基于廣義Weibull分布的滾動軸承故障特征提取方法*＊

姜海燕 林 波②

(①湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道供電與電氣學(xué)院，湖南株洲412001;②華東交通大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江西南昌330013)

滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組成部分之一，而其運(yùn)行的好壞直接影響整臺機(jī)組的運(yùn)行性能。根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，30%的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障都是由滾動軸承故障引起的。因此，對旋轉(zhuǎn)機(jī)械的滾動軸承運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)測與診斷是至關(guān)重要的［1］。然而滾動軸承在運(yùn)行過程中表現(xiàn)出來的振動信號往往是較復(fù)雜的，簡單的時(shí)域特征和頻域特征分析也無法完美地刻畫滾動軸承的故障特征信息。Weibull分布模型能較好的應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備疲勞壽命預(yù)測中，能夠較好地預(yù)測機(jī)械設(shè)備的疲勞壽命［2－6］。文獻(xiàn)［7］對滾動軸承振動信號通過小波降噪處理之后，對降噪后的信號建立Weibull分布模型，求取模型的似然對數(shù)值作為表征滾動軸承的特征向量，進(jìn)行模式識別應(yīng)用于滾動軸承故障診斷中，取得了較好的效果。因此，Weibull分布模型的相關(guān)參數(shù)能較好的刻畫復(fù)雜的滾動軸承的振動信息。

但是滾動軸承振動信號通常也具有非線性、非平穩(wěn)性和非高斯性等特點(diǎn)，Hilbert頻譜分析能有效地從具有非線性、非平穩(wěn)性的信號中提取特征頻率，通過特征頻率來判斷滾動軸承的故障類型［8］。而僅靠Hilbert頻譜分析提取出來的特征頻率往往不是很明顯，會受一些干擾信號的限制。文獻(xiàn)［9］是通過小波包分解之后，對每層重構(gòu)的小波信號進(jìn)行最優(yōu)化選擇，選擇相關(guān)信息最吻合的小波包重構(gòu)信號進(jìn)行Hilbert變換，繪制Hilbert頻譜圖，準(zhǔn)確找到電動機(jī)的故障頻率，應(yīng)用于電動機(jī)的故障診斷中。改進(jìn)的Hilbert邊際譜等方法也廣泛應(yīng)用于滾動軸承故障診斷中［10－12］。但這些方法是利用Hilbert的頻譜分析來進(jìn)行故障診斷的，并沒有用在滾動軸承故障特征信息提取方面。

因此，本文結(jié)合Weibull分布模型的參數(shù)能較好地刻畫復(fù)雜滾動軸承振動信號的非高斯性和Hilbert變換的包絡(luò)信息能較好的表征滾動軸承振動信號的非線性與非平穩(wěn)性的特點(diǎn)。將Hilbert變換與Weibull兩參數(shù)分布模型相融合應(yīng)用于滾動軸承故障診斷中，并通過對比試驗(yàn)證明，本文所提特征提取方法的優(yōu)越性與有效性。

1 廣義Weibull參數(shù)模型的建模及參數(shù)估計(jì)

1.1 hilbert變換及包絡(luò)解調(diào)

對于時(shí)間序列信號x(t)而言，其Hilbert變換為y(t)=H·x(t)被定義為:

使用中值理論將式(1)估計(jì)為:

其中f為頻率，其單位為Hz。經(jīng)Hilbert變換之后，原始信號x(t)的正頻率成分作－90°相移，負(fù)頻率成分作+90°相移。因此，hilbert變換器可以看成是一個(gè)全通濾波器，變換之后，信號頻譜的幅度沒有發(fā)生變換，而改變的只是其相位關(guān)系。

變換之后，信號的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分重新組成一個(gè)新的復(fù)數(shù)的表達(dá)式為:

那么，Z(t)為原始信號x(t)的相關(guān)分析信號，Z(t)適當(dāng)?shù)臑V去了x(t)的負(fù)頻率部分。其復(fù)數(shù)信號Z(t)的包絡(luò)定義為E(t):

1.2 廣義Weibull參數(shù)模型

1.2.1 建模

Weibull分布是瑞典人Weibull在1939年提出的一種描述材料疲勞強(qiáng)度的分布模型，因其模型參數(shù)可以較好地反映隨機(jī)載荷下機(jī)械產(chǎn)品及其零部件的疲勞壽命和疲勞強(qiáng)度，故在可靠性研究中得以廣泛應(yīng)用［2－7］。

常用的三參數(shù)Weibull分布概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)和累積密度函數(shù)(Cumulative Density Function，CDF)分別為［2－7］:

式中:w為載波頻率;A(t)為調(diào)幅信號x(t)的包絡(luò)，即瞬時(shí)振幅。令X=A(t)，則:

式中:其形狀參數(shù) β＞0，尺度參數(shù) η＞0，位置參數(shù)x0≥0，當(dāng)x＞x0，即為與尺度參數(shù)具有相同尺度單位的隨機(jī)變量。傳統(tǒng)的可靠性分析方法是通過記錄產(chǎn)品的故障、拆修等事件數(shù)據(jù)來估計(jì)產(chǎn)品的物理特征，此時(shí)X表示為產(chǎn)品的失效時(shí)間或壽命。而在特征提取和故障診斷技術(shù)方面往往通過對機(jī)械的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)監(jiān)控，通過對采集的數(shù)據(jù)分析其機(jī)械運(yùn)行的特征，因此，X也可以為采集到的原始振動信號。

當(dāng)x0=0時(shí)，模型退化為最常用的雙參數(shù)模型，其PDF和CDF分別為:

對Hilbert變換之后求取的包絡(luò)信號建立兩參數(shù)威布爾分布模型，其具體步驟如下:

(1)將式(6)中的包絡(luò)信號X代入式(10)中得:

(2)將式(11)轉(zhuǎn)換成如下所示:

因此，可以得出兩參數(shù)的Weibull模型在概率紙圖上是一條直線，其斜率為β，截距為－βlnη。令A(yù)=β，B=－βlnη，則式(14)變成如下所示。

(3)如果Hilbert的包絡(luò)信號能按式(15)在y－z平面上繪制的曲線接近于一條直線，則證明該信號符合兩參數(shù)Weibull分布模型。

1.2.2 參數(shù)估計(jì)

Weibull分布的參數(shù)估計(jì)方法較多，有最大似然估計(jì)法、相關(guān)系數(shù)優(yōu)化估計(jì)法、矩估計(jì)法以及最小二乘估計(jì)法等。在這些參數(shù)估計(jì)法中，最小二乘參數(shù)估計(jì)法是比較有效而應(yīng)用較廣的估計(jì)方法［13］。本文采用此方法估計(jì)Weibull分布模型的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。

由式(15)可知，其為線性方程，通過最小二乘法可估計(jì)此線性方程的回歸系數(shù)A和B的值如下:

從式(13)可知，若

由此可得，β和η的估計(jì)值為:

1.2.3 模型的擬合度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度是檢驗(yàn)所觀測的數(shù)據(jù)模擬的分布模型與選定的理論分析模型是否相符的度量標(biāo)準(zhǔn)。此度量標(biāo)準(zhǔn)能有效反映所選觀測數(shù)據(jù)擬合的模型與所選的理論模型是否一致，即可用此理論模型進(jìn)行擬合觀測數(shù)據(jù)的重要指標(biāo)。最簡單的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的方法是計(jì)算模型的判定系數(shù)(Coefficient of Determination)R2，定義如下:

判定系數(shù)的取值范圍為0～1之間，越接近1，說明觀測數(shù)據(jù)越符合所選用的理論模型。

2 基于廣義Weibull參數(shù)模型的故障診斷

基于廣義Weibull參數(shù)模型的滾動軸承故障診斷流程如圖1所示。

具體實(shí)現(xiàn)過程如下:

(1)通過安裝在滾動軸承的加速度傳感器按一定的采樣頻率采集正常軸承振動信號、內(nèi)圈故障軸承振動信號、外圈故障軸承振動信號和滾動體故障軸承振動信號，得到一定的振動信號作為實(shí)驗(yàn)樣本。

(2)對上述過程采集到的原始振動信號進(jìn)行信號預(yù)處理，得到分析信號xs(n)。對分析信號進(jìn)行Hilbert變換，并對變換的數(shù)據(jù)進(jìn)行包絡(luò)分析，得到包絡(luò)信號x(n)。

(3)將包絡(luò)信號x(n)按照1.2.1節(jié)所述方法建立Weibull分布模型，然后由式(17)估計(jì)出Weibull分布模型的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，最后根據(jù)式(18)計(jì)算出觀測數(shù)據(jù)擬合模型的判定系數(shù)，對兩參數(shù)的Weibull分布模型進(jìn)行驗(yàn)證。

(4)將第3步估計(jì)出來的尺度參數(shù)和中位數(shù)構(gòu)建一個(gè)2維的特征向量Xa= [ ηa，βa](a=1，2，…，M)，M表示樣本個(gè)數(shù)，選擇特征向量Xa中的20個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本集{(，yl)}，剩下的部分作為測試樣本集{(，yk)}，其中yl、yk為 SVM 分類器的目標(biāo)輸出值，分別為1、2、3和4(1標(biāo)記正常軸承運(yùn)行狀態(tài)，2標(biāo)記內(nèi)圈故障軸承運(yùn)行狀態(tài)，3標(biāo)記滾動體故障軸承運(yùn)行狀態(tài)，4標(biāo)記外圈故障軸承運(yùn)行狀態(tài))。

(5)利用訓(xùn)練樣本對SVM分類器進(jìn)行訓(xùn)練，SVM的建立詳見文獻(xiàn)［14］。

(6)測試樣本通過訓(xùn)練好的SVM多分類器進(jìn)行故障模式識別。

3 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)分析的數(shù)據(jù)來自美國凱斯西儲大學(xué)(Case Western Reserve University)電氣工程實(shí)驗(yàn)室。軸承幾何尺寸和實(shí)驗(yàn)裝置見文獻(xiàn)［15］。通過此滾動軸承信號采集裝置分別采集了正常運(yùn)行狀態(tài)的滾動軸承振動信號、內(nèi)圈故障軸承振動信號、外圈故障軸承振動信號和滾動體故障軸承振動信號。這3種故障狀態(tài)下運(yùn)行的滾動軸承的故障點(diǎn)直徑為0.177 8 mm，分別在不同電機(jī)負(fù)載/轉(zhuǎn)速工況條件(0、1、2和3馬力與其對應(yīng)的1 797、1 772、1 750 和 1 730 r/min)下采集的振動信號。獲得4組16種運(yùn)行狀態(tài)的數(shù)據(jù)，而每個(gè)樣本分析的數(shù)據(jù)點(diǎn)為1 024個(gè)點(diǎn)。

按本文第1節(jié)所述的方法，對每個(gè)樣本進(jìn)行Hilbert變換，對變換之后的復(fù)數(shù)求解其Hilbert的包絡(luò)信息。4種不同運(yùn)行狀態(tài)下的滾動軸承的原始振動信號的時(shí)域圖如圖2所示。這4種運(yùn)行狀態(tài)的振動信號對應(yīng)的Hilbert的包絡(luò)信號如圖3所示。從圖3可以看出，Hilbert變換之后的包絡(luò)信號能反映滾動軸承振動信號的瞬時(shí)特征，而滾動軸承發(fā)生故障時(shí)，往往其振動幅值發(fā)生明顯的變化。因此，Hilbert包絡(luò)信號能表征軸承的運(yùn)行狀態(tài)信息，而且從圖3可知，通過式(15)計(jì)算出的包絡(luò)信號為正值，為建立Weibull分布模型作準(zhǔn)備。對Hilbert包絡(luò)信息建立Weibull分布模型，Weibull的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)能更好的表征滾動軸承振動信號的特征信息。

圖4為4種不同運(yùn)行狀態(tài)下滾動軸承Hilbert包絡(luò)信號的Weibull模型的概率分布紙圖，從概率分布紙圖可以看出，這些數(shù)據(jù)近似于一條直線，因此滾動軸承的Hilbert包絡(luò)信號可以用Weibull分布模型來模擬。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證該模型的符合性，并通過式(18)計(jì)算4種運(yùn)行狀態(tài)的滾動軸承信號擬合Weibull分布模型的判定系數(shù)分別為:正常軸承的斷定系數(shù)9 9.65%;內(nèi)圈故障軸承的判定系數(shù)=98.92%;滾動體故障軸承的判定系數(shù)99.55%;外圈故障軸承的判定系數(shù)=96.93%。

驗(yàn)證模型的可行性之后，根據(jù)式(17)計(jì)算模型的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，其尺度參數(shù)如圖5所示，從圖5可以看出，4種不同運(yùn)行狀態(tài)下的滾動軸承的尺度參數(shù)各不相同，將其送入SVM進(jìn)行模式識別與分類，能更好地判斷故障類型。

從每種運(yùn)行狀態(tài)中隨機(jī)抽取20個(gè)樣本總計(jì)80個(gè)樣本特征向量作為訓(xùn)練樣本建立SVM分類器，其余剩下的樣本作為測試樣本，將測試樣本送入建立好的SVM分類器進(jìn)行模式識別與故障診斷，并對經(jīng)過Hilbert變化的滾動軸承振動信號進(jìn)行Weibull分布模型驗(yàn)證。按第2節(jié)所述對滾動軸承進(jìn)行故障診斷，其識別結(jié)果標(biāo)記為A。為了證明此方法的優(yōu)越性與有效性，本文還做了一個(gè)對比試驗(yàn):對原始振動信號進(jìn)行Hilbert變換，變換之后求取其包絡(luò)信息，提取包絡(luò)信息的均值和方差作為特征向量輸入SVM進(jìn)行模式識別與故障診斷，識別結(jié)果標(biāo)記為B。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 不同故障類型SVM識別結(jié)果

從表1可知，本文所提特征提取方法的識別率明顯高于第2種方法，而且準(zhǔn)確率都在99.5%以上。因此，廣義的Weibull分布模型參數(shù)的滾動軸承故障特征提取方法是可行的。

4 結(jié)語

(1)Hilbert變換在滾動軸承故障診斷中的應(yīng)用，通常是繪制Hilbert的包絡(luò)譜圖，通過包絡(luò)譜圖來準(zhǔn)確判斷不同故障類型的滾動軸承的故障頻率來識的別滾動軸承的故障類型。而本文是通過對滾動軸承振動信號進(jìn)行Hilbert變換，求取包絡(luò)信號，對包絡(luò)信號建立兩參數(shù)的Weibull模型，求取模型的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)作為表征滾動軸承運(yùn)行狀態(tài)的特征信號，通過SVM分類器模式識別驗(yàn)證表明，該特征提取方法是有效，也是一種新的特征提取方法。

(2)本文通過對比試驗(yàn):對滾動軸承振動信號進(jìn)行Hilbert變換之后求取包絡(luò)信號，對包絡(luò)信號進(jìn)行均值和方差的計(jì)算，將均值與方差輸入SVM分類器進(jìn)行模式識別與診斷。模式識別結(jié)果表明本文提出的特征提取方法的結(jié)果比該對比試驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確率更高。

(3)通過實(shí)驗(yàn)證明基于廣義的Weibull分布的滾動軸承故障特征提取是有效的，能較好的表征滾動軸承的運(yùn)行狀態(tài)信息。