Terfenol－D棒輸出端、輸出桿和絲杠左端的連接沒(méi)有縫隙，三者的位移、速度和加速度相同;忽略預(yù)壓機(jī)構(gòu)的阻尼和剛度;將絲杠看作剛度為Kl、阻尼為Cl的彈簧阻尼結(jié)構(gòu)，Ml代表絲杠和工作臺(tái)的等效質(zhì)量;Ke和Ce為GMA棒在形變過(guò)程中所要克服的自身的等效剛度和等效阻尼;Me為GMA棒和輸出桿的等效質(zhì)量。建立超磁致伸縮致動(dòng)器激勵(lì)系統(tǒng)力學(xué)模型如圖 2 所示［6］。

為了對(duì)超磁致伸縮效應(yīng)加以應(yīng)用，使用能量守恒定律、克希荷夫定律等已知的物理定律建立超磁致伸縮致動(dòng)器動(dòng)態(tài)力學(xué)模型，求出其運(yùn)動(dòng)方程。在建模之前我們做出以下假設(shè):(1)忽略渦流效應(yīng)以及漏磁現(xiàn)象的影響。(2)Terfenol－D棒的各項(xiàng)參數(shù)不隨環(huán)境改變而變動(dòng)，看作定值計(jì)算。(3)工作中Terfenol－D棒的伸縮長(zhǎng)度隨磁場(chǎng)強(qiáng)度線性變化［7］。

式中:N為線圈匝數(shù);i為線圈中驅(qū)動(dòng)電流;x為致動(dòng)器輸出位移;d33為GMA棒的軸向動(dòng)態(tài)伸縮系數(shù)。求解出致動(dòng)器磁路磁通為:

致動(dòng)器等效磁路的磁動(dòng)勢(shì)MMF為:

式中:Rm為致動(dòng)器總磁阻。得到致動(dòng)器的輸出力F為:

分析致動(dòng)器受力狀況，求得平衡方程為:

式中:M=Me+Ml，C=Ce+Cl，K=Ke+Kl。

令固有頻率ωn=槡K/M，系統(tǒng)阻尼比ζ=C/2Mωn。對(duì)式(4)做Laplace運(yùn)算處理得:

綜合公式(1)～(5)可以得到超磁致伸縮致動(dòng)器的傳遞函數(shù)為:

2.2 數(shù)控機(jī)床爬行的簡(jiǎn)單物理模型

數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)主要由驅(qū)動(dòng)裝置、機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)以及被驅(qū)動(dòng)件構(gòu)成。伺服電動(dòng)機(jī)接受數(shù)控系統(tǒng)發(fā)出的指令開(kāi)始工作，動(dòng)力經(jīng)過(guò)聯(lián)軸器、齒輪副、絲杠螺母副的傳遞后，最終將伺服電動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。爬行主要發(fā)生在數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的被驅(qū)動(dòng)件上，即工作臺(tái)和刀架等。傳動(dòng)系統(tǒng)剛度不足和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)軌摩擦力的變化被認(rèn)為是引起爬行的主要原因。

為了方便研究，我們假設(shè)齒輪副和絲杠螺母副的摩擦系數(shù)遠(yuǎn)小于導(dǎo)軌摩擦系數(shù)，忽略不計(jì);工作臺(tái)在垂直方向不發(fā)生移動(dòng)且進(jìn)給系統(tǒng)中沒(méi)有傳動(dòng)間隙。并建立如圖3所示的進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單物理模型。簡(jiǎn)化進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，不僅有利于建立工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程也給爬行現(xiàn)象動(dòng)態(tài)仿真帶來(lái)極大的便利［8］。

圖3將數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)簡(jiǎn)化成一個(gè)以恒定速度v0驅(qū)動(dòng)、摩擦阻力為F的單自由度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。應(yīng)用集中參數(shù)離散化的原理把工作臺(tái)抽象成一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)塊，把機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)看成一個(gè)無(wú)質(zhì)量的彈簧阻尼結(jié)構(gòu)。k和c分別代表傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)剛度和傳動(dòng)阻尼系數(shù)。

2.3 ADAMS與MATLAB聯(lián)合仿真系統(tǒng)的建立

為了研究基于超磁致伸縮致動(dòng)器的控制系統(tǒng)對(duì)爬行的抑制效果，需要結(jié)合Adams和Matlab進(jìn)行聯(lián)合仿真分析。聯(lián)合仿真的實(shí)現(xiàn)主要可以分為3個(gè)步驟:(1)通過(guò)Adams軟件建立爬行簡(jiǎn)單物理模型，定義各部件參數(shù)和約束關(guān)系。設(shè)置仿真參數(shù)，建立系統(tǒng)控制變量輸入以及運(yùn)動(dòng)參數(shù)輸出端口。(2)使用Matlab/Simulink建立超磁致伸縮致動(dòng)器激勵(lì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)力學(xué)模型。(3)將致動(dòng)器力輸出與ADAMS輸入端口相連接，定義超磁致伸縮致動(dòng)器工作電流，設(shè)置仿真條件開(kāi)展聯(lián)合仿真。ADAMS是當(dāng)前最為流行的機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真軟件，而Matlab具有強(qiáng)大的計(jì)算與模塊化建模能力。聯(lián)合仿真能夠充分發(fā)揮兩個(gè)軟件各自的優(yōu)勢(shì)，更準(zhǔn)確地表現(xiàn)出機(jī)械電子系統(tǒng)在工作中的實(shí)際狀況。

表1 進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)仿真參數(shù)表

為了實(shí)現(xiàn)Adams與Matlab之間數(shù)據(jù)的傳遞與結(jié)果的輸出，在Adams中分別建立工作臺(tái)水平方向力激勵(lì)，工作臺(tái)速度兩個(gè)變量端口，并根據(jù)表1中數(shù)據(jù)對(duì)各模塊參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。建立進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)仿真模型機(jī)械子系統(tǒng)如圖4所示。

假設(shè)螺母和絲杠剛性接觸，工作臺(tái)初始工作位置在絲杠最左側(cè)。絲杠長(zhǎng)500 mm，驅(qū)動(dòng)速度4 mm/s，由于仿真時(shí)間短速度小，忽略仿真過(guò)程中工作臺(tái)位移的變化，工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的激勵(lì)與絲杠致動(dòng)器頂端近似相等。根據(jù)公式(6)可以求出在GMA的激勵(lì)下，工作臺(tái)位移、速度、加速度的變化值。根據(jù)圖3，已知伺服系統(tǒng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)阻尼、剛度和工作臺(tái)質(zhì)量，可求出在超磁致伸縮致動(dòng)器的作用下，工作臺(tái)受到的等效激勵(lì)力。將上述關(guān)系封裝為以磁致伸縮位移x為輸入，等效激勵(lì)力Fe為輸出的子系統(tǒng)。將Adams爬行運(yùn)動(dòng)機(jī)械子系統(tǒng)通過(guò)Adams/Control模塊導(dǎo)入到Matlab/Simulink中，作為其中的一個(gè)子模塊。致動(dòng)器傳遞函數(shù)框圖和機(jī)械子系統(tǒng)相連接，得到基于超磁致伸縮致動(dòng)器激勵(lì)系統(tǒng)模型如圖5所示［9］。

3 爬行控制系統(tǒng)的模糊PI控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模糊PI控制器以常規(guī)PI控制系統(tǒng)為基礎(chǔ)，采用模糊推理思想，控制量的偏差e和偏差變化率ec作為模糊控制器的輸入，PI控制器的變化量作為輸出，利用模糊控制規(guī)律在線整定PID控制器各項(xiàng)參數(shù)［10］。與常規(guī)PI控制相比，具有良好的動(dòng)、靜態(tài)性能。KP、KI的調(diào)整公式為:

式中:KP0、KI0是 KP、KI的初始參數(shù)由試湊法得出;ΔKP和ΔKI是利用模糊關(guān)系根據(jù)e、ec計(jì)算出的調(diào)整值。

根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際情況，方便計(jì)算。將輸入?yún)?shù)c和輸出參數(shù)的模糊論域都取為［－6，6］。為了使控制器具有良好的精度和響應(yīng)速度，輸入輸出變量的模糊子集都采用{負(fù)大負(fù)中負(fù)小零正小正中正大}來(lái)表示，簡(jiǎn)記為{NB NM NS ZO PS PM PB}。由于三角形函數(shù)分辨率高且控制靈敏，因此將其選為系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)，輸入輸出變量的模糊隸屬度函數(shù)如圖6所示。

根據(jù)PID控制原理可以知道，比例環(huán)節(jié)P可以快速地按比例消除偏差。積分環(huán)節(jié)I用來(lái)消除靜差，提高系統(tǒng)的無(wú)差度。而微分環(huán)節(jié)D能夠預(yù)測(cè)誤差變化趨勢(shì)，提前做出調(diào)整。由于本系統(tǒng)偏差變化率較大，微分控制會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此只采用PI控制［11］。

根據(jù)各項(xiàng)控制參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)影響特性，得出針對(duì)不同偏差和偏差變化率時(shí)，參數(shù)的自整定原則。

(1)當(dāng)誤差e較大時(shí)，無(wú)論誤差變化率ec的值如何，為了使系統(tǒng)快速穩(wěn)定下來(lái)應(yīng)該取較大的KP。為了避免系統(tǒng)超調(diào)，KI的值應(yīng)該取得小一些。

(2)當(dāng)e和ec為中等大小時(shí)，為了減小系統(tǒng)超調(diào)，應(yīng)取較小的KP。適當(dāng)?shù)脑龃驥I的值以保證系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

(3)當(dāng)誤差e較小時(shí)，取較大的KP和KI，以避免系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差。

根據(jù)上述關(guān)系，得到模糊PID控制器KP、KI的調(diào)節(jié)規(guī)則表，如表2、3所示。

4 爬行的模糊PI控制系統(tǒng)仿真

基于以上分析，使用Matlab/Simulink建立爬行的模糊PI控制系統(tǒng)模型如圖7所示。圖中g(shù)1和g2分別表示模糊邏輯控制器P控制和I控制輸出參數(shù)的比例因子;Ke和Kec分別代表誤差和誤差變化率的量化因子;KP0和KI0分別代表P控制和I控制的初始參數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和大量調(diào)試，設(shè)PI控制參數(shù)的初始值KP0=2，KI0=5。

表2 ΔKp模糊規(guī)則表

表3 ΔKI模糊規(guī)則表

當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有采用控制的時(shí)候，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度曲線如圖8所示。速度波動(dòng)大且有零點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)發(fā)生停滯，系統(tǒng)出現(xiàn)爬行現(xiàn)象。

分別使用常規(guī)PI控制和模糊PI控制時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)曲線如圖9所示。在引入PI控制后，爬行現(xiàn)象消失，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性有了很大的改善，很快達(dá)到驅(qū)動(dòng)速度并穩(wěn)定。此外模糊PI控制要明顯優(yōu)于常規(guī)PI控制，模糊PI控制能夠?qū)崿F(xiàn)PI控制參數(shù)的在線調(diào)整，系統(tǒng)速度曲線沒(méi)有出現(xiàn)超調(diào)，過(guò)渡時(shí)間大大縮短，系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

5 結(jié)語(yǔ)

設(shè)計(jì)了以超磁致伸縮致動(dòng)器為執(zhí)行器的模糊PI控制系統(tǒng)，通過(guò)Adams和Simulink建立控制系統(tǒng)聯(lián)合仿真模型。借助Matlab/Fuzzy工具箱設(shè)計(jì)了模糊PI控制算法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制。系統(tǒng)仿真結(jié)果表明，PI控制有效地消除了數(shù)控機(jī)床工作過(guò)程中的爬行現(xiàn)象。模糊PI控制能夠?qū)刂茀?shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，與常規(guī)PI控制相比超調(diào)消失，調(diào)整時(shí)間縮短至0.02 s，控制效果更好。使用模糊PI控制對(duì)數(shù)控機(jī)床爬行進(jìn)行控制，取得滿(mǎn)意的控制效果，可以在實(shí)際設(shè)計(jì)生產(chǎn)中進(jìn)行推廣。