關(guān)于金屬材料復(fù)折射率符號(hào)的討論及運(yùn)用

殷嘉琳 王 妍 錢 敏, 2*

(1.蘇州大學(xué)文正學(xué)院電子工程系,江蘇 蘇州 215104;2.蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院微電子系,江蘇 蘇州 215006)

在科學(xué)研究過(guò)程中,比如電磁場(chǎng)理論(電動(dòng)力學(xué))、光學(xué)、薄膜光學(xué)、半導(dǎo)體光電等,會(huì)涉及到材料的折射率,包括有耗介質(zhì)金屬材料的折射率.在不同的資料中,有關(guān)金屬材料折射率提供了兩種形式.在電動(dòng)力學(xué)中[1],形式為N=n+ik,其中n稱為常規(guī)折射率,k稱為消光系數(shù).在薄膜光學(xué)[2-3]、半導(dǎo)體光電[4]中提供的形式為N=n-ik.這給大家在計(jì)算過(guò)程中造成困擾.與折射率密切相關(guān)的一個(gè)參數(shù)是介電常數(shù),根據(jù)經(jīng)典電磁理論,折射率是介電常數(shù)的平方根.金屬材料的介電常數(shù)與電磁波頻率有關(guān),所以改稱介電函數(shù).有文獻(xiàn)資料[5-7]曾對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論:提出造成金屬介電函數(shù)有不同形式的原因是在推導(dǎo)過(guò)程中電磁場(chǎng)的波動(dòng)形式采用了兩種形式:e-i ω t和ei ω t.固然是如此,那到底在使用介電函數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí),采用哪個(gè)形式呢?這給大家造成了一些困擾,筆者就該問(wèn)題進(jìn)行了比較深入的研究.

1 金屬電子氣極化及Lorentz-Drude模型

物質(zhì)材料的介電常數(shù)取決于物質(zhì)在外電場(chǎng)作用下的極化特性.一般由電子位移極化、離子位移極化、固有偶極矩取向極化組成.金屬內(nèi)部存在大量的近自由電子,可將金屬晶體理解為淹沒(méi)在電子海洋中的正離子實(shí)點(diǎn)陣,一般不具有固有偶極矩.同時(shí)由于原子核(離子實(shí))與電子質(zhì)量相差懸殊,對(duì)電特性研究,離子運(yùn)動(dòng)可以忽略,故離子位移極化亦可忽略不計(jì),因此,金屬的極化特性決定于自由電子位移極化.

根據(jù)經(jīng)典電磁理論,無(wú)外電場(chǎng)時(shí),電子進(jìn)行繞核運(yùn)動(dòng),正負(fù)電荷的中心重疊,因此固有偶極矩為0;當(dāng)加外場(chǎng)后,電子軌道偏移造成正負(fù)電荷中心分離,產(chǎn)生偶極矩,通常稱為感生電偶極矩.如何計(jì)算感生電偶極矩,必須采用一定的模型.經(jīng)典方法是將繞核運(yùn)轉(zhuǎn)的電子視為束縛諧振電子,彈性恢復(fù)力屬于束縛力,還受到輻射阻尼力,可以得介質(zhì)中外場(chǎng)作用下電子的運(yùn)動(dòng)方程,電磁場(chǎng)形式采用e-i ω t形式:

其中ω0是電子固有束縛振動(dòng)頻率,ω是外場(chǎng)頻率,γ是阻尼系數(shù).上式的解的形式為

x=x0e-i ω t.

求出各階導(dǎo)數(shù),代入運(yùn)動(dòng)方程后并根據(jù)相對(duì)介電常數(shù)的定義得到

其中

以上假定金屬中單位體積中有N個(gè)原子,每個(gè)原子有Z個(gè)電子,NZ是單位體積內(nèi)的電子數(shù),電子固有束縛振動(dòng)頻率均為ω0,ωp稱為體等離子體頻率.所有電子的固有束縛振動(dòng)頻率都為ω0,阻尼系數(shù)都為γ.但實(shí)際上,原子中電子可能存在多個(gè)束縛振動(dòng)頻率和阻尼系數(shù).假設(shè)每個(gè)原子中的電子有K種振動(dòng)頻率和阻尼系數(shù),束縛振動(dòng)頻率為ωj、阻尼系數(shù)為γj的電子有zj(j=0,1,2…K)個(gè),則可將上式改寫為

(1)

其中f0為自由電子比例,fj為固有頻率為ωj的束縛電子比例,其中γ0也是輻射阻尼系數(shù).約束條件為

這就是最終形式的金屬相對(duì)介電常數(shù).由于是外場(chǎng)頻率ω的函數(shù)(是一個(gè)復(fù)數(shù)),所以又稱為介電函數(shù),該模型稱為L(zhǎng)orentz-Drude模型.[8]需要說(shuō)明的一點(diǎn)是,以上推導(dǎo)過(guò)程僅僅是一種模型而已,并不能完全說(shuō)明介電函數(shù)的全部成因;實(shí)際的結(jié)果通常以實(shí)驗(yàn)測(cè)試值為準(zhǔn),相關(guān)參數(shù)通常根據(jù)該模型通過(guò)擬合得到,并不一定滿足約束條件,此時(shí)改稱fj為強(qiáng)度因子.[9]表1、2列出了Ag和A1金屬材料相關(guān)擬合參數(shù).

表1 Ag的復(fù)介電函數(shù)相關(guān)參數(shù)(ωp=9.01/eV,LD模型)

表2 Al的復(fù)介電函數(shù)相關(guān)參數(shù)(ωp=14.98/eV,LD模型)

2 高頻近似Drude模型

當(dāng)外場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子中電子的束縛頻率時(shí)(比如可見(jiàn)光頻段),金屬中的電子可視為是自由的,且阻尼可忽略不計(jì),此時(shí)金屬對(duì)電磁波的作用類似于由離子和自由電子組成的電離氣體(等離子體)對(duì)電磁波的作用,此時(shí)金屬的相對(duì)介電常數(shù)可由公式(1)作高頻近似后得到

(2)

這就是自由電子的Drude模型;[10]在不忽略阻尼的情況下,近自由電子的介電常數(shù)可表示為

(3)

根據(jù)電磁場(chǎng)理論,我們知道,非磁性介質(zhì)材料的折射率是介電常數(shù)的平方根;根據(jù)公式(3)可知,金屬材料的折射率N也是一個(gè)復(fù)數(shù).簡(jiǎn)單推導(dǎo)可以得到,折射率有N=n+ik的形式,實(shí)部n是通常的折射率,k是消光系數(shù)(k>0),它表示了電磁相互作用時(shí),材料對(duì)電磁波的衰減作用.值得指出的是,以上推導(dǎo)過(guò)程,電磁波的形式采用了負(fù)指數(shù)形式;假如電磁波形式采用正指數(shù)ei ω t形式,那么最終推導(dǎo)的結(jié)果形式為

(4)

此時(shí)折射率有N=n-ik的形式,k>0.必須注意的是,在光學(xué)計(jì)算的過(guò)程中(比如薄膜光學(xué)特征矩陣的形式會(huì)不同),必須采用相應(yīng)的形式,才能得到正確的計(jì)算結(jié)果.總結(jié)如下:

3 金屬?gòu)?fù)介電函數(shù)和復(fù)折射率

根據(jù)復(fù)介電函數(shù)和復(fù)折射率的平方關(guān)系,畫出幅角關(guān)系如圖1所示.

圖1 金屬?gòu)?fù)介電函數(shù)與復(fù)折射率之間輻角的關(guān)系

根據(jù)公式(2)(3),一般當(dāng)光頻小于等離子體頻率時(shí),金屬的復(fù)介電函數(shù)的實(shí)部ε′<0,ε″取絕對(duì)值(>0),所以可見(jiàn)光頻段金屬被稱為負(fù)介電常數(shù)材料.根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則可見(jiàn),兩種形式下,介電函數(shù)、折射率的實(shí)部和虛部的絕對(duì)值是一致的.通常金屬介電函數(shù)的實(shí)部絕對(duì)值比虛部絕對(duì)值大較多,導(dǎo)致復(fù)折射率的實(shí)部絕對(duì)值比虛部絕對(duì)值小較多.

事實(shí)上,這兩種形式的復(fù)折射率對(duì)于電磁波在金屬等有耗介質(zhì)中的衰減傳播形式是一致的,如下兩式所示.

eiωt形式，N=n-ik:

e-iωt形式，N=n+ik:

由此可見(jiàn),負(fù)指數(shù)衰減部分的形式是一致的.表3列出了常見(jiàn)金屬材料的復(fù)介電常數(shù)和復(fù)折射率.

表3 常見(jiàn)金屬材料的復(fù)介電常數(shù)和復(fù)折射率(@λ=528 nm,LD模型)[9]

4 折射率形式在薄膜光學(xué)計(jì)算中的運(yùn)用

采用不同的電磁波振動(dòng)因子形式,推導(dǎo)薄膜光學(xué)計(jì)算中相關(guān)計(jì)算公式,必須與相對(duì)應(yīng)的金屬介電函數(shù)配套使用;否則計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò).

如含金屬薄膜層的振幅分割的多光束薄膜干涉計(jì)算:

如用傳輸矩陣法計(jì)算含金屬薄膜層的多層介質(zhì)的透射系數(shù)和反射系數(shù):