FIR思維（續(xù)）：濾波器越長越好嗎？

[美JPat Brown

[摘要] 闡述濾波器的頻率響應(yīng)的振幅、相位和群延時(shí)的相關(guān)性，頻率解析度對濾波器的影響，群延時(shí)與濾波器的頻率波長的關(guān)系，最小相位濾波器等問題。

[關(guān)鍵詞]FIR濾波器；IIR濾波器；頻率解析度；點(diǎn)位數(shù)；相位；群延時(shí)；振幅

這篇文章寫就時(shí)，DSP支持的濾波器長度通常為1024點(diǎn)（tabs），有些高達(dá)4096點(diǎn)。為什么筆者不想要或不需要長度更長的FIR濾波器？如果生廠商在DSP中引入8192點(diǎn)的FIR濾波器，筆者會(huì)舍棄競爭產(chǎn)品而選擇它嗎？

1頻率越低，時(shí)間越長

首先，需要一份用于練習(xí)和實(shí)驗(yàn)的文件，使用揚(yáng)聲器的測量數(shù)據(jù)，但稍微簡單的文件更易于發(fā)現(xiàn)重點(diǎn)。

筆者在FIRCapture軟件中創(chuàng)建該系列提升濾波器（分離的以一個(gè)倍頻程為帶寬的對稱均衡器），見圖1，并保存為WAV文件?？赏ㄟ^任何9段參量均衡器輕松創(chuàng)建此響應(yīng)。

選擇Q=6以最大化減少濾波器之間的重疊。這一組濾波器又構(gòu)成f-個(gè)濾波器，它與揚(yáng)聲器的響應(yīng)并無不同，更不用說在最高頻和最低頻處必不可少的高通和低通響應(yīng)了。如果這就是一個(gè)揚(yáng)聲器的響應(yīng)（假設(shè)如此），希望對凸起部分進(jìn)行均衡處理，以獲得整體較為平坦的響應(yīng)。通過該文件可以很好地考察FIR濾波器的頻率解析度。

頻域視圖顯示頻率響應(yīng)的振幅、相位和群延時(shí)。請注意，相位和群延時(shí)是兩種不同的方式，顯示信號通過時(shí)，濾波器如何改變其時(shí)間行為。由于相位是相對的，因此每個(gè)凸起的相位行為都相同。

在之前的文章中筆者演示過，一個(gè)帶通濾波器的最小相位響應(yīng)首先呈正向，然后在濾波器的中心頻率回到原點(diǎn)，最后為負(fù)向。這個(gè)相位偏移將使得通過濾波器的信號產(chǎn)生與頻率相關(guān)的振鈴現(xiàn)象（ Ringing）。振鈴現(xiàn)象持續(xù)的時(shí)間由群延時(shí)圖顯示。

圖2是該濾波器的頻域/時(shí)域綜合圖。圖3顯示了每個(gè)分離倍頻程的中心頻率的波艮。兩者有何相關(guān)？由于聲速約為1ft/ms，每個(gè)倍頻程的中心頻率波長大約等同于一周期所需時(shí)間。波長的概念以十分形象的方式顯示聲波與時(shí)間和空間有關(guān)，而濾波器的響應(yīng)也是如此。

群延時(shí)（GD）與濾波器的頻率波艮成正比關(guān)系，頻率越低，群延時(shí)越長。單從名稱來看，似乎指的是信號通過濾波器所造成的延時(shí)，這有點(diǎn)誤導(dǎo)人。濾波器的儲(chǔ)存屬性造成了振鈴現(xiàn)象，即信號中增加了多余周期。

群延時(shí)顯示了提升濾波器占據(jù)的時(shí)長。低頻凸起具有很長的振鈴，這不足為奇。群延時(shí)與濾波器頻率成反比（與波長成正比），相位偏移相等時(shí)，頻率越低，群延時(shí)越長。

為方便演示，以圖4所示的信號處理鏈路為例。輸入一個(gè)測試信號，看看將發(fā)生什么。圖5為2通道示波器顯示的結(jié)果，籃色軌跡為1kHz 6.5周期的小波，這是Don Keele測試信號中的一個(gè)。紅色軌跡為此信號通過一個(gè)1kHz提升濾波器之后的結(jié)果。請注意，原信號和通過濾波處理的信號相位一致，但是經(jīng)過濾波器的信號周期增加了。這是在時(shí)域觀察的振鈴現(xiàn)象。一個(gè)削減濾波器的振鈴現(xiàn)象將占據(jù)同等時(shí)長。

2 IIR均衡

一個(gè)模擬或數(shù)字無限脈沖響應(yīng)濾波器（IIR filter）如何校正響應(yīng)？必須是產(chǎn)生與凸起相反的振幅響應(yīng)和相位偏移。由于IIR濾波器是循環(huán)的，即利用反饋將一部分輸出信號返回到輸入端進(jìn)行再處理（可類比電容的充電和放電）。

網(wǎng)此，IIR濾波器在操作過程中沒有低頻限制（至少與FIR濾波器相比是如此），而且不會(huì)造成大量處理延時(shí)。只要有輸入信號，就會(huì)有輸出信號，濾波器的脈沖響應(yīng)（理論上）永遠(yuǎn)不會(huì)衰減到零。

正向群延時(shí)是窄頻段提升濾波器的標(biāo)志（圖1），而負(fù)向群延時(shí)是削減濾波器的標(biāo)志。圖7顯示了通過一款DSP的EQ模塊實(shí)現(xiàn)的一組IIR濾波器。通過對比圖1每個(gè)凸起以及圖7每個(gè)陷波的振幅及相位，可以發(fā)現(xiàn)圖7的均衡器可以完全校正圖1文件的響應(yīng)。

順便提一句，窄頻段信號的群延時(shí)并不代表信號延時(shí)，而顯示了濾波器振鈴現(xiàn)象所占的時(shí)長。音頻中有些術(shù)語并非字面上的含義，比如“恒定電壓”（Constantvoltage），但這是另外一個(gè)話題，這里不再贅述。3最小相位FIR EQ

下面討論最小相位FIR。它的響應(yīng)可以和參量均衡器生成的IIR濾波器一樣。關(guān)鍵的區(qū)別在于FIR濾波器的響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)信號完全無關(guān)。它是有限長度的脈沖響應(yīng)，頻率解析度與長度相關(guān)。

由于T= 1/F，要影響的頻率越低，需要的濾波器長度越長（時(shí)間跨度，更多點(diǎn)位數(shù)）。對低頻凸起進(jìn)行校正需要在每一個(gè)頻率引入振幅和相位的共軛，這也會(huì)與群延時(shí)共軛。對于低頻凸起而言，這是非常長的時(shí)間跨度。

再看圖1，由于該濾波器是最小相位濾波器，網(wǎng)此處理延時(shí)很小，與IIR濾波器的差不多。差別在于FIR濾波器的帶寬由它的長度決定（圖6），因此需要一個(gè)長度非常長的濾波器對低頻凸起進(jìn)行均衡處理。這與創(chuàng)建濾波器所采用的處理算法無關(guān)。

4頻率解析度

從圖6中可看出，一個(gè)1024點(diǎn)、采樣率為48kHz的最小相位FIR濾波器，長度為21ms。由于T=1/F，此濾波器的頻率解析度為47.6 Hz。

這意味著在頻域視圖下，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的間隔。

它同時(shí)也表示濾波器能影響的最低頻率。而事實(shí)上頻率解析度還要低一些（能影響的最低頻率還要稍高一些），因?yàn)橥枰獛讉€(gè)周期的波形才能確定某一頻率。

要是增加更多點(diǎn)位呢}濾波器長度加倍將使得頻率解析度加倍，使得數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的頻率間隔變成24Hz。

它還使得低頻限制下降一半，到24Hz。這一趨勢將繼續(xù)，點(diǎn)位數(shù)每加倍就使得濾波器的響應(yīng)下降一個(gè)倍頻程。因此，長度更長的FIR濾波器將使得：

1）濾波器擴(kuò)展至更低頻率；

2）濾波器的頻率響應(yīng)呈現(xiàn)更多細(xì)節(jié)，因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)更加密集。

在最小相位FIR濾波器這種情況下，更多點(diǎn)位數(shù)大有裨益，岡為這意味著濾波器可以擴(kuò)展至更低頻率。由于這是最小相位濾波器，因此相比IIR濾波器并沒有增加額外的處理延時(shí)。要使上述示范文件獲得平滑的響應(yīng)，大約需要4096點(diǎn)，這遠(yuǎn)超過現(xiàn)有DSP能支持的點(diǎn)位數(shù)，這使得需要更多點(diǎn)位數(shù)的爭論愈演愈烈。

5更多需要考慮的因素

最小相位FIR的特性與最小相位IIR濾波器一樣，只不過需要足夠多的點(diǎn)位數(shù)才能影響欲達(dá)到的最低頻率。低頻均衡需要更長的濾波器長度。

但是為什么要在DSP中通過占用大量系統(tǒng)資源的FIR濾波器模塊來創(chuàng)建一個(gè)最小相位濾波器呢}一個(gè)精心調(diào)節(jié)的參量均衡模塊（IIR）將占用少得多的系統(tǒng)資源，但產(chǎn)生同樣平滑的響應(yīng)，且頻率解析度更佳（圖7）。使用盡可能少的系統(tǒng)資源得到所需結(jié)果，在音頻行業(yè)是最佳實(shí)踐，而使用FIR濾波器進(jìn)行最小相位均衡并不高效。

接下來思考校正的響應(yīng)不是最小相位的這種情況。在參考文件中，將一個(gè)二階全通濾波器（500Hz）添加至響應(yīng)中（圖8）。這將在濾波器的整個(gè)帶寬中造成相位偏移，但是對振幅響應(yīng)的影響最小。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，這種全通行為可能源于使用了分頻網(wǎng)絡(luò)。最小相位FIR濾波器不能補(bǔ)償這樣的額外的相位偏移。

6線性相位FIR

一個(gè)線性相位FIR具有對稱的脈沖響應(yīng)，主信號到達(dá)時(shí)間位于脈沖響應(yīng)（IR）的中間（圖9）。將到達(dá)峰值設(shè)為相對時(shí)間零，在此之前的時(shí)間跨度提供了“負(fù)時(shí)間”到達(dá)，用于共軛主峰到達(dá)峰值之后的能量到達(dá)。

這些“預(yù)延時(shí)”與事實(shí)時(shí)間之間存在因果關(guān)系，但是與主要的信息到達(dá)時(shí)間沒有因果關(guān)系。這容許濾波器通過相反的“負(fù)時(shí)問”響應(yīng)對反射能量進(jìn)行補(bǔ)償。

所以，如果點(diǎn)位長度為1024點(diǎn)，線性相位FIR濾波器將把主峰到達(dá)時(shí)間置于T/2處，讓一半濾波器長度提供預(yù)到達(dá)時(shí)間，以共軛揚(yáng)聲器或房間產(chǎn)生的后到達(dá)能量。它還容許引入所需的負(fù)向群延時(shí)，以補(bǔ)償分頻器的全通響應(yīng)。

因?yàn)閷⒁话氲臑V波器長度用于“負(fù)時(shí)間”校正，濾波器的頻率解析度將減半。例如，1024點(diǎn)的最小相位FIR濾波器頻率解析度為47.6Hz。而同樣長度的線性相位FIR濾波器頻率解析度為95.2Hz，因?yàn)轭A(yù)留了一半長度用于相位均衡。

7點(diǎn)位數(shù)越多越好？

對于最小相位FIR濾波器而言，似乎如此。問題在于非最小相位濾波器需要預(yù)留一半長度用于相位均衡。這會(huì)表現(xiàn)為處理延時(shí)（常錯(cuò)誤地被稱為延遲）。與最小相位FIR濾波器不同，隨著線性相位FIR濾波器的長度增加以提高其頻率解析度，它的延時(shí)也會(huì)增長。這不是由DSP的速度造成，而源于TF=1。

現(xiàn)在再調(diào)出前文的參考文件，只不過這次是一系列的削減濾波器，削減的頻率與原有提升濾波器（圖10）一致。從之前的討論中得知，群延時(shí)視圖（籃線）顯示濾波器振鈴現(xiàn)象的時(shí)間長度。請注意，它現(xiàn)在呈負(fù)向，但這僅意味著這個(gè)濾波器產(chǎn)生的相位偏移在整個(gè)帶寬不斷擴(kuò)大，并不表示出現(xiàn)了“時(shí)間提前”或者濾波器的響應(yīng)是非因果關(guān)系的。

無法回避的是，頻率越低，濾波器發(fā)揮影響需要的時(shí)間越長，在最低倍頻程的中心頻率（31.5Hz）這個(gè)時(shí)間將變得非常長（可達(dá)40ms）。對于現(xiàn)場演出和許多固定安裝應(yīng)用來說，這么長時(shí)間的處理延時(shí)是不可接受的。一個(gè)1024點(diǎn)的FIR濾波器（48kHz采樣率）時(shí)長為21ms，意味著處理延時(shí)大約為10.5ms。

將采樣率提升至96kHz并不會(huì)降低處理延時(shí)，因?yàn)楸仨毺幚淼牟蓸訑?shù)量也加倍了。無法改變的事實(shí)是，21ms的長度最低僅可以影響48Hz，而事實(shí)上的頻率解析度是48Hz的3倍，或者說是150Hz。

8問題變得更糟糕

線性相位FIR濾波器還有另一個(gè)缺點(diǎn)。由于“相對時(shí)間零”位于濾波器時(shí)長的中間，其頻率解析度是最小相位

FIR濾波器的一半。

因此，如果一個(gè)1 024點(diǎn)的最小相位FIR濾波器最低可以影響150Hz，那么一個(gè)1024點(diǎn)的線性相位FIR濾波器最低只可以影響300Hz。

影響的頻率要下降至150Hz將需要一個(gè)2048點(diǎn)的濾波器，意味著處理延時(shí)也要從10.7ms翻倍到21ms。

而針對前文的示范文件，將需要一個(gè)8196點(diǎn)的FIR濾波器才能使整個(gè)通帶的響應(yīng)變得平滑。所需的處理延時(shí)約為85ms。

表面來看，F(xiàn)IR濾波器的長度越長，好處似乎是可以提高頻率解析度，從而：

1）影響更低頻率；

2）在整個(gè)帶寬包含更多細(xì)節(jié)。

筆者已經(jīng)向大家展示，至少對于線性相位FIR濾波器而言，要影響更低頻率（更多點(diǎn)位數(shù)）將提高處理延時(shí)。這不是因?yàn)樘幚砟芰Σ蛔愣斐?，而源于時(shí)間和頻率的相關(guān)性。低頻持續(xù)較長時(shí)間，而且占據(jù)大量空間。數(shù)字處理無法改變此現(xiàn)狀。

9好處部分

在可聽頻域內(nèi)一共有10個(gè)倍頻程，所以每個(gè)倍頻程占據(jù)整體的十分之一（對數(shù)標(biāo)尺）。濾波器長度加倍，將使得處理延時(shí)加倍，而這僅僅使得均衡處理的頻譜多了十分之一。

就好比讓功放的功率加倍只為了得到3dB提升一樣，有時(shí)到了一個(gè)臨界點(diǎn)，得到的回報(bào)很少，根本就不傣得。在功放的例子中代價(jià)是金錢，而對線性相位FIR濾波器而言，代價(jià)是延時(shí)?？梢哉f，數(shù)字處理的貨幣就是時(shí)間。可以得到很好的效果，前提是要等待足夠長時(shí)間。

在大多數(shù)房間中，最低的兩個(gè)倍頻程（次低頻）位于施洛德頻率曲線（Schroder Frequency）下方，這時(shí)房間模式（room modes）對每個(gè)座位的頻率響應(yīng)有較大影響。即便通過線性相位FIR濾波器，將房間中某一點(diǎn)的響應(yīng)處理得非?！巴昝馈?，在其他座位響應(yīng)也是不一樣的，這樣做的意義何在？

那需要更高的濾波器精度嗎？一個(gè)1024點(diǎn)的濾波器，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的頻率間隔約為48Hz。如果這還不夠校正頻率響應(yīng)，很可能在嘗試校正一些根本不應(yīng)該訴諸均衡處理的東西，比如由于房間反射造成的梳狀濾波。頻率響應(yīng)中的“細(xì)節(jié)”越多，“位置相關(guān)”的時(shí)間響應(yīng)越多因?yàn)檫@些細(xì)節(jié)由從不同表面而來的反射造成。

移動(dòng)測試傳聲器，則響應(yīng)發(fā)生很大改變。一個(gè)精度很高的FIR濾波器只適合“校正”空間中的一個(gè)點(diǎn)。這可能適用于在特定的傳聲器位置對會(huì)議系統(tǒng)進(jìn)行回聲消除，但這無益于整個(gè)觀眾區(qū)。更長的FIR濾波器對現(xiàn)場應(yīng)用并沒有太大意義。

10更高采樣率是否有幫助？

純屬坊間傳言。很遺憾并非如此。再回到圖6，濾波器點(diǎn)位的時(shí)間間隔dt=l/SR（采樣率），乘以點(diǎn)位數(shù)（N）可以得到濾波器的時(shí)間長度（T）。頻率解析度（F）為1/T。

這是簡單的關(guān)系，顯示了如果采樣率加倍，濾波器的頻率解析度將降低一半。問題弄得更糟了！如果采樣率加倍，那么需要處理的采樣數(shù)量要乘以2，這樣必須要使得濾波器長度加倍，才能保持同樣的頻率解析度。

考察相反的情況。采樣率減半將提高濾波器的頻率解析度。但是要犧牲高頻響應(yīng)，只能擴(kuò)展至SR/2。奈奎斯特采樣定理（Nyquist-Shannon）是不能否定的。

這一切都不能改變線性相位FIR濾波器所需的處理延時(shí)，即濾波器時(shí)長的一半。更高（更低）的采樣率不能改變信號的時(shí)間、頻率或波長。

11結(jié)論

毫無疑問，隨著技術(shù)的發(fā)展會(huì)擁有更長的數(shù)字濾波器。芯片不斷完善，使用芯片的產(chǎn)品也如此?；蛟S還記得16 bit/44.1 kHz的“CD級”音頻曾經(jīng)是幾乎不可能實(shí)現(xiàn)的。但是如今很多人都認(rèn)為它解析度很低。FIR濾波器也將沿著這樣的軌跡發(fā)展。

但是實(shí)現(xiàn)更長的濾波器還會(huì)遇到一些障礙，而這與技術(shù)無關(guān)。前文已顯示，最主要的障礙是處理延時(shí)，這與濾波器必須影響的時(shí)間長度有關(guān)（見圖1）。

在現(xiàn)場音頻系統(tǒng)中，只能容忍一點(diǎn)延時(shí)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不是很精確，但是大部分人會(huì)同意超過20 ms的濾波處理是比較長的時(shí)間。這一不可避免的處理延時(shí)會(huì)增加信號鏈中其他數(shù)字設(shè)備的延遲，一般會(huì)額外增加10 ms。出于時(shí)間考慮，不得不放棄對低頻進(jìn)行線性相位均衡處理，至少對現(xiàn)場應(yīng)用如此。

對高頻應(yīng)用線性相位FIR濾波器，對低頻應(yīng)用最小相位FIR濾波器似乎是一種解決方法。這被稱為“混合相位”濾波器，筆者認(rèn)為將是未來的發(fā)展趨勢。有些人開始認(rèn)為，IIR濾波器無用武之地了，但是不可否認(rèn)，它們有最寬的帶寬、最低的處理延時(shí)，而且^使用的系統(tǒng)資源比其他任何數(shù)字濾波器都要少。請不要拿走參量均衡器模塊！

點(diǎn)位數(shù)量不能無限度多，意味著必須思考校正的重點(diǎn)是什么及其理由，就好比罐子里只剩下一勺花生醬時(shí)要好好利用。均衡處理如何影響揚(yáng)聲器的整個(gè)覆蓋區(qū)域，而不僅限于測試傳聲器所擺放的“黃金位置”？要是考慮多個(gè)座位的情況，那線性相位FIR濾波器的魔法光環(huán)會(huì)迅速褪去。

好好運(yùn)用一個(gè)1024點(diǎn)的FIR濾波器，比稀里糊涂使用一個(gè)長度更長的濾波器要好。人類認(rèn)知為模數(shù)轉(zhuǎn)換所需的采樣率和位數(shù)設(shè)置了合理限制，時(shí)問、頻率、波長和延遲也限制了更長FIR濾波器所能帶來的好處。在音頻行業(yè)，把東西弄得更大總是值得商榷，數(shù)字濾波器也不例外。這也并非壞事，可以保持平衡，并且促使人們思考，是追求真正產(chǎn)生好聲音，還是規(guī)格參數(shù)表的數(shù)據(jù)更好看。

這又詮釋了“少即是多”。